九上 4.7 第1课时 相似三角形中对应线段的性质-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(北师大版)

课题

第1课时  相似三角形中对应线段的性质

授课类型

新授课

授课人

教学内容

课本P106-107

教学目标

1.经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质。利用相似三角形的性质解决一些实际问题。

2.培养学生的探索精神和合作意识；通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识。在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质。

教学重难点

重点：明确相似三角形中对应线段与相似比的关系。

难点：能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题。

教学准备

多媒体课件。

教与学互动设计（教学过程）

设计意图

1.创设情景，导入新课

在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题。如图，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房的房梁△A'B'C'，CD和C'D'分别是它们的立柱。

教师提问：相似吗？为什么？

学生回答：∵△ABC∽△A'B'C'，

∴∠A=∠A′。

又∵CD⊥AB，C′D′⊥A′B′，

∴∠ADC=∠A′D′C′。

∴△ACD∽△A′C′D′。

教师追问：如果相似，它们的相似比是多少？

学生回答：1∶2。

通过学生熟悉的建筑模型房入手，从相似三角形的最基本性质展开研究。

教师追问：如果CD=1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？

学生回答：∵，CD=1.5 cm，

∴C′D′=3 cm。

教师提问：同学们能发现相似三角形有怎样的性质？

这节课，我们来学习相似三角形的性质。（教师板书课题： 第1课时  相似三角形的性质）

2.实践探究，学习新知

【探究1】

想一想：

已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'的相似比为k。

教师提问：它们对应高的比是多少？

学生活动：有了前面情境导入，学生很容易能回答出：它们对应高的比为k。

总结：相似三角形对应高的比等于相似比。

教师提问：对应角平分线的比是多少？

教师活动：教师可以给出图形、已知条件和问题，鼓励学生自主探究。

根据“想一想”已知。

AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′；E，E′分别为BC，B′C′的中点。试探究AD与A′D′的比值关系，AE与A′E′呢？

师生活动：教师鼓励学生类比探究，小组合作，分组给出猜想并证明自己的猜想。

预设：猜想1：=k。

证明：∵△ABC∽△A'B'C'，

∴∠BAC=∠B′A′C′，∠B=∠B′，=k。

∵AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′，

通过问题的形式,指导学生进行几何方法的论证,提高学生参与数学学习的意识,培养学生发现、概括、证明规律的能力。

通过学生小组合作探究，类比前面探究过程，引发学生

∴∠BAD=∠B′A′D′。

∴△BAD∽△B′A′D′（两个角分别相等的两个三角形相似）。

∴===k。

猜想2：=k。

证明：∵△ABC∽△A'B'C'，

∴∠B=∠B′，=k。

∵E，E′分别为BC，B′C′的中点，

∴，。

∴。

∵=k，

∴=k。

∵∠B=∠B′，

∴△BAE∽△B′A′E′（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。

∴===k。

总结：相似三角形对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。

【归纳总结】

定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。

【探究2】

议一议：

如图，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k；点D，E在BC边上，点D′，E′在B′C′边上。

主动探究意识、培养合作交流能力，发展学生的类比的思维能力，与归纳总结能力。

有了前面探索的基础，学生完全有能力独立完成“变式问题”的探索，在探