九上 4.5 相似三角形判定定理的证明-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(北师大版)

课题

第*5节  相似三角形判定定理的证明

授课类型

新授课

授课人

教学内容

课本P99-102

教学目标

1.了解相似三角形判定定理的证明过程，发展推理能力，会证明相似三角形判定定理。

2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题。

教学重难点

重点：会证明相似三角形判定定理。

难点：运用相似三角形的判定定理解决相关问题。

教学准备

多媒体课件。

教与学互动设计（教学过程）

设计意图

1.创设情景，导入新课

教师提问：相似三角形的判定方法有哪些？

学生回答：（1）两角分别相等的两个三角形相似。

（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

（3）三边成比例的两个三角形相似。

同学们能对它们进行证明吗？在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，这节课（建议2~3课时教学），我们来学习相似三角形判定定理的证明。（教师板书课题： 第*5节  相似三角形判定定理的证明）

回顾三角形相似判定定理，为证明判定定理做准备。

2.实践探究，学习新知

【探究1】

三角形相似判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似。

教师活动：引导学生根据文字命题画图。

教师活动：引导学生根据图形和文字命题写出已知和求证。

已知：如图，△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′。

求证：△ABC∽△A'B'C'。

教师活动：鼓励学生自主自主证明，如若学生证明有难度，教师可以指导学生证明思路，再让学生尝试证明。

证明思路：首先在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A'B'，作DE∥BC，然后根据相似三角形的定义证明△ADE∽△ABC；接着证明△ADE≌△A'B'C'。

教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。

学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。

证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则

∠ADE=∠B，∠AED=∠C，

（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）。

过点D作AC的平行线，交BC于点F，则

（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）。

证明相似三角形判定定理1。本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，进一步熟悉证明文字命题的基本步骤：画图、写己知、求证、证明过程。同时通过分析问题，提高学生交流的能力和语言表达能力!

∴。

∵DE∥BC，DF∥AC，

∴四边形DFCE是平行四边形。

∴DE＝CF。

∴。

∴。

而∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC，∠AED=∠C，

∴△ADE∽△ABC。

∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′，AD=A′B′，

∴△ADE≌△A′B′C′。

∴△ABC∽△A'B'C'。

教师活动：教师给出证明过程，引导学生进行比对，查找不足，教师可以对铺底部分挖空，调动学生注意力，强化学生训练。

【探究2】

三角形相似判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

教师活动：鼓励学生类比探究1，按照“画图、写己知、求证、证明过程”的一般步骤自主完成判定定理2的证明。

已知：如图3，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，。

求证：△ABC∽△A′B′C′。

证明思路：首先在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A'B'，作DE∥BC，然后根据已证明的定理“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△ADE；接着证明△ADE≌△A'B'C'。

证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′，

判定定理2与判定定理1的证明过程有一些相似之处，有了判定定理1的证明作基础，证明判定定理2时可引导学生自主探索证明思路和证明方法。