九上 2.6 应用一元二次方程（1）-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(北师大版)

6 应用一元二次方程 课题 第1课时 一元二次方程在实际问题中的应用（1） 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P52-53 教学目标 1.利用一元二次方程解决简单的面积问题和动态几何问题。 2.经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程。 3.在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的般步骤。 4.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，增强数学应用意识和能力。 教学重难点 重点：利用一元二次方程解决简单的面积问题和动态几何问题。 难点：分析具体问题中的数量关系、建立方程模型解决问题。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 教师活动：同学们还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？这节课我们就来学习一元二次方程在实际问题中的应用。（教师板书课题： 第1课时 一元二次方程在实际问题中的应用（1）） 如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m。 （1）在这个问题中，梯子顶端下滑1 m时，梯子底端滑动的距离大于1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ 师生活动：安排学生小组合作，并思考下面三个问题。 （1）梯子底端与墙面的水平距离是多少？怎么求？ （2）此问题的已知量、未知量是什么？相等关系是什么？如何建立方程？ （3）方程的解是否都符合题意？ 预设：解：设梯子顶端下滑x m，底端滑动x m。 （8-x）2+（6+x）2=102。 x2-2x=0。 x1=0（舍去），x2=2。 所以，梯子顶端下滑2 m时，梯子底端滑动的距离和它相等。 （2）如果梯子长度是13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ 预设：解：设梯子顶端下滑x m，底端滑动x m。 （12-x）2+（5+x）2=132。 x2-7x=0。 x1=0（舍去），x2=7。 所以，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离相等。这个距离是7 m。 教师活动：引导学生思考：怎样用一元二次方程解决实际问题？步骤是什么？ 预设：列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即：审、设、列、解、验、答。 （这里要特别注意，在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求。） 以学生所熟悉的梯子下滑问题为素材，以前面所学的勾股定理中边长的关系为切入点，用熟悉的情境激发学生解决问题的欲望，用学生已有的知识为支点，进一步让学生体会数形结合的思想。 2.实践探究，学习新知 【教材例题】 例1 如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200 n mile处有一重要目标B，在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C。小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC的中点。一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。 已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1 n mile） 解决实际应用问题的关键是审清题意，因此教学中教师要给学生充分的时间去审清题意，让学生自己反复审题，弄清各量之间的关系，分析题目中的已知条件和要求解的问题，并在这个前提下抓住图形中各条线段所表示的量，弄清它们之间的关系。 在学生分析题意遇到困难时，教学中可设置问题串分解难点： （1）要求DE的长，需要如何设未知数？ 预设：一般求什么设什么，可设DE的长为x n mile。 （2）怎样建立含DE未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？ 预设：根据已知条件，可考虑利用勾股定理建立等量关系。 （3）利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？ 预设：连接DF，由三角形中位线得AB∥DF，从而DF⊥EF，构造出Rt△DEF。 （4）选定Rt△DEF后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF分别是多少？ 预设：DF=100 n mile，DE=x n mile，EF=AB+BF-（AB+BE）=（300-2x）n mile。 学生活动：学生在问题串的引导下，逐层分析，在分组讨论后找出题目中的等量关系，即： 速度等量：V军舰=2×V补给船； 时间等量：t军舰=t补给船； 三边数量关系：EF2+FD2=DE2。 解：连接DF。 ∵AD=CD，BF=CF， ∴DF是△ABC的中位线。 ∴DF∥AB，且DF=AB。 ∵AB⊥BC，AB=BC= 200 n mile， ∴DF⊥BC，DF=100 n mile，BF=100 n mile。 设相遇时补给船航行了x n mile，那么 DE=x n mile，AB+BE=2x n mile， EF=AB+BF-（AB+BE）=（300-2x）n mile。 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程 x2=1002+（300-2x）2， 整理，得 3x2-1200x+100 000=0。 解这个方程，得 x1=200-≈118.4， x2=200+（不合题意，舍去）。 所以，相遇时补给船大约航行了118.4 n mile。 【归纳总结】 列一元二次方程解实际问题的一般步骤： （1）审题——了解问题的实际意义，分清已知条件和未知量之间的关系； （2）设未知数——一般情况下求什么设什么为未知数； （3）列方程——根据量与量之间的关系，找出相等关系，列出方程； （4）解方程——灵活运用一元二次方程的解法； （5）验根——检验一元二次方程的根是否满足题意； （6）答——作答。 在例题的教学中，引导学生关注列方程解应用题的三个重要环节：其一是整体地、系统地弄懂题意；其二是把握问题中的等量关系；其三是正确求解方程并检验解的合理性。 通过问题串的设立，将比较复杂、难以理解的题目分成多个小的题目去理解，使学生在不知不觉中克服困难。 3.学以致用，应用新知 考点1 面积问题 例1 我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔（宽）几步。”设阔为x步，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. 2x+2（x+12）=864 B. x（x-12）=864 C. x+（x+12）=864 D. x（x+12）=864 答案：D 变式训练 如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，墙可利用的最大长度为15 m，篱笆长为24 m，设平行于墙的BC边长为x m。 （1）若围成的花圃面积为40 m2时，求BC的长； （2）如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为50 m2，请你判断能否围成花圃，如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由。 解：（1）根据题意，得AB= m， 则·x=40， ∴x1=20，x2=4。 ∵20>15， ∴x=20舍去， ∴x=4。 答：BC的长为4 m。 （2）不能围成花圃。理由如下： 根据题意，得·x=50， 方程可化为x2-24x+150=0， ∵Δ=（-24）2-4×150=-24<0。 ∴方程无实数解， ∴不能围成花圃。 考点2 数字问题 例2 如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）。如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（ ） A. x（x+8）=161 B. x（x+16）=161 C. （x-8）（x+8）=161 D. x（x-16）=161 答案：B 变式训练 有一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为1 855，则原两位数是（ ） A. 35 B. 53 C. 62 D. 35或53 答案：D 考点3 动态几何问题 例3 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5 cm，BC=7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2 cm/s的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若△PBO的面积等于4 cm2，则运动时间为（ ） A. 1 s B. 4 s C. 1 s或4 s D. 1 s或 s 答案：A 变式训练 如图，在矩形ABCD中，BC=20m，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止。已知在相同时间内，若BO=x cm（x≠0），则AP=2x cm，CM=3x cm，DN=.x2 cm。 （1）当x为何值时，AP，ND长度相等？ （2）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边能构成一个三角形？ （3）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形？ 解：（1），， 时，即， 解得或（舍去）， 当为时，，长度相等； （2）当点与点重合或点与点重合时，以，为两边，以矩形的边（或）的一部分为第三边可能构成一个三角形， 当点与点重合时， 由题意得，， 解得，（舍去）， ， 此时点与点不重合， 符合题意； 当点与点重合时， 由题意得，， 解得， 此时，不符合题意， 点与点不能重合。 综上所述，所求的值为。 （3）当点到达点时，，此时点和点还未相遇， 点只能在点的左侧， 当点在点的左侧时， 由题意得，， 解得（舍去），， 当时四边形是平行四边形； 当点在点的右侧时， 由题意得，， 解得（舍去），， 当时，四边形是平行四边形。 综上所述，当或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形。 通过例题讲解，巩固学生应用一元二次方程解决面积问题，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题讲解，巩固学生应用一元二次方程解决数字问题。 通过例题讲解，巩固学生应用一元二次方程解决动态几何问题。 4.随堂训练，巩固新知 1. 如图，要把长4 m、宽3 m的矩形花坛四周扩展相同的宽度x m，得到面积为30 m2的新矩形花坛，则x的值为（ ） A. 4.5 B. 2 C. 1.5 D. 1 答案：D 2. 如图1，将一张长20 cm，宽10 cm的矩形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖纸盒，纸盒底面积为48 cm2，则该有盖纸盒的高为（ ） 图1 图2 A. 4 cm B. 3 cm C. 2 cm D. 1 cm 答案：C 3. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157,每个支干长出的小分支数目为（ ） A. 12 B. 11 C. 8 D. 7 答案：A 4. 《九章算术》中“勾股”章有一个问题：今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈（1丈=10尺，1尺=10寸），问户高、广各几何？意思是：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门的宽为x尺，下列方程中正确的为（ ） A. x2+（x+6.8）2=102 B. x2+（x-6.8）2=12 C. x2+102=（x+6.8）2 D. x2÷（x÷6.8）2=12 答案：A 5. 如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=8 cm。动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2 cm/s的速度向D移动。当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10 cm。（若一点到达终点，另一点也随之停止运动）（ ） A. 2 s或4.6 s B. 1 s或4.4 s C. 4.4 s D. 2 s或4.4 s 答案：D 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.列方程解应用题的关键是什么？ 2.列方程解应用题的步骤是什么？ 3.列方程应注意的哪些问题？ 让学生在学习小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P53-54习题2.9中的T1、T2、T3、T4。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第1课时 一元二次方程在实际问题中的应用（1） 1.列一元二次方程解实际问题的一般步骤 2.例题 提纲掣领，重点突出。 教后反思 大部分学生能够联系以前学过的勾股定理的三边关系对上述问题进行思考，能够在老师的引导下主动地探究问题，取得了比较理想的效果，而且也调动了学生的学习热情，激发了学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础。 鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，还有什么疑难问题希望得到解决，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中；学生通过回顾本节课的学习过程，体会利用列一元二次方程解决实际问题的方法和技巧，进一步提高自己解决问题的能力。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$