2.6 应用一元二次方程（分层作业）数学北师大版九年级上册

2.6 应用一元二次方程 【题型1一元二次方程应用-变化率问题】 1．（24-25九年级上·四川成都·期末）2024年10月30日，搭载3名宇航员的神舟十九号飞船发射圆满成功，某航天科普网站的浏览量猛增，10月份该网站的浏览量为100万人次，第四季度总浏览量为600万人次，如果浏览量平均每月增长率为x，则应列方程是（　 　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）目前以5G为代表的产业蓬勃发展，某市去年年底有5G用户2万户，计划明年年底全市累计达到万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【题型2一元二次方程应用传播问题】 1．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）电脑病毒传播，如果一台电脑被传染，经过两轮传播后就会有81台电脑被感染，若每轮感染中平均一台会感染x台电脑，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广西河池·期中）一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程(    ) A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）要组织一次篮球赛，参赛的形式是单循环赛．根据时间和场地条件，整个赛程计划安排36场比赛，设比赛组织者应邀请支球队参赛，则由题意可列方程（　　） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·山西吕梁·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111．若设每个支干长出的小分支的个数是x，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 一元二次方程应用-销售利润问题】 1．（23-24九年级上·广东东莞·开学考试）台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款元，第三天收到捐款元． (1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； (2)按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 2．（24-25九年级上·四川成都·期中）某商场以每件元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)该商场规定这种商品每件售价不得高于元，商品要想获得元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 3．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭发射成功．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． (1)若每个模型降价5元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ (2)在每个模型盈利不超过25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 【题型4 一元二次方程应用-几何面积问题】 1．（24-25九年级上·云南·期中）某商场将进价为45元/件的甲商品以65元/件出售时，平均每天能卖出30件，若每降价1元，则每天可多卖出5件，如果降价元，每天盈利800元，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在长，宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使空白部分面积是，若设路宽为，则应满足的方程是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏南京·期中）图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·重庆·期中）我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块正方形水池，测量出除水池外图内可耕地的面积恰好是72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河北邢台·期中）在综合实践课上，嘉淇要给一幅长，宽的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形面积为，则嘉淇添加的边框的宽度是 ． 1．（23-24九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动，那么 秒后，线段将分成面积的两部分． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）自今年4月底以来，某村旅游区的山体公园成为了网红打卡点．现在公园管理者要修建一个面积为的长方形精品花售卖区（如图）．为了节省材料，售卖区的一边利用原有的一道墙，另三边用总长为的栅栏围成，边留有宽的门． (1)若售卖区垂直于墙的边的长为，则边的长为_____． (2)若墙足够长，则售卖区的长和宽各为多少米？ 3．（24-25九年级上·重庆渝北·期中）某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价是200元/件，2023年、2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出厂价调整为128元/件． (1)这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率． (2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以166元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低2元，每天可多售出4件，如果每天盈利1144元，为了尽快减少库存，单价应降低多少元？ 4．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）某景区宾馆有50间房供游客居住，原定价每间房每天250元．国庆节来临之际，该景区酒店计划调整价格以吸引游客． (1)若经过两次涨价后，每间房的费用增至360元，求两次增长的平均增长率． (2)据经验，当每间房每天定价为200元时，宾馆会住满；定价每增加10元时，就会空闲一间房（物价部门规定，此类宾馆的入住费用不得超过原定价的1.5倍）．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的成本费用，除此之外无其他成本费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10120元？ 5．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度向点移动，点以相同的速度向点移动，当点到达点时，点、均停止运动，设运动时间为秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点和点的距离可能是吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． 6．（24-25九年级上·山西长治·期中）项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价元 61 60 59 58 57 日销售量个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为_____． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 1．（2023·重庆潼南·模拟预测）世界杯火热进行期间，其相关的周边产品大多为中国制造．为了抓住这一商机，两工厂决定生产球衣．据统计，甲厂每小时生产600件，乙厂每小时生产800件．甲、乙两厂共生产16小时，且每天生产的球衣总数量为11400件． (1)求甲、乙两厂每天分别生产多少小时？ (2)由于球衣在国外热销，客户纷纷追加订单，两工厂每天均增加生产时间，其中甲厂比乙厂多增加2小时，在整个生产过程中，甲厂每小时产量不变，而乙厂由于机器损耗及人员不足，每增加一个小时，每小时产量将减少140件，这样两工厂一天生产的球衣总量将比原来多1200件．求甲厂增加的生产时间为多少小时？ 2．（2023·重庆九龙坡·一模）山火烧不尽，春风吹又生，今年三月，校团委组织师生开展“汇聚青年力量·重建绿色山林”缙云山植树活动，购入了第一批树苗，经了解，购买甲、乙两种树苗共250棵，两种树苗的单价分别为20元和30元，共用去资金6000元． (1)求第一批购入甲、乙两种树苗的数量； (2)恰逢植树节在周末，校团委决定，购入甲树苗时，若甲树苗单价每上涨2元，购入数量就比第一批甲树苗的数量减少10棵（最后数量不超过第一批甲树苗的），购入乙树苗单价与第一批相同，数量是第一批乙树苗的，最终花费的总资金比第一批减少了，求第二批购买树苗的总数量． 3．（24-25九年级上·河北保定·期中）我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据： 学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示） 学习时间（时间） … 40 50 60 … 学习效率 … 0.64 m 1 … 记录学习效率时，每10分钟为一个记录单元． (1)求40分钟到60分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率和m的值． (2)研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加10分钟，学习效率值下降0.2．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能． ①求学习时间为80分钟的学习效能． ②当学习效能低于20的时候为无效学习，此时必须停止学习．恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1个小时，根据以上研究成果计算每晚作业时间的合理范围． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.6 应用一元二次方程 【题型1一元二次方程应用-变化率问题】 1．（24-25九年级上·四川成都·期末）2024年10月30日，搭载3名宇航员的神舟十九号飞船发射圆满成功，某航天科普网站的浏览量猛增，10月份该网站的浏览量为100万人次，第四季度总浏览量为600万人次，如果浏览量平均每月增长率为x，则应列方程是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意列出方程即可． 【详解】解：设浏览量平均每月增长率为x，列方程是， 故选：D． 2．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）目前以5G为代表的产业蓬勃发展，某市去年年底有5G用户2万户，计划明年年底全市累计达到万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由题意得：今年年底有5G用户万户，明年年底有5G用户万户，即可求解； 【详解】解：由题意得：今年年底有5G用户万户， ∴明年年底有5G用户万户， 故， 故选：D 【题型2一元二次方程应用传播问题】 1．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）电脑病毒传播，如果一台电脑被传染，经过两轮传播后就会有81台电脑被感染，若每轮感染中平均一台会感染x台电脑，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；由题意可直接列出方程． 【详解】解：由题意可得方程为； 故选C． 2．（23-24九年级上·广西河池·期中）一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用发信息的总数微信群里好友的人数微信群里好友的人数，即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 3．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）要组织一次篮球赛，参赛的形式是单循环赛．根据时间和场地条件，整个赛程计划安排36场比赛，设比赛组织者应邀请支球队参赛，则由题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单循环赛制中每两个队伍进行一场比赛列出方程即可． 【详解】解：由题意可得，， 故选：B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的单循环问题． 4．（22-23九年级上·山西吕梁·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111．若设每个支干长出的小分支的个数是x，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设每个支干长出x个小分支，则主干生出x个支干，而x个支干每个又生出x个小分支，所以一共有个，从而可列出方程． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 依题意可列方程： 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．理解题意，找出等量关系是解题关键． 【题型3 一元二次方程应用-销售利润问题】 1．（23-24九年级上·广东东莞·开学考试）台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款元，第三天收到捐款元． (1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； (2)按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 【答案】(1)捐款增长率为 (2)第四天该单位能收到元捐款 【分析】（1）设捐款增长率为x，根据“第一天收到捐款元，第三天收到捐款元，第二天、第三天收到捐款的增长率相同”列方程，解方程即可得到答案； （2）用第三天收到的捐款乘以即可得到答案． 【详解】（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得， ， 解得，（不合题意，舍去）； 答：捐款增长率为. （2）第四天收到捐款为： （元）， 答：第四天该单位能收到元捐款． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 2．（24-25九年级上·四川成都·期中）某商场以每件元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)该商场规定这种商品每件售价不得高于元，商品要想获得元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一次函数、一元二次方程的实际应用，注意计算的准确性是解题关键． （1）设与之间的函数关系式为：，将点代入即可求解； （2）根据即可求解； 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为：， 将点代入得：， 解得：， ∴与之间的函数关系式为：， （2）解：由题意得：， 令，则， 解得：， ∵商场规定这种商品每件售价不得高于元， ∴， ∴商品要想获得元的利润，每件商品的售价应定为元 3．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭发射成功．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． (1)若每个模型降价5元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ (2)在每个模型盈利不超过25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 【答案】(1)30个，1050元 (2)20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——盈利问题，根据销售问题列出方程并正确求解是解题的关键． （1）根据降价，求出降价后得每件利润和每天得销量，即可求出利润； （2）设每个模型降价元，则每件利润元，平均每天可以售出个模型，根据利润可列方程，解方程，再进行取舍即可． 【详解】（1）解：（个）； （元）． 答：平均每天可以售出30个模型，此时每天获利1050元； （2）设每个模型应降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又每个模型盈利不超过25元， ． 答：每个模型应降价20元． 【题型4 一元二次方程应用-几何面积问题】 1．（24-25九年级上·云南·期中）某商场将进价为45元/件的甲商品以65元/件出售时，平均每天能卖出30件，若每降价1元，则每天可多卖出5件，如果降价元，每天盈利800元，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．由题意可知降价元，平均每天能卖出件，每件盈利元，即可列出方程． 【详解】解：降价元，则可多卖出件，此时售价为元/件， ∴此时平均每天能卖出件，每件盈利元， ∴每天盈利元， 即可列方程为． 故选D． 2．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在长，宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使空白部分面积是，若设路宽为，则应满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查理解题意的能力，解题的关键是表示出剩下的长和宽，根据面积列方程． 设路宽为，所剩下的观赏面积的宽为，长为，根据要使观赏路面积是，可列方程求解． 【详解】解：设路宽为，则所剩下的观赏面积的宽为，长为，根据题意得， ， 故选：B． 3．（23-24九年级上·江苏南京·期中）图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设该盒子的高为，根据题意可知折成的有盖长方体盒子的底面是长为，宽为的矩形，结合折成的有盖长方体盒子的底面积为，列出方程即可． 【详解】解：设该盒子的高为，根据题意可得． 故选：D． 4．（23-24九年级上·重庆·期中）我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块正方形水池，测量出除水池外图内可耕地的面积恰好是72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案，正确表示出圆的面积是解题关键． 【详解】解：设正方形的边长是步，则列出的方程是， ， 故选：B． 5．（24-25九年级上·河北邢台·期中）在综合实践课上，嘉淇要给一幅长，宽的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形面积为，则嘉淇添加的边框的宽度是 ． 【答案】1 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，掌握以上知识是解题的关键； 设小华添加的边框的宽度是，根据整个图形面积为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设小华添加的边框的宽度是， 由题意得：， 解得：，（舍去）； 故小华添加的边框的宽度是； 故答案为1． 1．（23-24九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动，那么 秒后，线段将分成面积的两部分． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题关键．设运动时间为，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒， 根据题意得：，， ，，， ，， ， 线段将分成面积的两部分， 或， 即或， 整理得：或（无实数解）， 解得：，， 即线段将分成面积的两部分，运动时间为或秒． 故答案为：或． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）自今年4月底以来，某村旅游区的山体公园成为了网红打卡点．现在公园管理者要修建一个面积为的长方形精品花售卖区（如图）．为了节省材料，售卖区的一边利用原有的一道墙，另三边用总长为的栅栏围成，边留有宽的门． (1)若售卖区垂直于墙的边的长为，则边的长为_____． (2)若墙足够长，则售卖区的长和宽各为多少米？ 【答案】(1) (2)长为，宽为或长为或宽为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设垂直于墙的边长为，可得平行于墙的边长为，整理即可； （2）根据矩形的面积公式结合养鸡场的面积为，列出一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵售卖区垂直于墙的边的长为， ∴边的长为． （2）解：依题意，得， 整理，得， 解得，． 当时，；当时，． 答：售卖区的长为，宽为或长为，宽为． 3．（24-25九年级上·重庆渝北·期中）某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价是200元/件，2023年、2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出厂价调整为128元/件． (1)这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率． (2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以166元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低2元，每天可多售出4件，如果每天盈利1144元，为了尽快减少库存，单价应降低多少元？ 【答案】(1)平均下降率为 (2)单价应降低元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）设平均下降率为，根据平均下降率的等量关系，列出等量关系，进行求解即可； （2）设单价应降低元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设平均下降率为，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：平均下降率为． （2）设单价应降低元，由题意，得：， 解得：， ∵要尽快减少库存， ∴； 答：单价应降低元． 4．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）某景区宾馆有50间房供游客居住，原定价每间房每天250元．国庆节来临之际，该景区酒店计划调整价格以吸引游客． (1)若经过两次涨价后，每间房的费用增至360元，求两次增长的平均增长率． (2)据经验，当每间房每天定价为200元时，宾馆会住满；定价每增加10元时，就会空闲一间房（物价部门规定，此类宾馆的入住费用不得超过原定价的1.5倍）．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的成本费用，除此之外无其他成本费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10120元？ 【答案】(1) (2)240 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． （1）设两次增长的平均增长率为，由题意得，，解方程并检验； （2）设每个房间房价增加元，由题意得，，解方程并检验． 【详解】（1）解：设两次增长的平均增长率为， 由题意得，， 解得：或（舍）， ∴增长率为， 答：两次增长的平均增长率为； （2）解：设每个房间房价增加元， 由题意得，， 解得：或， 当时，， 故不符合题意，舍， ∴每个房间房价增加40元， ∴房价定为（元）， 答：当房价定为240元时，宾馆当天的利润为10120元． 5．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度向点移动，点以相同的速度向点移动，当点到达点时，点、均停止运动，设运动时间为秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点和点的距离可能是吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)能， (3)能，或 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了动点在几何图形的运动，勾股定理矩形和菱形的性质，灵活掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据当时，四边形为矩形，列出方程，求出解即可； （2）根据当时，四边形为菱形，在中，根据勾股定理列出方程，求出解即可； （3）先作出辅助线，表示，再根据勾股定理列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵点P、Q分别从点A、C同时出发，速度相同． ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴则， 根据题意得， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴当时，四边形为矩形， ， 解得， ∴秒时，四边形为矩形， 故答案为：4； （2）解：运动过程中，四边形可以为菱形， 连接、， ∵点、分别从点、同时出发，速度相同， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形 在中，，， ∴ 即 解得， ∴运动时间为时，四边形为菱形． （3）点和点的距离可以是， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，有， 即， 解得，． ∴当运动时间为或时，点和点的距离是． 6．（24-25九年级上·山西长治·期中）项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价元 61 60 59 58 57 日销售量个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为_____． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1） （2） 【分析】（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系，故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而得出该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）根据“每日利润（销售单价进价）日销售量房租、水电费、人工费等运营成本”可得，解得，，进而可得当销售单价为65元时日销售量为20个，销售单价为50元时日销售量为50个，由于，再结合“为了尽快减少库存”，即可得出答案． 【详解】解：（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系， 故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 将，代入，得： ， 解得：， 该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 故答案为：； （2）根据题意，得： ， 解得：，， 当销售单价为65元时，日销售量为20个， 当销售单价为50元时，日销售量为50个， ，且为了尽快减少库存， ， 答：该益智玩具的销售单价应定为50元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），一元二次方程的应用（营销问题），用表格表示变量间的关系，求一次函数解析式，解二元一次方程组，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式并根据题中的数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． 1．（2023·重庆潼南·模拟预测）世界杯火热进行期间，其相关的周边产品大多为中国制造．为了抓住这一商机，两工厂决定生产球衣．据统计，甲厂每小时生产600件，乙厂每小时生产800件．甲、乙两厂共生产16小时，且每天生产的球衣总数量为11400件． (1)求甲、乙两厂每天分别生产多少小时？ (2)由于球衣在国外热销，客户纷纷追加订单，两工厂每天均增加生产时间，其中甲厂比乙厂多增加2小时，在整个生产过程中，甲厂每小时产量不变，而乙厂由于机器损耗及人员不足，每增加一个小时，每小时产量将减少140件，这样两工厂一天生产的球衣总量将比原来多1200件．求甲厂增加的生产时间为多少小时？ 【答案】(1)甲厂每天生产7小时，乙厂每天生产9小时； (2)甲厂增加的生产时间为3小时． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元二次方程的应用，正确的列出方程组和一元二次方程，是解题的关键： （1）设甲厂每天生产x小时，乙厂每天生产y小时，根据“甲、乙两厂共生产小时，且每天生产的球衣总数量为件”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设甲厂增加的生产时间为m小时，则乙厂增加的生产时间为小时，乙厂每小时生产件，利用生产总量生产效率生产时间，可得出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲厂每天生产小时，乙厂每天生产小时， 根据题意得：， 解得：． 答：甲厂每天生产7小时，乙厂每天生产9小时； （2）设甲厂增加的生产时间为小时，则乙厂增加的生产时间为小时，乙厂每小时生产件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ． 答：甲厂增加的生产时间为3小时． 2．（2023·重庆九龙坡·一模）山火烧不尽，春风吹又生，今年三月，校团委组织师生开展“汇聚青年力量·重建绿色山林”缙云山植树活动，购入了第一批树苗，经了解，购买甲、乙两种树苗共250棵，两种树苗的单价分别为20元和30元，共用去资金6000元． (1)求第一批购入甲、乙两种树苗的数量； (2)恰逢植树节在周末，校团委决定，购入甲树苗时，若甲树苗单价每上涨2元，购入数量就比第一批甲树苗的数量减少10棵（最后数量不超过第一批甲树苗的），购入乙树苗单价与第一批相同，数量是第一批乙树苗的，最终花费的总资金比第一批减少了，求第二批购买树苗的总数量． 【答案】(1)第一批购入甲种树苗150棵，乙种树苗100棵 (2)第二批购买树苗的总数量为200棵 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用． （1）设第一批购入甲种树苗x棵，乙种树苗y棵，由题意：购买甲、乙两种树苗共250棵，两种树苗的单价分别为20元和30元，共用去资金6000元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购入第二批甲树苗的单价上涨了m元，由题意：最终花费的总资金比第一批减少了，列出一元二次方程，解方程得出，再求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：设第一批购入甲种树苗x棵，乙种树苗y棵， 由题意得：， 解得：， 答：第一批购入甲种树苗150棵，乙种树苗100棵； （2）解：设购入第二批甲树苗的单价上涨了m元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵甲树苗最后数量不超过第一批甲树苗的， ， 解得：， ， （棵）， 答：第二批购买树苗的总数量为200棵． 3．（24-25九年级上·河北保定·期中）我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据： 学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示） 学习时间（时间） … 40 50 60 … 学习效率 … 0.64 m 1 … 记录学习效率时，每10分钟为一个记录单元． (1)求40分钟到60分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率和m的值． (2)研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加10分钟，学习效率值下降0.2．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能． ①求学习时间为80分钟的学习效能． ②当学习效能低于20的时候为无效学习，此时必须停止学习．恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1个小时，根据以上研究成果计算每晚作业时间的合理范围． 【答案】(1)40分钟到60分钟的增长率为，m的值为0.8 (2)①48②作业时间的合理范围是60至100分钟 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，，找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）设40分钟到60分钟的增长率为x，利用60分钟时学习效率=40分钟时学习效率分钟的增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将符合题意的值代入中，即可求出m的值； （2）①根据学习效能的定义求解即可； ②设每晚作业时间为分钟，根据学习效能低于20的时候为无效学习，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，将符合题意的值代入中，可求出最长学习时间，结合规定作业时间不少于1个小时，即可确定每晚作业时间的合理范围． 【详解】（1）解：设40分钟到60分钟的增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴40分钟到60分钟的增长率为， ∴． 答：40分钟到60分钟的增长率为，m的值为0.8； （2）解：①学习时间为80分钟的学习效能为： ②设每晚作业时间为分钟， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴， ∴超过100分钟为无效学习， ∴作业时间的合理范围是60至100分钟． 7 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$