九上 2.4 用因式分解法求解一元二次方程-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(北师大版)

4 用因式分解法求解一元二次方程 课题 第4节 用因式分解法求解一元二次方程 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P46-47 教学目标 1.会用因式分解法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程。 2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活地选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。 教学重难点 重点：能用因式分解法（提公因式法、公式法）求解某些数字系数的一元二次方程。 难点：能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 教师活动：假设设个数是x，请同学们根据题意列出方程。 学生回答：x2=3x。 教师活动：针对这个方程，同学们有哪些解方程的方法？ 预设：同学A：将原方程化为一般形式，得x2-3x=0。 这里a=1，b=-3，c=0。 ∵b2-4ac=（-3）2-4×1×0=9>0， ∴x==。 ∴x1=0，x2=3。 所以这个数是0或3。 同学B：移项，得x2-3x=0。 配方，得x2-3x+=， 即=。 两边开平方，得x-=±， x-=或x-=-。 所以x1=0，x2=3。 所以这个数是0或3。 教师活动：同学们还有没有其他的解法？这节课我们就来学习用因式分解法求解一元二次方程。（教师板书课题： 第4节 用因式分解法求解一元二次方程） 通过对旧知识的回顾,学生再次经历了用公式法和配方法解方程的全过程,由于是旧知识,学生容易做出正确答案,并获得成功的喜悦,调动了学生的学习思维和学习积极性,从而更好地进行这节课内容的学习。 2.实践探究，学习新知 【探究】 师生活动：教师根据情境导入的问题给出几个学生的求解过程（公式法求解，配方法求解，有的学生可能已经直接用了因式分解的方法求解，如果没用，教师可直接给出），和学生们一起比较和评析这几种方法。 预设：（同学A、B的解题过程见上面） 同学C：方程x2=3x两边同时约去x，得x=3。 所以这个数是3。 同学D：由方程x2=3x，得x2-3x=0, 即x（x-3）=0。 于是x=0，或x-3=0。 因此x1=0，x2=3。 所以这个数是0或3。 教师活动：他们做得对吗？如果不对，为什么？ 学生回答：同学A、B、D做得对。同学C做得不对，因为约去x的时候必须保证x≠0，他的做法漏掉了跟为0的情况。 教师活动：比较一下，哪一种方法比较简便？ 学生回答：因式分解比较简便。 教师活动：配方法和公式法是解一元二次方程的通法，对于某些特殊形式的一元二次方程，用因式分解比较简便。所以同学们在以后求解一元二次方程时，要根据方程的具体特征，灵活选取适当的解法。 【归纳总结】 当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用同学D的方法求解。这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。 因式分解法的根据是：如果a·b=0，那么a=0或b=0。这也是其基本思想。 为什么用“或”而不用“且”？ “或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况：二者同时成立；二者不能同时成立。如ab=0时，a=0和b=0可同时成立，但x（x-3）=0中，x=0和x-3=0就不能同时成立。“且”是“二者同时成立”的意思。 因式分解法是把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解，体现了一种“降次”的思想。 【教材例题】 例 解下列方程： （1）5x2=4x；（2）x（x-2）=x-2。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：（1）原方程可变形为5x2-4x=0， x（5x-4）=0。 x=0，或5x-4=0。 ∴x1=0，x2=。 （2）原方程可变形为x（x-2）-（x-2）=0， （x-2）（x-1）=0。 x-2=0，或x-1=0。 ∴x1=2，x2=1。 【归纳总结】 用因式分解法解一元二次方程的步骤： ①方程右边化为0； ②将方程左边分解成两个一次因式的乘积； ③至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程； ④两个一元一次方程的解就是原方程的解。 【拓展提升】 想一想： 你能用因式分解法解方程x2-4=0，（x+1）2-25=0吗？ 师生活动：对于第1个方程，教师可引导学生仿照例题自行求解。对于第2个方程，教师可让学生独立求解，然后小组交流展示，师生共同评议。 预设： 解：方程x2-4=0可变形为（x–2）（x+2）=0。 x–2=0或x+2=0。 ∴x1=2，x2=–2。 方程（x+1）2-25=0可变形为（x+1+5）（x+1-5）=0， （x+6）（x–4）=0。 x–4=0或x+6=0。 ∴x1=4，x2=–6。 通过独立思考,小组协作交流,力求使学生根据方程的具体特征,灵活选取适当的解法。在操作活动过程中,培养学生积极的情感,态度，提高学生自主学习和思考的能力,让学生尽可能自己探索新知,教师要关注每一位学生的参与情况。 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。 总结归纳用因式分解法解一元二次方程的步骤，培养学生的概括能力。 巩固用因式分解法解一元二次方程。 3.学以致用，应用新知 考点1 用因式分解法解一元二次方程 例1 方程（x-2）2=2x（x-2）的解是（ ） A. x1=2，x2=1 B. x1=2，x2=-2 C. x1=2，x2=0 D. x1=2，x2=-1 答案：B 变式训练 方程x2-8x+7=0的解是_______。 答案：x1=1，x2=7 考点2 用合适的方法解一元二次方程 例2 解下列方程： （1）x2-6x+2=0； （2）x2+4x-5=0； （3）x（x-4）=2-8x； （4）2x2+3x-4=0。 解：（1）移项，得x2-6x=-2。 配方，得x2-6x+9=-2+9， 即（x-3）2=7。 两边开平方，得x-3=±， 即x-3=，或x-3=-。 ∴x1=3+，x2=3-。 （2）因式分解，得（x+5）（x-1）=0。 x+5=0，或x-1=0。 ∴x1=-5，x2=1。 （3）整理，得x2+4x=2。 配方，得x2+4x+4=2+4， 即（x+2）2=6。 两边开平方，得x+2=±， 即x+2=，x+2=-。 ∴x1=-2+，x2=-2-。 （4）将原方程化为一般形式，得2x2+3x-4=0。 这里a=2，b=3，c=-4。 ∵b2-4ac=32-4×2×（-4）=41>0， ∴x==， 即x1=，x2=。 通过例题讲解，巩固学生用因式分解法解一元二次方程，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题讲解，培养学生能用合适的方法解一元二次方程。 4.随堂训练，巩固新知 1. 我们解一元二次方程3x2-6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x-2）=0，从而得到一元一次方程3x=0或x-2=0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2。这种解法体现的数学思想是（ ） A. 转化思想 B. 函数思想 C. 数形结合思想 D. 公里化思想 答案：A 2. 用因式分解法解方程，下列过程正确的是（ ） A. （2x-3）（3x-4）=0化为2x-3=0或3x-4=0 B. （x+3）（x-1）=1化为x+3=1或x-1＝1 C. （x-2）（x-3）=2×3化为x-2=2或x-3=3 D. x（x+2）=0化为x+2=0 答案：A 3. 方程（x-2）（x+1）=x-2 的解是（ ） A. x=0 B. x=2 C. x=2或x=-1 D. x=2或x=0 答案：D 4. 已知等腰三角形的两边的长分别是一元二次方程x2-6x+8=0的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或4 答案：A 5. 若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2-10x+24=0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（ ） A. 16 B. 24 C.16或24 D. 48 答案：B 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 师生互相交流总结 1.用因式分解法解一元二次方程的基本思路和关键是什么？ 2.在应用因式分解法时，应注意什么问题？ 3.因式分解法体现了怎样的数学思想？ 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P47-48习题2.7中的T1、T2、T3。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第4节 用因式分解法求解一元二次方程 一、因式分解法的概念 二、用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 提纲掣领，重点突出。 教后反思 本节课探究解一元二次方程的一种特殊、简便的方法——因式分解法，通过学生小组讨论，归纳总结探究，掌握其基本方法和步骤，合理、恰当、熟练地运用因式分解法，在整个教学过程中注意降次转化思想的渗透。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$