九上 2.2 第2课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(北师大版)

2 用配方法求解一元二次方程 课题 第2课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P38 教学目标 1.经历用配方法解二次项系数不为“1”的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想。 2.能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力。 教学重难点 重点：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，学会将二次项系数化为1。 难点：进一步理解配方法的基本过程，尤其是常数项与一次项系数之间的关系。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 教师活动：请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别。 （1）x2+6x+8=0；（2）3x2+18x+24=0。 预设：区别：方程（2）的二次项系数为3；联系：当方程（2）两边同时除以3以后，这两个方程式为同解方程。 学生活动：观察比较，小组交流得出结论。 类似方程（2）这样的方程应该如何求解呢？这节课，我们来学习用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程。（教师板书课题： 第2课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程） 教师通过给出两个方程，让学生思考两个方程的联系与区别，进而思考对于二次项系数不为1的一元二次方程该如何去解，从而引出本节课的内容。 2.实践探究，学习新知 【教材例题】 例1 解方程：3x2+8x-3=0。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：两边同除以3，得 x2+x-1=0。 配方，得 x2+x+--1=0， -=0。 移项，得 =。 两边开平方，得 x+=±， 即 x+=，或x+=-。 所以 x1=，x2=-3。 师生活动：教师在教学时要引导学生在解题后自己尝试归纳用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤，并用自己的语言进行表述。教师要提醒学生在自己熟练掌握配方法之后，可以根据题目的条件灵活操作，不必按照例题中的格式和过程解题。 【归纳总结】 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤： （1）化——化二次项系数为1； （2）配——配方，使原方程变为（x+m）2-n=0的形式； （1）移——移项，使方程变为（x+m）2=n的形式； （3）开——如果n≥0，就可左右两边开平方得x+m=±； （4）解——方程的解为x=-m±。另外，如果是解决实际问题，还要注意判断求得的结果是否合理。 【应用提高】 做一做 一个小球从地面以15 m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系： h=15t-5t2， 小球何时能达到10 m高？ 预设： 解：根据题意，得15t-5t2=10。 方程两边都除以-5，得t2-3t=-2。 配方，得t2-3t+=-2+， 即=， 两边开平方，得t-=±， 所以t1=2，t2=1。 所以，小球1 s或2 s时能达到10 m高。 师生活动：操作投影仪。鼓励学生先独立思考，自主分析解题思路，并与同学进行交流。等待大部分学生书写完成后，由学生代表展示解题的书写过程，师生共同评议。 【归纳总结】 求解实际应用的题目的一般步骤： 一审；二设；三列；四解；五验：六答。 通过上述例题的讲解，继续拓展规范配方法解一元二次方程的过程。让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路，关键是将方程转化成（x+m）2=n（n≥0）形式。 在前边学习的基础上，借助“做一做”一个物理问题，感受学科之间的联系，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力，帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用。 3.学以致用，应用新知 考点1 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 例1 一元二次方程2x2-3x+1=0配方后可化为（ ） A. =1 B. = C. = D. = 答案：D 变式训练 将方程3x2-2x-2=0配方成（x+m）2=n的形式，则m+n=______。 答案： 考点2 配方法的应用 例2 新定义：若关于x的一元二次方程：a1（x-m）2+n=0与a2（x-m）2+n=0，称为“同族二次方程”。如2（x-3）2 +4=0与3（x-3）2+4=0是“同族二次方程”。现有关于x的一元二次方程：2（x-1）2+1=0与（a+2）x2+（b-4）x+8=0是“同族二次方程”。那么代数式ax2+bx+2 022能取得的最小值是（ ） A. 2 015 B. 2 017 C. 2 022 D. 2 027 答案：B 变式训练 一个人的血压与其年龄及性别有关，对女性来说，正常的收缩压p（毫米汞柱）与年龄x（岁）大致满足关系：p=0.01x2+0.05x+107。如果一个女性的收缩压为117.5毫米汞柱，那么她的年龄大概是多少？ 解：根据题意，得0.01x2+0.05x+107=117.5。 方程两边都除以0.01，得x2+5x+10 700=11 750。 移项，得x2+5x=1 050 配方，得x2+5x+=1 050+， 即=， 两边开平方，得x+=±， 所以x1=30，t2=-35。 所以，她的年龄大概是30岁。 通过例题和变式训练的讲解，巩固学生用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 4.随堂训练，巩固新知 1. 一元二次方程x2-3=0的根是（ ） A. x=± B. x= C. x=3 D. x=0 答案：A 2. 用配方法解一元二次方程x2-4x+2=0化成（x+a）2=b的形式，则a，b的值分别为（ ） A. -4，14 B. 4，14 C. 2，2 D. -2，2 答案：D 3. 把一元二次方程2x2-8x-7=0化成（x+m）2=n的形式是_______。 答案：（x-2）2= 4. 用配方法解下列方程： （1）-3x2+4x+1=0； 解：二次项系数化为1，得x2-x-=0。 移项并配方，得x2-x+=+， 即=。 ∴x-=±。 ∴x=±。 ∴x1=，x2=。 （2）3y2-6y+2=0。 解：二次项系数化为1，得y2-2y+=0. 移项并配方，得y2-2y+=-+， 即（y-1）2=。 ∴y-1=±。 ∴y=1±。 ∴y1=1+，y2=1-。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1．本节课学习的数学知识是用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程。 2．本节课学习的数学方法是什么？ ①转化思想，②根据实际问题建立数学模型。 3．用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤是什么？ 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P40习题2.4中的T1、T2、T※3。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第2课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 一、用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤 二、配方法的应用 提纲掣领，重点突出。 教后反思 本节课作为用配方法求解一元二次方程的第2课时，主要运用由简单到复杂，由特殊到一般的原则，重点展示了用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的基本步骤。在教学过程中，学生也会出现个别错误，表现在：①二次项系数没有化为1就盲目配方；②不能给方程“两边”同时配方。在后续的学习过程中还要加强训练。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$