2.2 配方法求解一元二次方程（分层作业）数学北师大版九年级上册

2.2 配方法求解一元二次方程 【题型1解一元二次方程-直接开方】 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了解一元二次方程，直接对方程的右边开平方即可． 【详解】解：， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）方程的根是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．利用直接开平方法解一元二次方程即可得． 【详解】解：， ， ， 所以方程的解为， 故选；D． 3．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，利用直接开平方法即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴，， 故答案为：，． 【题型2 解一元二次方程-配方法】 1.（2025·上海杨浦·模拟预测）用配方法解一元二次方程时，下列变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方的步骤是解题的关键；方程变形为，再配方即可． 【详解】解：由变形得：， 配方得：，即； 所以选：A． 2．（23-24九年级上·江苏·期中）若的值使得成立，则的值为（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25九年级上·山西晋城·期中）一元二次方程配方后可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的配方，熟练掌握一元二次方程的配方是解题的关键．根据完全平方公式进行配方即可． 【详解】解：， 故， 即， 4．（2025·湖南岳阳·一模）某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先把进行移项，再把二次项系数化1，然后配方，再解出的值，即可作答． 【详解】解：依题意，， 移项得， 整理得， ∴ ∴， ∴ ∴． 观察以及对比，得出错误是从乙同学负责的步骤开始出现的， 故选：B 5．（24-25九年级上·广东梅州·期中）把方程配方成为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将方程变形为，再方程两边同加上4，利用完全平方公式变形即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 7．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，移项后方程两边都除以2，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【详解】解：， 移项，得， 方程两边再时除以2，得， 配方，得， ∴， 开方，得， ∴，． 【题型3 配方法应用】 1．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）代数式的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了配方法的应用，掌握配方法成为解题的关键． 先根据完全平方公式配方，然后根据非负数的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴代数式的最小值是4． 故答案为：4． 2．（2025·山东德州·二模）对于代数式，以下结论正确的是（   ） A．该代数式有最小值为2 B．该代数式的值可以是任意的数 C．化简的结果是 D．使该代数式的值为3的的值是4 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，解一元二次方程等，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据，可得，即可判断选项A正确，选项B错误；根据完全平方公式可判断选项C错误；，解方程即可判断选项D． 【详解】解：∵， ∴， 故选项A正确，即代数式有最小值2，选项B错误； 由于， 则代数式化简结果不是， 故选项C错误； 当， 解得：和， 故选项D错误； 故选：A． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一个根为0，求实数的值； (2)当时，等腰的底边长和腰长分别是一元二次方程的两个根．请用配方法解此方程，并求出的周长． 【答案】(1)或 (2)13或11，详见解析 【分析】本题主要考查了方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的定义以及三角形三边关系等知识点， （1）将代入原方程可得出关于a的一元二次方程，解方程求出a的值； （2）先求解方程的解，再结合（1）以及等腰三角形的定义和三角形的三边关系，即可找出三角形的腰长，再根据三角形的周长公式即可得出结论，将方程的解代入原方程求出a值是解题的关键． 【详解】（1）∵方程有一个根为0， ∴把代入方程得， ∴或； （2）当时，方程为， 整理得， 配方得， 直接开平方得或， 解得， 当的底为3时，则该三角形的三边长为3，5，5，其周长为13， 当的底为5时，则该三角形的三边长为5，3，3，其周长为11， 综上所述，的周长为13或11． 1．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”． 如与是“同类方程”． （1）若与是“同类方程”，则 ． （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 【答案】 2026 【分析】此题主要考查了完全平方公式的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键． （1）根据“同类方程”的定义，可得出b的值． （2）根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值． 【详解】解：（1）与是“同类方程”， 即与是“同类方程”， ∴， 解得， 故答案为：； （2）∵与是“同类方程”， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． ∴当时，取得最大值为2026． 故答案为：2026． 2．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则有，，解得，．已知，求x，y的值，则有，，解得，． 根据以上材料解答下列各题： (1)若，求的值； (2)若分别表示的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了配方法，完全平方公式，代数式求值，非负数的性质，将多项式变形为完全平方式是解题的关键． （1）应用配方法将方程变形为，解方程得到，，代入计算即可； （2）为等腰三角形，理由：先将方程变形为，解方程得到，，进而得出，即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ，， . （2）解：为等腰三角形. 理由：， ， ， ，， ，， . 为等腰三角形. 3．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”． 解决问题： (1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式_____________； (2)已知，则的值是多少？ (3)数学学习的本质是“再创造”．周末，小明同学在复习配方法时，对代数式进行了配方，发现，小明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论：的最小值是2，即的最小值是2．请你解答，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查配方法的应用以及非负数的性质，属于基础题，掌握方法是关键． （1）根据“完美数”的定义求解即可； （2）利用完全平方公式变形为，求得和的值即可解决； （3）将变形为即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ∴代数式的最小值为4． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）对于三个不相等的实数，，，我们规定符号表示，，中的最大值，如：． (1)若，求的值； (2)当时，，直接写出的取值范围． 【答案】(1)2或 (2) 【分析】本题考查的是与一元二次方程和一次函数的性质，能够理解新定义是解题的关键． （1）根据题意得出或，解方程即可求得的值； （2）根据当时，函数的值小于函数的值，解答即可． 【详解】（1）解：∵， 或， 当时，， 则，不合题意， 当时，或， 则时，时，，符合题意； ∴若的值为2或； （2）解：∵， ， ， ， ， 对于，当时，， 对于，当时，， 由题意可知当时，在范围内，直线的图象在直线的下方， 所以的取值范围是：． 5．（24-25九年级上·广东梅州·期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用、代数式的最值等知识点，灵活运用完全平方公式是解本题的关键． （1）直接利用完全平方公式和材料求解即可； （2）先作差，再利用完全平方公式和材料求解即可； （3）根据题意表示出，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为，即A的最小值为． （2）解：，理由如下： ∵， ∵， ∴， ∴ （3）解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为4．即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出的最小值 ； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了配方法的应用．利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和是解题的关键． （1）原式配方后得到，即可得到答案； （2）将两式相减后利用配方法即可判断； （3）利用，结合，代入后配方得，即可得到答案． 【详解】（1）解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为3． 故答案为：3． （2）解： （3）解：四边形面积为： 四边形面积的最大值为． 2．（22-23九年级下·北京海淀·阶段练习）阅读理解 （一）阅读与思考： 通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式就是方程思想，刚学过的《勾股定理》及《一次函数》都与它有着密切的联系，方程家族也将迎来《一元二次方程》这一新成员，它的求解方法之一“配方法”，例如， 解一元二次方程． 解⇒⇒⇒或． ∴或． （二）解决问题： 如图1，矩形中，，，点G在上，且，点P以1单位每秒的速度在边上从点B到点C方向运动，设点P运动时间为x秒．      (1)记△APG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求时x的值； (2)在点P从B向C运动的过程中，是否存在使的时刻？若存在，求出x的值，请说明理由； (3)如图2，M，N分别是，的中点，线段所扫过的图形是什么形状 ，并直接写出它的面积 ． 【答案】(1)， (2) (3)平行四边形； 【分析】（1）先根据题意得到，，由题意得，根据得到y关于x的函数关系式，即可得到，把带入函数解析式，得到，即可求出； （2）若在点P从B向C运动的过程中，存在使，则有：， 据此得到方程，解方程得：； （3） 如图所示：当点P与B点重合时，点M位于中点；当点与C点重合时，点位于中点；根据题意得到、'分别是、中位线，进而得到，从而得到四边形MM'NN'为平行四边形，扫过的区域为平行四边形，根据平行四边形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，， 由题意得， ∵ ∴， ∴， 当时，， 解得：； （2）解：若在点P从B向C运动的过程中，存在使，则有：， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 化简得：， 即，     解得：； （3）解：如图所示：当点P与B点重合时，点M位于中点；当点与C点重合时，点位于中点；      ∵M是的中点，是的中点，点是中点， ∴、'分别是、中位线， ∴且,且， ∴， ∴四边形MM'NN'为平行四边形， ∴扫过的区域为平行四边形， ． 故答案为：平行四边形；15． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，平行四边形的判定，求一次函数，一元二次方程的应用等知识，熟知相关知识并灵活应用是解题关键，本题要注意方程思想的应用． 9 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 配方法求解一元二次方程 【题型1解一元二次方程-直接开方】 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）方程的根是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）方程的解为 ． 【题型2 解一元二次方程-配方法】 1.（2025·上海杨浦·模拟预测）用配方法解一元二次方程时，下列变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏·期中）若的值使得成立，则的值为（    ） A．5 B． C．3 D． 3．（24-25九年级上·山西晋城·期中）一元二次方程配方后可化为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南岳阳·一模）某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（24-25九年级上·广东梅州·期中）把方程配方成为 ． 6．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）解方程： 7．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）解方程：． 【题型3 配方法应用】 1．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）代数式的最小值是 ． 2．（2025·山东德州·二模）对于代数式，以下结论正确的是（   ） A．该代数式有最小值为2 B．该代数式的值可以是任意的数 C．化简的结果是 D．使该代数式的值为3的的值是4 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一个根为0，求实数的值； (2)当时，等腰的底边长和腰长分别是一元二次方程的两个根．请用配方法解此方程，并求出的周长． 1．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”． 如与是“同类方程”． （1）若与是“同类方程”，则 ． （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 2．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则有，，解得，．已知，求x，y的值，则有，，解得，． 根据以上材料解答下列各题： (1)若，求的值； (2)若分别表示的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 3．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”． 解决问题： (1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式_____________； (2)已知，则的值是多少？ (3)数学学习的本质是“再创造”．周末，小明同学在复习配方法时，对代数式进行了配方，发现，小明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论：的最小值是2，即的最小值是2．请你解答，求代数式的最小值． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）对于三个不相等的实数，，，我们规定符号表示，，中的最大值，如：． (1)若，求的值； (2)当时，，直接写出的取值范围． 5．（24-25九年级上·广东梅州·期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出的最小值 ； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 2．（22-23九年级下·北京海淀·阶段练习）阅读理解 （一）阅读与思考： 通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式就是方程思想，刚学过的《勾股定理》及《一次函数》都与它有着密切的联系，方程家族也将迎来《一元二次方程》这一新成员，它的求解方法之一“配方法”，例如， 解一元二次方程． 解⇒⇒⇒或． ∴或． （二）解决问题： 如图1，矩形中，，，点G在上，且，点P以1单位每秒的速度在边上从点B到点C方向运动，设点P运动时间为x秒．      (1)记△APG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求时x的值； (2)在点P从B向C运动的过程中，是否存在使的时刻？若存在，求出x的值，请说明理由； (3)如图2，M，N分别是，的中点，线段所扫过的图形是什么形状 ，并直接写出它的面积 ． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$