九上 2.1 第2课时 一元二次方程的解的估算-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(北师大版)

1 认识一元二次方程 课题 第2课时 一元二次方程的解 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P33-34 教学目标 1.经历探索满足一元二次方程的解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力。 2.进一步提高学生分析问题的能力，培养学生大胆尝试的精神，在尝试的过程中体验到学习数学的乐趣，培养学生的合作学习意识，学会在合作学习中相互交流。 教学重难点 重点：探索一元二次方程的解或近似解。 难点：用“夹逼”方法估算方程的解，求一元二次方程的近似解。 教学准备 多媒体课件、计算器。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同。 教师活动：对于前一课的这个问题，同学们能设法估计四周未铺地毯部分的宽度x（m）吗？这节课，我们来学习一元二次方程的解。（教师板书课题： 第2课时 一元二次方程的解） 教师通过上一课时的情境引出所学内容,激发学生的学习兴趣 2.实践探究，学习新知 【探究1】 我们知道，x满足方程 （8-2x）（5-2x）=18。 教师活动：根据教科书设置问题，一步一步引导学生探索所列方程的解。 （1）x可能小于0吗？可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由。 预设：x不可能小于0，因为宽度不能为负；x不可能大于4，（8-2x）表示地毯的长，所以有8-2x>0；x不可能大于2.5，（5-2x）表示地毯的宽，所以有5-2x>0。 师生活动：教师可将问题分成多个对不同学生进行提问，让每个学生都能参与思考。在实际问题中，用字母表示的数要符合实际情况，教师要提醒学生，注意x的取值要满足的条件。 （2）你能确定x的取值范围吗？ 预设：根据第（1）问的引导，学生很容易能得到x的取值范围为：0<x<2.5 （3）填写下表： 预设： 师生活动：教师可让学生自主填表，并对所填数值进行分析，分析应至少包括以下两个方面：①表格中，当x的值从小到大变化时，（8-2x）（5-2x）的值逐渐减小，经历了从大于18到等于18再到小于18的过程；②由表格可知，当x=1时，（8-2x）（5-2x）=18，由方程的解的意义，可以得出“x=1是方程（8-2x）（5-2x）=18的解”的结论。 （4）你知道所求宽度x（m）是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。 预设：根据第（3）问分析表格所填数据可知：所求宽度x（m）是1 m。 师生活动：教师可鼓励学生尝试别的方法，可以考虑从数的运算的角度思考（8-2x）（5-2x）=18，将18分解因数为6×3，然后凑出方程（8-2x）（5-2x）=18的解x=1。但对于这种方法，教师应使学生明白这种方法的局限性。 【探究2】 做一做：在前一课的问题中，梯子底端滑动的距离x（m）满足方程 （x+6）2+72=102， 也就是 x2+12x-15=0。 师生活动：教师可先安排学生将第一个方程化成一般形式，回顾上节课所学内容，巩固学生对知识的理解，让在上节课还有问题的学生可以解决自己的问题，跟上教师的授课步伐。 （1）小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗？为什么？ （2）底端滑动的距离可能是2 m吗？可能是3 m吗？为什么？ 预设：（1）不正确，因为x=1时不满足方程。（2）不可能是2，因为x=2时不满足方程；不可能是3，因为x=3时不满足方程。 师生活动：教师可先安排学生自己动手算一算，再对不同学生进行提问，让每个学生都有参与感。 （3）你能猜出滑动距离x（m）的大致范围吗？ 预设：在问题（1）（2）的判断过程中，学生可以得到下面的表格： x 1 2 3 x2+12x-15 -2 13 30 或 x 1 2 3 （x+6）2+72 98 113 130 可以看出，x=1时x2+12x-15<0，x=2时x2+12x-15>0（或者x=1时（x+6）2+72<100，x=2时（x+6）2+72>100），据此猜测x在1和2之间。 师生活动：教师可提示学生根据前两问所得结果进行列表，类比探究1，对表格所填数据进行分析，有了探究1的基础，学生很容易完成。学生还可能会用其他方法猜测x的大致范围，如学生可能由（x+6）2+72=102，得（x+6）2=51，从而判断x+6在7和8之间，即x在1和2之间。对此，教师应予以鼓励。 （4）x的整数部分是几？十分位是几？ 预设：x的整数部分是1，十分位是1。 师生活动：教师可引导学生使用多种方法进行估计，动手做一做，经历估计方程解的过程，让学生体会其中的基本思想。待大部分学生完成后，可让小组内进行交流，交换解题心得，再让学生代表展示，师生共同评议，最后引导学生整理自己的解题思路，并与教科书给出的求解过程进行对比，总结自己的问题。此外对估算的精度教师不应提出过高的要求，并可提倡学生在计算过程中可以使用计算器。 【归纳总结】 求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）近似解的方法及步骤： （1）方法：根据实际情况确定一元二次方程的解的大致取值范围，再通过具体的求值计算从两边接近方程的解，逐步求得符合精确度要求的方程的解的近似值，一般简称为“夹逼法”。 （2）步骤： 第一步：化为一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）； 第二步：根据实际情况确定x的大致取值范围； 第三步：在x范围内取整数值，能够使方程左边等于0，则这个数就是方程的一个解； 第四步：若在x的范围内取值，没有一个数能够使方程的左边为0，则找出值最接近0且小于0的数，这个数就是方程精确到十分位的取值。 重复以上步骤列表、计算、估计范围，直到找出符合要求的范围为止。 教师通过延续上一课时的具体问题，引导学生估计一元二次方程的解，促进学生对方程解的理解，培养学生的估算意识和能力，发展学生的数感。 引领学生经历一个初步估计范围、逐步逼近的过程，为后续其他问题的解决提供了范本、样例。 根据学生对估算方法的理解，通过具体的例子加深学生的印象。 通过总结，能让学生更好的理解求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的近似解的估算方法，为后面的题目做铺垫。 3.学以致用，应用新知 考点1 一元二次方程的解 例1 已知关于x的方程x2+mx+2=0的一个根为x=1，则实数m的值为（ ） A. 4 B. -4 C. 3 D. -3 答案：D 变式训练 已知m是方程x2-3x-1=0的一个根，则代数式2m2-6m的值为（ ） A. 0 B. 2 C. -2 D. 4 答案：B 考点2 一元二次方程的近似解 例2 根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0，可列表如下： x 2.5 3 3.1 3.2 3.3 3.4 x2+px+q -2.75 -1 -0.59 -0.16 0.29 0.76 则方程x2+px+q=0的正数解满足（ ） A. 解的整数部分是3，十分位是1 B. 解的整数部分是3，十分位是2 C. 解的整数部分是3，十分位是3 D. 解的整数部分是3，十分位是4 答案：B 变式训练 探索一元二次方程x2+3x-5=0的一个正数解的过程如下表： x -1 0 1 2 3 4 x2+3x-5 -7 -5 -1 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应介于整数a和整数b之间，则a+b的值为_______。 答案：3 通过例题和变式训练的讲解，巩固学生对一元二次方程的解以及近似解的理解，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 4.随堂训练，巩固新知 1. 已知关于x的一元二次方程x2-x+k=0的一个根是2，则k的值是（ ） A. -2 B. 2 C. 1 D. -1 答案：C 2. 若a是方程2x2-x-3=0的一个解，则6a2-3a的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 9 D. -9 答案：C 3. 若正数x满足x2＝3，则下列正确的是（ ） A. 1.7<x<1.71 B. 1.71<x<1.72 C. 1.72<x<1.73 D. 1.73<x<1.74 答案：B 4. 方程x2+2x-10=0的一个近似解（结果精确到0.1）是（ ） A. 2.4 B. -4.2 C. -4.3 D. -4.4 答案：B 5. 根据下表中的对应值，判断一元二次方程x2-4x+2=0的解的取值范围是（ ） A. 0<x<0.5或3.5<x<4 B. 0.5<x<1或2<x<2.5 C. 0.5<x<1或3<x<3.5 D. 1<x<1.5或3.5<x<4 答案：B 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 师生互相交流总结探索解一元二次方程的基本思路和关键步骤，以及在求解（或近似解）时应注意的问题。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P35习题2.2中的T1、T2、T3。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第2课时 一元二次方程的解 一、一元二次方程的解 二、一元二次方程的近似解 提纲掣领，重点突出。 教后反思 “估算”在求解实际生活中一些较为复杂的方程时应用广泛。在本节课中让学生体会用“夹逼”方法解决一元二次方程的解或近似解的方法。教学设计上，强调自主学习，注重合作交流，在探究过程中获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新的能力。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$