九上 1.3 第2课时 正方形的判定-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(北师大版)

3 正方形的性质与判定 课题 第3课时 正方形的判定 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P22-23 教学目标 1.掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。 2.发现决定中点四边形形状的因素，能熟练地运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明，进一步发展学生演绎推理的能力。 3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。 教学重难点 重点：掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。 难点：各种四边形的中点四边形的判断及证明。 教学准备 多媒体课件、长方形纸片、菱形活动框架、剪刀、直尺、量角器、圆规等。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开。怎样剪才能剪出一个正方形？（学生动手折叠、思考、剪切） 师生活动：教师可以鼓励操作快的学生帮助有困难的学生，请学生到讲台前讲解自己的做法，教师顺势追问判断依据，学生回答，然后教师引出课题。 教师活动：同学们回答的很好，但是判断一个图形是不是正方形，光靠直观的感受是不够的，在数学上，还需要严格的证明，这节课，我们来学习正方形的判定。（教师板书课题： 第2课时 正方形的判定） 教师通过学生熟悉的场景和事物引出所学内容,使学生感受到数学就在我们身边,数学离不开生活,渗透善于观察生活中的数学的学习意识,同时也激发了学生的学习兴趣,加强了非智力因素的培养。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 议一议：满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？ 教师活动：根据“议一议”中的问题，我们做两个活动来探索一下。 活动1： 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证。 教师活动：满足怎样条件的矩形是正方形？ 学生活动：猜想1：当矩形的一组邻边相等时，会变成一个正方形。 猜想2：当矩形的对角线互相垂直时，会变成一个正方形。 活动2： 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形。 教师活动：满足怎样条件的菱形是正方形？ 学生活动：猜想3：当菱形的有一个角是直角时，会变成一个正方形。 猜想4：当菱形的对角线相等时，会变成一个正方形。 教师活动：通过上面两个活动的探索，我们可以得到四个猜想，同学们能证明这四个猜想吗？ 师生活动：教师可以让学生分成小组形式，每个小组选一个猜想进行证明，小组内成员先独立思考，再小组内进行交流。等待大部分学生书写完成后，由小组分别派出代表分别展示四个猜想的证明过程，师生共同评议。 【演绎证明】 猜想1：有一组邻边相等的矩形是正方形。 已知：四边形ABCD是矩形，AB=BC。 求证：四边形ABCD是正方形。 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°，四边形ABCD是平行四边形。 又∵AB=BC， ∴四边形ABCD是正方形。 猜想2：对角线互相垂直的矩形是正方形。 已知：四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD。 求证：四边形ABCD是正方形。 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=90°。 ∴OB=OD。 又∵AC⊥BD， ∴AB=AD。 ∴四边形ABCD是正方形。 猜想3：有一个角是直角的菱形是正方形。 已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°。 求证：四边形ABCD是正方形。 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，四边形ABCD是平行四边形。 又∵∠A=90°， ∴四边形ABCD是正方形。 猜想4：对角线相等的菱形是正方形。 已知：四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AC=BD。 求证：四边形ABCD是正方形。 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，四边形ABCD是平行四边形。 又∵AC=BD。 ∴四边形ABCD是矩形。 ∴∠DAB=90°。 ∴四边形ABCD是正方形。 【归纳总结】 定理：有一组邻边相等的矩形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=CD， ∴矩形ABCD是正方形。 定理：对角线互相垂直的矩形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， ∴矩形ABCD是正方形。 定理：有一个角是直角的菱形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∠A=90°， ∴菱形ABCD是正方形。 定理：对角线相等的菱形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，AC=BD， ∴菱形ABCD是正方形。 【教材例题】 例2 如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 证明：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形。 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，∠DCB=90°。 又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴∠EBC=∠ABC=45°，∠ECB=∠DCB=45°。 ∴∠EBC=∠ECB。 ∴EB=EC。 ∴▱BECF是菱形（菱形的定义）。 在△EBC中， ∵∠EBC=45°，∠ECB=45°， ∴∠BEC=90°。 ∴菱形BECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。 【探究2】 做一做：我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形。那么，任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？ 师生活动：教师提出问题，让学生通过画图、测量或直接猜想四边形的形状，并进行证明。再请学生上台演示，交流。 （可先证四边形A1B1C1D1是矩形，再证其是正方形，也可先证其是菱形，再证其是正方形。） 议一议：（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明。如果以平行四边形各边的中点呢？ （2）以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？ 师生活动：教师指导学生以小组合作的形式，在其他众多的特殊四边形（主要是平行四边形，矩形，菱形）中选择自己感兴趣的四边形来研究中点四边形，并探究中点四边形与原四边形的哪些线段有关系。再分别请每组学生代表上台演示，交流。（教师在学生展示完后，多媒体课件给出总结） 图3 图5 图6 图7 图2 图1 图4 【归纳总结】 任意四边形的中点四边形是平行四边形（如图1、5、6、7）； 矩形的中点四边形是菱形（如图2）； 菱形的中点四边形是矩形（如图3）； 正方形的中点四边形是正方形（如图4）。 通过两个活动，引导学生分别从矩形的基础上和菱形的基础上进行探究，考虑满足什么条件的矩形或菱形是正方形，教学时也可以根据实际情况进行适当的调整。教学时应鼓励学生积极探索，大胆猜想。在此基础上再进行严格的证明。 通过证明让学生明确正方形的判定定理1、2、3、4，培养学生的逻辑推理能力 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。 探究中点四边形的问题，旨在综合应用平行四边形及正方形的性质定理和判定定理，发展空间感念，培养学生解决问题的能力。 利用类比的方法分别提出了以菱形、矩形以及平行四边形各边中点为顶点所组成图形的形状问题，除了让学生猜测、证明外，还希望学生能进一步分析、概括得到一个一般性的结论：所得的四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系。 3.学以致用，应用新知 考点1 有一组邻边相等的矩形是正方形 例1 在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC，∠BAC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F。 求证：四边形DECF为正方形。 证明：如图，过点D作DN⊥AB，垂足为N，连接CD。 ∵∠ACB=90°，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴四边形DECF是矩形。 ∵∠ABC，∠BAC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，DN⊥AB， ∴DF=DN，DE=DN。 ∴DF=DE。 ∴四边形DECF是正方形。 考点2 对角线互相垂直的矩形是正方形 例2 如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点。连接EF，若BE⊥EC，EF⊥BC， 求证：四边形EGFH是正方形。 证明：如图，连接GH。 ∵G，F分别是BE，BC的中点， ∴GF∥EC，GF=EC。 ∴GF∥EH，GF=EH。 ∴四边形EGFH是平行四边形。 ∵BE⊥EC， ∴∠GEH=90°。 ∴四边形EGFH是矩形。 ∵G，H分别是BE，CE的中点， ∴GH∥BC。 又∵EF⊥BC， ∴EF⊥GH。 ∴矩形EGFH是正方形。 考点3 有一个角是直角的菱形是正方形 例3 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC。 求证：四边形AFDE为正方形。 证明：∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AFDE是平行四边形。 ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD=∠EAD。 ∵DE∥AB， ∴∠EDA=∠FAD。 ∴∠EDA=∠EAD。 ∴AE=DE。 ∴四边形AFDE是菱形。 ∵∠BAC=90°， ∴四边形AFDE是正方形。 考点4 对角线相等的菱形是正方形 例4 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，OE=OA。求证：四边形AECF是正方形。 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD。 ∵BE=DF， ∴OE=OF。 ∴四边形AECF是平行四边形。 又∵AC⊥BD， ∴▱AECF是菱形。 ∵OE=OA， ∴EF=AC。 ∴菱形AECF是正方形。 考点5 中点四边形 例5 如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列结论一定正确的是（ ） A. 四边形EFGH是矩形 B. 四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的 C. 四边形EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和 D. 四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和 答案：D 变式训练 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，若AC=6，BD=8，则四边形EFGH的面积是_______。 答案：12 通过例题讲解，巩固理解“有一组邻边相等的矩形是正方形”的判定定理，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题讲解，巩固理解“对角线互相垂直的矩形是正方形”的判定定理，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题讲解，巩固理解“对角线互相垂直的矩形是正方形”的判定定理，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题讲解，巩固理解“对角线相等的菱形是正方形”的判定定理，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题讲解，考查判断中点四边形的形状，以及中点四边形面积、周长与原四边形的关系。一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过变式训练巩固所学知识，灵活运用中点四边形的知识理解决问题。 4.随堂训练，巩固新知 1. 下列命题是真命题的是（ ） A. 四边相等的四边形是正方形 B. 一组邻边相等的矩形是正方形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 答案：B 2. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，增加下列条件仍不能推出四边形ABCD是正方形的是（ ） A. ∠ABC＝90° B. ∠BAD＝∠BCD C. AC＝BD D. OA＝OB 答案：B 3. 如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ） A. AB∥DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. AB=DC 答案：C 4. 如图所示，E是正方形ABCD边BC上任意一点，EF⊥BO于F，EG⊥CO于G，若AB=10 cm，则四边形EGOF的周长是_______cm。 答案：10 5. 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC=BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA，的中点。 求证：四边形EFGH是正方形。 证明：∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点， ∴EF=AC，GH=AC，EH=BD，FG=BD，EF∥AC且EH∥BD。 ∵AC=BD，EF=FG=GH=HE， ∴四边形EFGH是菱形。 又∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD， ∴EH⊥EF，即∠HEF=90°。 ∴四边形EFGH是正方形。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.正方形的判定： 定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 定理：有一组邻边相等的矩形是正方形。 定理：对角线互相垂直的矩形是正方形。 定理：有一个角是直角的菱形是正方形。 定理：对角线相等的菱形是正方形。 2.中点四边形 任意四边形的中点四边形是平行四边形。 矩形的中点四边形是菱形。 菱形的中点四边形是矩形。 正方形的中点四边形是正方形。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P25习题1.8中的T1、T2、T3、T4。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第2课时 正方形的判定 提纲掣领，重点突出。 教后反思 在探索正方形判定方法的过程中，充分发挥学生的主体性，让学生经历自主“做数学”的过程，让学生对正方形有了直观认识，进而探索出正方形的判定方法，为学生营造一种创新的学习氛围，把学生引上探索问题之路，成功的达到了让学生直观认识正方形的目的。在例题和练习的研讨中，通过一道证明题的研讨，鼓励学生大胆尝试，同时鼓励其他同学互帮互助，交流自己解决问题的过程及成功的体验，给学生留下充分的空间，不断激发学生的探索精神，培养学生的合作交流和逻辑推理能力，提高学生分析和解决问题的能力。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$