九上 1.3 第1课时 正方形的性质-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(北师大版)

3 正方形的性质与判定 课题 第1课时 正方形的性质 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P20-21 教学目标 1.理解正方形的概念，了解它与菱形、矩形、平行四边形之间的关系。 2.探索并证明正方形的性质，进一步发展推理能力。 3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。 教学重难点 重点：探索并证明正方形的性质定理。 难点：掌握正方形的性质的应用方法。 教学准备 多媒体课件、矩形纸张、活动的菱形框架。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 下列图片中出现的四边形都是特殊的平行四边形。观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征吗？ 师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。 学生回答：这些特殊的平行四边形均是正方形。 这节课我们就来研究正方形的概念及性质。（教师板书课题： 第1课时 正方形的性质） 教师活动：同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形的四条边有什么关系？�四个角呢？ 学生活动：观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片，进行联想．易知：正方形四条边都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学已学过）。 【归纳结论】 正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 教师通过学生熟悉的场景和事物引出所学内容,使学生感受到数学就在我们身边,数学离不开生活,渗透善于观察生活中的数学的学习意识,同时也激发了学生的学习兴趣,加强了非智力因素的培养。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 思考：（动手做一做） （1）怎样用一张矩形的纸片折出一个正方形？ （2）能不能将一个活动的菱形框架拉成一个正方形？ 学生发现：（1）只要矩形一组邻边相等，这样的矩形就是正方形。（2）只要菱形一个角是直角，这样的菱形就是正方形。 议一议：（与同伴交流） （1）正方形是矩形吗？是菱形吗？ （2）你认为正方形具有哪些性质？ 教师追问：正方形还具有哪些性质？（教师板书画出一个正方形，如下图） 学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质；它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质。 【归纳总结】 正方形的性质： 定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 定理：正方形的对角线相等且互相垂直平分。 师生活动：同学们能尝试写一下这两个定理的证明过程吗？（学生独立完成，并相互交流） 【探究2】 想一想：正方形有几条对称轴？ 师生活动：教师出示问题，让学生拿出一张正方形纸片，折一折，观察、思考、发现结论并与同伴交流。 总结：正方形是轴对称图形，它有四条对称轴。 【教材例题】 例1 如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF。 BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由。 教师活动：操作投影仪．组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：BE=DF，且BE⊥DF。理由如下： （1）∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=DC，∠BCE=90°（正方形的四条边相等，四个角都是直角）。 ∴∠DCE=180°-∠BCE=180°-90°=90°。 ∴∠BCE=∠DCF。 又∵CE=CF， ∴△BCE≌△DCE。 ∴BE=DF。 （2）延长BE交DF于点M（如图）。 ∵△BCE≌△DCE， ∴∠CBE=∠CDF。 ∵∠DCF=90°， ∴∠CDF+∠F=90°， ∴∠CBE+∠F=90°， ∴∠BMF=90°， ∴BE⊥DF。 议一议：议平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？ 师生活动：教师出示问题，让学生尝试表示它们之间的关系，教师引导。 学生动手操作，引导学生在动手操作中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形、菱形的关系。 学生动手操作后,小组之间交流议一议中的问题，教师通过追问的方式,让学生互相补充,巩固对正方形性质的理解。教师板书画出一个正方形并标上字母，方便学生用几何语言描述。 教师归纳出正方形的性质的两个定理，并引导学生证明，加深学生对知识的理解，培养学生的演绎推理能力。 培养学生的动手能力和发现规律的能力。 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。 小组交流，引导学生从角、对角线的角度归纳总结。让学生整体地理解平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系，并能直观地表示这种关系。 3.学以致用，应用新知 考点1 正方形的四个角都是直角，四条边相等 例1 如图，点E，F分别在正方形ABCD的边DC，BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，求∠EAF度数。 解：在Rt△ABF与Rt△AGF中， ∵AB=AG，AF=AF，∠B=∠G=90°， ∴△ABF≌△AGF（HL）。 ∴∠BAF=∠GAF。 同理易得：△AGE≌△ADE， ∴∠GAE=∠DAE。 ∴∠EAF=∠EAG+∠FAG =（∠DAG+∠BAG） =∠DAB=45°。 ∴∠EAF=45°。 变式训练 如图1，正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在BC，CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°。 （1）求证：DF+BE=EF； （2）求∠EFC的度数。 图1 图2 解：（1）证明：如图2，延长EB至G，使BG=DF，连接AG。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°。 ∵BG=DF， ∴△ABG≌△ADF。 ∴AG=AF。 ∵∠BAE=30°，∠DAF=15°， ∴∠FAE=∠GAE=45°。 ∵AE=AE， ∴△FAE≌△GAE。 ∴EF=EG=GB+BE=DF+BE。 （2）∵△AGE≌△AFE， ∴∠AFE=∠AGE=∠DFA=90°-∠DAF=75°。 ∴∠EFC=180°-∠DFA-∠AFE=180°-75°-75°=30°。 ∴∠EFC=30°。 考点2 正方形的对角线相等且互相平分 例2 如图，在正方形ABCD中，AB=1，P是线段AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F，则PE+PF的值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 答案：D 变式训练 如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_______。 答案：4 通过例题讲解，巩固理解“正方形的四个角都是直角，四条边相等”的性质，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过变式训练巩固所学知识，灵活运用正方形的性质定理解决问题。 通过例题讲解，巩固理解“正方形的对角线相等且互相平分”的性质，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 4.随堂训练，巩固新知 1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等 答案：A 2. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE=1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 答案：B 3. 在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是________。 答案：22.5° 4. 如图，正方形CEGF的顶点E，F在正方形ABCD的边BC，CD上，且AB=5，CE=3，连接BG，DG，则图中阴影部分的面积是_______。 答案：8 5. 如图，正方形ABCD的边长为1 cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长。 解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B=90°，∠ACB=45°，AB=BC=1 cm。 ∵EF⊥AC， ∴∠EFA=∠EFC=90°。 又∵∠ECF=45°， ∴△EFC是等腰直角三角形。 ∴EF=FC。 ∵∠BAE=∠FAE，∠B=∠EFA=90°，AE=AE， ∴△ABE≌△AFE。 ∴AB＝AF=1cm，BE=EF。 ∴FC=BE。 在Rt△ABC中，AC== cm， ∴FC=AC-AF=（-1）cm。 ∴BE=（-1）cm。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2.正方形的性质： 定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 定理：正方形的对角线相等且互相垂直平分。 正方形是轴对称图形，它有四条对称轴。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P22习题1.7中的T1、T2、T3、T※4。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第1课时 正方形的性质 一、正方形的定义 二、正方形的性质 投影区 1.定理 2.定理 3.对称性 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 创设情境导入，新授知识层层递进、联系密切，过渡自然，调动学生的学习热情，注意力集中不分散。 让学生在知道正方形是特殊的菱形和矩形的基础上，小组讨论得出正方形的性质，有利于学生的自主学习。通过学生的动手操作，讨论如何将矩形折成正方形、如何将菱形拉成正方形，培养学生的动手能力和思维能力。本课虽然是学习正方形的性质，实际上应起到对平行四边形、矩形、菱形性质的复习、归纳和总结的作用，培养学生的发散思维能力。 教学中鼓励学生大胆探索新颖独特的解题思路和解题方法，提倡解题方法的多样性，并引导学生在与他人的交流中比较解题方法的异同，有利于提高学生的逻辑思维水平。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$