九上 2.5 一元二次方程的根与系数的关系-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(北师大版)

* 5 一元二次方程的根与系数的关系 学习目标 1.了解一元二次方程的根与系数的关系。（重点） 2.利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题。（难点） 复习导入 通过前面的学习我们发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式.除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢? 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式 知识讲解 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 思考：解下列方程，并观察每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？ 从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式.由此可知，方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1＋x2＝－p，x1x2＝q. 1. 二次项系数为1，能因式分解的一元二次方程 一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？ 2. 一般的一元二次方程 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）当b2-4ac ≥ 0 时有两个根： x1+x2 = x1x2 = 如果方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两根实数根x1，x2，那么 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 总结 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1)x2＋7x＋6＝0； (2)2x2－3x－2＝0. 解：(1)这里a＝1，b＝7，c＝6. Δ＝b2－4ac＝72－4×1×6＝49－24＝25>0. ∴方程有两个实数根． 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 x1＋x2＝－7，x1x2＝6. 随 堂 小 测 1.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1)x2－6x－15＝0；(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2. 解： 2. 若实数x1，x2满足x1+x2=3,x1x2=2,则下列一元二次方程以x1，x2为根的是(　　) A．x2-3x+2=0 B．x2+3x-2=0 C．x2+3x+2=0 D．x2-3x-2=0 A 3.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1，则：p = , q= . 1 -2 4.下列一元二次方程中，有两个实数根的和为2的是（ ） A.x2-2x+2=0 B.x2-2x+2022=0 C.x2-2x-2022=0 D.x2+2x-2=0 C 知识点2 一元二次方程的根与系数的关系的应用 例2 已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值. 思路：已知二次项系数与一次项系数，利用两根之和可求出另一根，再运用两根之积求出常数项中p的值． 归纳： 求解此类问题时，若待定字母在一次项中，可先用两根之积的关系求出另一根，然后代入方程求待定字母的值，或者用两根之和的关系求待定字母的值；若待定字母在常数项中，可先用两根之和的关系求出另一根，然后代入方程求待定字母的值，或者用两根之积的关系求待定字母的值. 随 堂 小 测 1.已知关于x的一元二次方程(m-3)x2+2x+m2-9=0有一个根是x=0,试确定m的值并求该方程的另一个根. 2.关于x的一元二次方程x2-2x+3m-2=0有实数根. (1)求m的取值范围; (2)若方程有一根为4,求方程的另一根. 4.若p,q是一元二次方程x2+4x-9=0的两个根，则p2+3p-q的值是( ) A.6 B.9 C.12 D.13 D 解析：∵p,q是一元二次方程x2+4x-9=0的两个根， ∴p+q=-4,p2+4p-9=0，即p2+4p=9. 则原式=（p2+4p）-（p+q）=9-(-4)=9+4=13. 5.若a、b是关于x的一元二次方程x2-2kx+4k=0的两个实数根，且a2+b2=12，则k的值是（ ） A.-1 B.3 C.-1或3 D.-3或1 A 解析：∵a、b是关于x的一元二次方程x2-2kx+4k=0的两个实数根， ∴Δ=4k2-16k≥0,即k≥4或k≤0, a+b=2k,ab=4k, ∵a2+b2=12,∴(a+b)2-2ab=12,即4k2-8k=12, 整理得:k2-2k-3=0,即(k-3)(k+1)=0, 解得:k=3(不合题意,舍去)或k=-1, 则k=-1. 6.设x1，x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2) 小结 1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2和系数a，b，c的关系： 3.一元二次方程的根与系数的关系的应用： （1）判定两根的符号； （2）已知一根求另一根及字母的值； （3）求涉根代数式的值； （4）构建以两已知数为根的一元二次方程. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $$