九上 1.2 第2课时 矩形的判定-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(北师大版)

2 矩形的性质与判定 课题 第2课时 矩形的判定 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P14-15 教学目标 1.经历矩形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力。 2.能够运用综合法证明矩形的判定定理，进一步发展演绎推理能力。 3.通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。 教学重难点 重点：矩形判定定理的证明和应用。 难点：学生独立完成证明的过程，发展合情推理能力。 教学准备 多媒体课件、平行四边形活动框架。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 上节课我们学习了矩形的定义和性质，请同学们找一找，生活中有哪些地方存在矩形？ 师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。 教师活动：同学们回答的很好，但是判断一个图形是不是矩形，光靠直观的感受是不够的，在数学上，还需要严格的证明，这节课，我们来学习矩形的判定。（教师板书课题： 第2课时 矩形的判定） 教师通过学生熟悉的场景和事物引出所学内容,使学生感受到数学就在我们身边,数学离不开生活,渗透善于观察生活中的数学的学习意识,同时也激发了学生的学习兴趣,加强了非智力因素的培养。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 做一做：如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化。 教师活动：操作活动框架，并问：随着∠α的变化，两条对角线的的长度将发生怎样的变化？ 学生回答：随着∠α的变化，两条对角线的长度一条变长，另一条变短。 师生活动：组织学生探究当两条对角线的长度相等时，平行四边形的特征，并进行猜想什么条件的平行四边形是矩形。 教师活动：我们可以发现：对角线相等的平行四边形是矩形。同学们能证明这个结论吗？ 已知：如图，在▱ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，AC=BD。 求证：▱ABCD是矩形。 师生活动：操作投影仪。鼓励学生先独立思考，自主分析证明思路，并与同学进行交流。等待大部分学生书写完成后，由学生代表展示证明的书写过程，师生共同评议。 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，AB∥DC。 又∵BC=CB，AC=DB， ∴△ABC≌△DCB。 ∴∠ABC=∠DCB。 ∵AB∥DC， ∴∠ABC+∠DCB=180°。 ∴∠ABC=∠DCB=×180°=90°。 ∴▱ABCD是矩形（矩形的定义）。 【归纳总结】 定理：对角线相等的平行四边形是矩形。 几何语言：如图，在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形。 【探究2】 想一想：我们知道，矩形的四个角都是直角。反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？ 教师活动：多媒体动画演示四边形的内角是直角的个数，学生观察后得出猜想。 学生活动：猜想得到结论：三个角是直角的四边形是矩形。 教师提问：同学们能证明这个结论吗？ 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°。 求证：四边形ABCD是矩形。 师生活动：操作投影仪。鼓励学生先独立思考，自主分析证明思路，并与同学进行交流。等待大部分学生书写完成后，由学生代表展示证明的书写过程，师生共同评议。 证明：∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°。 ∴AD∥BC，AB∥CD。 ∴四边形ABCD是平行四边形。 ∴四边形ABCD是矩形。 【归纳总结】 定理：有三个角是直角的四边形是矩形。 几何语言：如图，在四边形ABCD中， ∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形。 议一议：（小组交流） 教师活动：你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎么检查？ 学生活动：先用绳子测量四边形的两组对边是否相等，相等则是平行四边形；再用绳子测量对角线是否相等，相等则是矩形。 教师追问：说明一下检查方法的合理性。 学生回答：对角线相等的平行四边形是矩形。 【教材例题】 例2 已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求▱ABCD的面积。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD。 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4。 ∴OA=OB=OC=OD=4。 ∴AC=BD=2OA=2×4=8。 ∴▱ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。 ∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）。 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2， ∴BC===4。 ∴S▱ABCD=AB·BC =4×4=16。 引导学生考虑满足什么条件的平行四边形是矩形，教学时也可以根据实际情况进行适当的调整。当活动框架变化到两条对角线相等时，这个内角看上去是直角，此时平行四边形看上去是矩形。教学时应鼓励学生积极探索，大胆猜想。在此基础上再进行严格的证明。 利用多媒体引导学生通过逆向思考矩形的性质提出猜想“有三个角是直角的四边形是矩形”，并进行证明，发展学生合作交流意识、合情推理能力。 当学生知道判定方法后,自然引入实际应用,即教科书中的“议一议”，鼓励学生利用矩形的判定定理解决问题，让学生体会数学与生活的联系。 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。可能会有学生没有证明▱ABCD是矩形，却想当然地认为它是矩形而直接计算。对此，教师应适时地加以启发引导。 3.学以致用，应用新知 考点1 对角线相等的平行四边形是矩形 例1 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD为矩形的是（ ） A. ∠BAD=90° B. ∠BAD=∠ABC C. ∠BAO=∠OBA D. ∠BOA=90° 答案：D 变式训练 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点M，N，P，Q分别为AB，BC，CD，DA的中点，有下列四个推断， ①对于任意四边形ABCD，四边形MNPQ可能不是四边形； ②若AC=BD，则四边形MNPQ一定是菱形； ③若AC⊥BD，则四边形MNPQ一定是矩形； ④若四边形ABCD是菱形，则四边形MNPQ也是菱形。 所有正确推断的序号是_________。 答案：②③ 考点2 有三个角是直角的四边形是矩形 例2 依据所标数据，下列不一定是矩形的是（ ）。 A B C D 答案：B 变式训练 如图，▱ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由。 解：四边形EFGH是矩形。理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC。 ∴∠DAB+∠ABC=180°。 ∵AE，BE分别平分∠DAB，∠ABC， ∴∠EAB=∠BAD，∠EBA=∠ABC。 ∴∠EAB+∠EBA=∠BAD+∠ABC=（∠BAD+∠ABC）=×180°=90°。 ∴∠AEB=90°。 ∴∠HEF=90°。 同理：∠EFG=90°，∠FGH=90°。 ∴四边形EFGH是矩形。 通过例题和变式训练的讲解，巩固理解“对角线相等的平行四边形是矩形”的判定定理，此定理一般会给出对角线添加判定条件。 通过例题和变式训练的讲解，巩固理解“有三个角是直角的四边形是矩形”的判定定理。 4.随堂训练，巩固新知 1. 如图，直线EF∥MN，PQ交EF，MN于A，C两点，AB，CB，CD，AD分别是∠EAC，∠MCA，∠ACN，∠CAF的角平分线，则四边形ABCD是（ ） A. 菱形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 不能确定 答案：C 2. 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A. AB＝CD B. AD＝BC C. AB＝BC D. AC＝BD 答案：D 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 两条对角线相等的四边形是矩形 C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是矩形 答案：C 4. 已知：如图，在▱ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC。 求证：四边形BEDF是矩形。 证明：在▱ABCD中，AB=CD。 ∵M是AD边的中点， ∴MA=MD，且MB=MC， 即△ABM≌△DCM。 ∴∠A=∠D。 又∵∠A+∠D=180°， ∴∠A=∠D=90°。 ∴四边形ABCD是矩形。 5. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC。 （1）求证：△ADC≌△ECD； （2）若BD＝CD，求证：四边形ADCE为矩形。 解：（1）证明：∵△ABC是等腰三角形， ∴∠B=∠ACB。 又∵四边形ABDE是平行四边形， ∴∠B=∠EDC，AB=DE。 ∴∠ACB=∠EDC。 ∴△ADC≌△ECD。 （2）∵AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC=90°。 ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AE平行且等于BD，即AE平行且等于DC。 ∴四边形ADCE是平行四边形。 而∠ADC=90°， ∴四边形ADCE是矩形。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 矩形的判定： 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 定理：对角线相等的平行四边形是矩形。 定理：有三个角是直角的四边形是矩形。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P16习题1.5中的T1、T2、T3。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第2课时 矩形的判定 一、定义法 二、对角线相等 三、有三个角是直角 提纲掣领，重点突出。 教后反思 在探究矩形的判定定理过程中，不能机械地照搬教材内容，而应该对教材内容进行再加工，灵活运用，使教材内容得到升华。几何教学对学生想象能力要求比较高，有些学生在这方面很有优势，而有些学生可能要差一点，课堂教学不能过急。此外，几何教学中要合理把握学生的课堂兴奋点，合理安排时间，力图让学生在注意力最集中时完成最重要的知识内容，掌握本节课重要的学习方法。还要注意的是，不要让思维活跃的学生的回答掩盖了其他学生的疑问，应该争取关注每一个学生。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$