九上 2.3 第2课时 一元二次方程根的判别式的应用-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(北师大版)

3 用公式法求解一元二次方程 第2课时 一元二次方程根的判别式的应用 学习目标 通过列一元二次方程解决简单的实际问题，体会模型思想，增强应用意识和能力. 课时导入 在一块长为16 m，宽为12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你能给出设计方案吗？ 方案1 方案2 方案3 方案4 方案5 如何设未知数？怎样列方程？ 解：设小路的宽为x m，由题意得： (16-2x)(12-2x) =16×12× 整理，得：x2-14x+24 = 0 配方，得：x2-14x+72-72+24 = 0 (x-7)2 = 25 开方，得：x1= 2，x2=12（舍） 答：小路的宽为2 m. 方案6 如何设未知数？怎样列方程？ 解：设扇形的半径为x m，由题意得： πx2 = 16×12× πx2 = 96 x1≈ 5.5，x2≈ -5.5（舍） 方案7 如何设未知数？怎样列方程？ 解：设花园的宽为x m，由题意得： 16x + 12x - x2 = 16×12× 化为一般形式，得x2 - 28x + 96 = 0 解得x1＝24（舍去），x2＝4． 所以花园的宽为4 m． 知识点 一元二次方程根的判别式的应用 例：将一根长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁 丝的长度为周长做成正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于17 cm2，那 么这根铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ 解：设其中一个正方形的周长为x cm，则另一个 正方形的周长为(20－x)cm. 由题意可列方程为()2+()2=17. 整理，得x2－20x+64=0. ∴ x= ，∴ x1=16，x2=4. ∴两段铁丝的长度分别为16 cm 和4 cm. (2)两个正方形的面积之和可能等于12 cm2 吗？若可能，分别求出两段铁丝的长度；若不可能，请说明理由. 解：不可能. 理由：若两个正方形的面积之和等于12 cm2， 则可列方程为()2+()2=12. 整理，得x2－20x+104=0. ∵ b2－4ac=(－20)2－4×1×104=－16<0， ∴此方程无实数解. ∴两个正方形的面积之和不可能等于12 cm2. 随 堂 小 测 1.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方 程x2－4x＋k＝0的两个根，则k的值为(　　) A．3 B．4 C．3或4 D．7 C 2.定义运算：m☆n＝mn2－mn－1，例如：4☆2＝4×22 －4×2－1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 A 3.在等腰△ABC 中，三边分别为a，b，c，其中a=5， 若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数 根，求△ABC 的周长. 解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根， 所以Δ=b2－4ac=(b-2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0. 所以b=-10或b=2. 将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4； 将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）； 所以△ABC 的三边长为4，4，5， 其周长为4+4+5=13. 小结 几何图形与一元二次方程问题 几何图形 常见几何图形面积是等量关系. 类 型 课本封面问题 彩条/小路宽度问题 常采用图形平移能聚零为整方便列方程 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$