九上 2.2 第2课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(北师大版)

2 用配方法求解一元二次方程 第2课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 学习目标 1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.（重点） 2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程.（难点） 知识讲解 知识点 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 观察下面两个一元二次方程,想一想它们的联系和区别： ① x2 + 6x + 8 = 0; ② 3x2 +8x－3 = 0. 想一想怎么来解3x2 +8x－3 = 0. 例 解方程 3x2 + 8x–3 = 0. 解：方程两边都除以 3，得 移项，得 配方，得 两边开平方，得 所以 用配方法解下列方程： （1）－3x2＋4x＋1＝0. 随 堂 小 测 （2）3y2－6y＋2＝0. （3）(3x－1)(x－2)＝12. （4）4x2＋4x＋y2－2y＋2＝0. 思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？ 思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤. 移项时需注意改变符号. ①移项，二次项系数化为1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程. 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p. ①当p>0时，则 ，方程的两个根为 ②当p=0时，则(x+n)2=0，x+n=0，开平方得方程的两个根为 x1=x2=-n. ③当p<0时，则方程(x+n)2=p无实数根. 类别 配方法的应用 1.求最值或 证明代数式 的值为恒正 （或负） 对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2 ＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值. 2.完全平方式中的配方 如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4. 3.利用配方构成非负数和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0，则a2＋(b－2)2=0，即a=0，b=2. 小结 配方法 方法 步骤 一移常数项； 二配方[配上 ]； 三写成（x+n)2=p (p ≥0); 四直接开平方法解方程. 特别提醒： 在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式. 应用 求代数式的最值或证明 在方程两边都配上 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 解：－3x2＋4x＋1＝0， 二次项系数化为1，得x2－x－＝0. 移项并配方，得x2－x＋＝＋. 即＝，∴x－＝±，∴x＝±. ∴x1＝，x2＝. 解：3y2－6y＋2＝0，二次项系数化为1，得y2－2y＋＝0. 移项并配方，得y2－2y＋＝－＋， 即(y－1)2＝.∴y－1＝±.∴y＝1±. ∴y1＝1＋，y2＝1－. 解：展开，得3x2－6x－x＋2＝12. 整理，得3x2－7x－10＝0. 配方，得3－－10＝0. 整理，得3＝，即＝. 开平方，得x－＝±.∴x1＝，x2＝－1. 解：配方，得(4x2＋4x＋1)＋(y2－2y＋1)＝0， 即(2x＋1)2＋(y－1)2＝0. ∴2x＋1＝0，y－1＝0， ∴x＝－，y＝1. $$