九上 1.1 第2课时 菱形的判定-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(北师大版)

该教案聚焦菱形的判定，核心知识点包括定义法、对角线互相垂直的平行四边形、四边相等的四边形。课堂导入先回顾上节课菱形的定义和性质，结合生活实例引发思考，再强调直观判断需严格证明，构建从性质到判定的学习支架。 特色在于实践与推理融合，通过折纸、尺规作图培养几何直观（数学眼光），猜想-证明过程发展推理意识（数学思维），规范几何语言表达提升应用意识（数学语言）。如折纸实验验证四边相等，例题推理强化逻辑，助力学生动手与推理能力，为教师提供结构化探究活动和分层练习。

1 菱形的性质与判定 课题 第2课时 菱形的判定 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P5-7 教学目标 1.理解菱形的定义，掌握菱形的判定方法，会用这些判定方法进行有关的论证和计算。在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力。 2.尝试从不同角度寻求菱形的判定方法，并能有效地解决问题，尝试比较不同判定方法之间的差异，并获得判定四边形是菱形的经验。 3.理解探索结论和证明结论的过程，掌握合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好习惯。 教学重难点 重点：探索证明菱形的两个判定方法，掌握证明的基本要求和方法。 难点：明确推理证明的条件和结论，能用数学语言正确表达。 教学准备 多媒体课件、直尺、圆规、长方形纸片。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 上节课我们学习了菱形的定义和性质，请同学们找一找，生活中有哪些地方存在菱形？ 师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。 教师活动：同学们回答的很好，但是判断一个图形是不是菱形，光靠直观的感受是不够的，在数学上，还需要严格的证明，这节课，我们来学习菱形的判定。（教师板书课题： 第2课时 菱形的判定） 教师活动：同学们观察多媒体中展示的过程，判断四边形ABFE是什么形状？判定的依据是什么？ 学生回答：四边形ABFE是菱形，根据菱形的定义来判定的。 总结：根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。实际上菱形的定义本身也是菱形的一种判定方法。 教师通过学生熟悉的场景和事物引出所学内容,使学生感受到数学就在我们身边,数学离不开生活,渗透善于观察生活中的数学的学习意识,同时也激发了学生的学习兴趣,加强了非智力因素的培养。 在菱形定义的基础上，使学生拓展思维，加深对菱形定义的理解。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 教师活动：除了运用菱形的定义，你认为还有什么条件可以判定一个平行四边形是菱形呢？（先想一想，再与同伴交流） 师生活动：教师板书写出菱形定义是从平行四边形的边来考虑的，板书写出考虑对角线引导学生根据菱形的性质考虑对角线互相垂直的条件。 教师活动：我们可以发现：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。同学们能证明这个结论吗？ 已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD。 求证：▱ABCD是菱形。 师生活动：操作投影仪。鼓励学生先独立思考，自主分析证明思路，并与同学进行交流。等待大部分学生书写完成后，由学生代表展示证明的书写过程，师生共同评议。 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC。 又∵AC⊥BD， ∴直线BD是线段AC的垂直平分线。 ∴BA=BC。 ∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）。 【归纳总结】 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 【探究2】 议一议：已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，是AC为菱形的一条对角线吗？（教师板书画一条线段AC） 师生活动：教师安排同学们自主尝试，有困难的同学可请教或小组间相互交流。等待大部分学生做完图后，由学生代表上台在黑板上展示作图的方法。 教师活动：教师多媒体展示教科书上的一种作图方法，并提问：小刚的做法正确吗？同学们的做法正确吗？ 学生活动：小组交流小刚做法的正确性，并思考自己做法的正确性。 教师活动：定理：四边相等的四边形是菱形。教师在探索活动的基础上给出结论，并追问：同学们能证明这个定理吗？ 已知：如图在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA。 求证：四边形ABCD是菱形。 师生活动：操作投影仪。鼓励学生先独立思考，自主分析证明思路，并与同学进行交流。等待大部分学生书写完成后，由学生代表展示证明的书写过程，师生共同评议。 证明：∵AB=BC=CD=AD， ∴AB=CD，BC=AD。 ∴四边形ABCD是平行四边形。 又∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形。 做一做：你能用折纸等办法得到一个菱形吗？动手试一试！ 师生活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生完成之后，由学生代表展示自己的成果，并交流这样做的道理。 教师活动：教师多媒体展示教科书上的一种作图方法，并提问：能说说小颖这样做的道理吗？同学们的做法的依据是什么？ 学生活动：小组交流小刚做法的正确性，并思考自己做法的正确性。 【归纳总结】 菱形的判定定理： 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形（如图）， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形。 定理：四边相等的四边形是菱形。 几何语言：∵AB=BC=CD=DA（如图）， ∴四边形ABCD是菱形。 【教材例题】 例2 已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=，OA=2，OB=1。 求证：▱ABCD是菱形。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 证明：在△AOB中， ∵AB=，OA=2，OB=1， ∴AB2=OA2+OB2。图3 ∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角。 ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）。 引导学生考虑满足什么条件的平行四边形是菱形，教学时也可以根据实际情况进行适当的调整。若考虑边，则容易想到满足的条件是一组邻边相等，这就是定义；若考虑对角线，则可能受性质的启发，想到满足的条件是对角线互相垂直。教学时应鼓励学生积极探索，大胆猜想。在此基础上再进行严格的证明。 经历实际操作，探索“四条边都相等的四边形是菱形”这一判定定理，发展学生合作交流意识、动手操作能力、合情推理能力，并知道菱形作图的方法和依据。 鼓励学生利用菱形的判定方法，设计制作菱形的方案，或说明已知制作菱形方案的正确性。教学时不应局限于教材给出的方法，而应放手让学生去思考、操作，鼓励学生展示自己的制作方法。可能有学生会制作出正方形，对此也要予以肯定，同时让学生思考：能否制作出一个不是正方形的菱形？再增加什么样的环节可以变为非正方形的菱形？ 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。 3.学以致用，应用新知 考点1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 例1 ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，BC=5，AC=6，BD=8，则四边形ABCD是（ ） A. 梯形 B. 长方形 C. 菱形 D. 正方形 答案：C 变式训练 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，请添加一个条件：______________，使为▱ABCD菱形（不添加任何辅助线） 答案：AC⊥BD（答案不唯一） 考点2 四边相等的四边形是菱形 例2 如图等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA边上的中点，则图中有_________个菱形。 答案：3（提示：菱形ADEF，菱形BDFE，菱形CFDE） 变式训练 四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点。若四边形EFGH为菱形，则四边形ABCD应满足条件_________。 答案：AC=BD 通过例题和变式训练的讲解，巩固理解“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的判定定理，此定理一般会给出对角线添加判定条件，或在结合勾股定理判定。 通过例题和变式训练的讲解，巩固理解“四边相等的四边形是菱形”的判定定理，此定理一般会与三角形中位线结合考查。 4.随堂训练，巩固新知 1. 如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，下列判断中不正确的是（ ） A. 若AB＝BC，则▱ABCD是菱形 B. 若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形 C. 若AC平分∠BAD，则▱ABCD是菱形 D. 若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 答案：D 2. 如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，E，F分别是OA，OC的中点，给出下列结论： ①四边形BFDE是菱形； ②S四边形ABCD＝EF·BD； ③∠ADE＝∠EDO； ④△DEF是轴对称图形。 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 答案：C 3. 如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判定四边形AECF为菱形的是（ ） A. AE＝AF B. EF⊥AC C. ∠B＝60° D. AC是∠EAF的平分线 答案：C 4. 如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF，连接DE，DF，BE，BF。 求证：四边形BEDF是菱形。 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，AD∥BC。 ∴∠DCF＝∠BCF。 ∵CF＝CF， ∴△CDF≌△CBF(SAS)。 ∴DF＝BF。 ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA。 ∴∠DAE＝∠BCF。 ∵AE＝CF，DA＝BC， ∴△DAE≌△BCF(SAS)。 ∴DE＝BF。 同理可证：△DCF≌△BAE(SAS)， ∴DF＝BE。 ∴DF＝BF＝BE＝DE。 ∴四边形BEDF是菱形。 5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF。 （1）求证：AE＝CF； （2）若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形。 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，AD∥CB。 ∴∠DAE＝∠BCF。 ∵DE∥BF， ∴∠DEF＝∠BFE。 ∴∠AED＝∠CFB。 ∴△ADE≌△CBF(AAS)。 ∴AE＝CF。 （2）由（1）知△ADE≌△CBF， ∴DE＝BF。 又∵DE∥BF， ∴四边形EBFD是平行四边形。 ∵BE＝DE， ∴四边形EBFD为菱形。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 菱形的判定： 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 定理：四边相等的四边形是菱形。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P7习题1.2中的T1、T2、T3。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第2课时 菱形的判定 一、定义法 二、对角线互相垂直 三、四边相等 提纲掣领，重点突出。 教后反思 课前布置的任务为本节课的探究做了有效的铺垫，提高了学生参与探究的兴趣，在证明思路的分析过程中体会了逆向思维、一题多解等数学思想，另外，学生通过经历“实验—猜想—证明—应用”的探索过程提高了自身的科学素养。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$