九上 1.1 第1课时 菱形的性质-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(北师大版)

1 菱形的性质与判定 课题 第1课时 菱形的性质 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P1-4 教学目标 1.理解菱形的概念，了解它与平行四边形之间的关系。 2.经历菱形性质定理的探索过程，进一步发展合理推理能力。 3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。 教学重难点 重点：菱形的概念及其性质定理。 难点：菱形性质定理的灵活应用。 教学准备 多媒体课件、直尺、菱形纸片。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 下面几幅图片中都含有一些特殊的平行四边形。观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。 学生回答：这些特殊的平行四边形均是菱形。 这节课我们就来研究菱形的概念及性质。（教师板书课题： 第1课时 菱形的性质） 教师活动：同学们观察显示的图片后，有什么联想？菱形的四条邻边有什么关系？� 学生活动：测量比较教科书上第二幅图片中菱形邻边的长度，易知：菱形邻边相等。 【归纳总结】 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 教师活动：除了屏幕上所展示的静态菱形的例子，同学们还能想到生活中有哪些动态菱形的例子？ 学生活动：菱形衣帽架、电动门等。 教师通过学生熟悉的场景和事物引出所学内容,使学生感受到数学就在我们身边,数学离不开生活,渗透善于观察生活中的数学的学习意识,同时也激发了学生的学习兴趣,加强了非智力因素的培养。 在菱形定义的基础上，使学生拓展思维，加深对菱形定义的理解。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 想一想： 菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？ 师生活动：教师板书写出从对称性看、从边看、从角看、从对角线看这四个角度，引导学生列举出菱形所具有的平行四边形的性质。从对称性看：是中心对称图形；从边看：对边平行且相等；从角看：对角相等，相邻的两个角互补；从对角线看：对角线互相平分。 教师追问：菱形还有哪些特殊性质？ 学生回答：菱形的邻边相等，菱形的四条边相等。 【探究2】 做一做：用菱形纸片折一折，回答下列问题： （1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ （2）菱形中有哪些相等的线段？（教师板书画出一个菱形，如下图） 学生活动：将菱形纸片相等的邻边通过折叠使其重合，易发现折痕所在的直线刚好和对角线所在直线重合，得出结论：菱形是轴对称图形，有两条对称轴，两条对称轴互相垂直、四条边相等。（教师板书记录下学生动手操作后得出的结论） 【演绎证明】 教师活动：探索的结论“菱形的四条边相等，对角线互相垂直”是否正确呢？我们必须加以证明，那么证明的环节有哪些？如何证明这两个性质呢？请同学们先思考。在学生思考、交流的基础上，展示证明过程。 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O。 求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD。 师生活动：操作投影仪。鼓励学生先独立思考，自主分析证明思路，并与同学进行交流。等待大部分学生书写完成后，由学生代表展示证明的书写过程，师生共同评议。 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）。 又∵AB=AD， ∴AB=BC=CD=AD。 （2）∵AB=AD， ∴△ABD是等腰三角形。 ∵四边形ABCD是菱形， ∴BO=OD（菱形的对角线互相平分）。 在等腰三角形ABD中， ∵BO=OD， ∴AO⊥BD， 即AC⊥BD。 【归纳总结】 由此得到了菱形的两个性质定理： 定理：菱形的四条边相等。 定理：菱形的对角线互相垂直。 【教材例题】 例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6。求菱形的边长AB和对角线AC的长。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD（菱形的四条边相等）， AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）， OB=OD=BD=3（菱形的对角线互相平分）。 在等腰三角形ABD中， ∵∠BAD=60°， ∴△ABD为等边三角形。 ∴AB=BD=6． 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2， ∴OA===3。 ∴AC=2OA=6（菱形的对角线互相平分）。 通过“想一想”，让学生复习回顾菱形所具有的平行四边形的性质，强化思考问题的四个角度。在此基础上，引导学生重点思考菱形的特殊性。 学生动手操作后,小组之间交流通过操作后得出的结论，教师通过追问的方式，让学生互相补充,巩固对菱形性质的理解。教师板书画出一个菱形并标上字母，方便学生用几何语言描述。 通过探究得到猜想，然后通过严谨的证明成为定理，才能用来解决其他问题。教学中，定理的证明也可以让学生自己完成，再与教材中的过程对比。无论采用哪种方式，都应鼓励学生先独立思考、分析证明思路。 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。 3.学以致用，应用新知 考点1 菱形的四条边相等 例1 边长为3 cm的菱形的周长是（ ） A. 6 cm B. 9 cm C. 12 cm D. 15 cm 答案：C 变式训练 已知菱形ABCD的周长为20 cm，∠A∶∠ABC=1∶2，则BD= cm。 答案：5 考点2 菱形的对角线互相垂直 例2 如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE。 （1）求证：BD=EC； （2）若∠E=50°，求∠BAO的大小。 解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴DC∥AB，DC=AB。 又∵BE=AB， ∴DC=BE。 ∵DC∥BE， ∵四边形DBEC是平行四边形， ∴BD∥EC。 （2）由（1）可知BD∥EC， ∴∠ABO=∠E=50°。 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD。 ∴∠BAO=90°-∠ABO=90°-50°=40°。 变式训练 如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中线，连接OM。若AC=4，BD=8，则OM的长为_________。 答案： 通过例题和变式训练的讲解，巩固理解“菱形的四条边相等”的性质，此性质一般跟菱形的周长有关，有时会考查在直角坐标系中应用。 通过例题和变式训练的讲解，巩固理解“菱形的对角线互相垂直”的性质，此性质一般会跟勾股定理或三角形其它性质结合考查。 4.随堂训练，巩固新知 1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 答案：C 2. 如图，菱形ABCD的边长为10，∠A=120°，则点A到BD的距离等于（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 答案：A 3. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC，O为坐标原点，点C在x轴上，点A的坐标为（-3，4），则顶点B的坐标是（ ） A. （-5，4） B. （-6，3） C. （-8，4） D. （2，4） 答案：C 4. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若AD=BD，则BE与AD的数量关系是_______。 答案：AD=4BE 5. 在菱形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD上的中点，连接AP，AQ。 图1 图2 （1）如图1，求证：AP=AQ； （2）如图2，连接PQ，若AP⊥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等于30°的角。 解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D。 ∵P，Q分别是边BC，CD上的中点， ∴BP=BC，DQ=CD， ∴BP=DQ， ∴△ABP≌△ADQ（SAS）， ∴AP=AQ。 （2）由（1）知BP=BC。 ∵AP⊥BC， ∴根据直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，得∠BAP=30°。 ∵△ABP≌△ADQ， ∴∠DAQ=30°， ∴∠B=∠D=60°， ∴∠BAD=∠C=120°。 ∵P，Q分别是边BC，CD上的中点， ∴CP=CQ， ∴∠CPQ=∠CQP=（180°-∠C）=（180°-120°）=30°。 综上所述，∠BAP，∠DAQ，∠CPQ，∠CQP的度数为30°。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质： 定理：菱形的四条边相等。 定理：菱形的对角线互相垂直。 菱形是轴对称图形，有两条对称轴，两条对角线所在的直线就是它的对称轴。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P4习题1.1中的T1、T2、T3、T4。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第1课时 菱形的性质 一、菱形的定义 二、菱形的性质 投影区 1.定理 2.定理 3.对称性 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 本节课从平行四边形入手学习菱形的定义和性质，让学生直观体会菱形是特殊的平行四边形。课堂上通过观察图片、折纸活动，让学生直观地感知图形的特点，激发学生学习的兴趣和积极性。在性质的证明和应用过程中，教师要鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和方法，提倡证明方法的多样性，并引导学生在与其他同学的交流中进行证明方法的比较，优化证明方法，提高学生的逻辑推理能力。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$