九上 1.3 第1课时 正方形的性质-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(北师大版)

3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 学习目标 1.理解正方形的概念。（重点） 2.探索并证明正方形的性质，了解平行四边形、矩形、菱形 之间的联系和区别。（重点、难点） 3.能够运用正方形的性质解决相关问题。（难点） 课时导入 正方形是我们生活中常见的几何图形. 知识讲解 知识点1 正方形的性质 图中的四边形都是特殊的平行四边形. 观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 你能总结出正方形的定义吗？ 正方形定义： 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 四边形定义间的关系 （1）正方形是矩形吗？是菱形吗？ （2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流. 正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质. 想一想： 例1 已知：如右图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD 四边相等,四个角都是直角. A B C D 证明：∵四边形ABCD 是正方形. ∴∠A=90°, AB=AC . （正方形的定义） 又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形, （矩形的定义） 正方形是菱形.(菱形的定义) ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC =CD =AD. 例2 如图,四边形ABCD 是正方形.对角线AC，BD 相交于点O. 求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD. A B C D O 证明：∵正方形ABCD 是矩形, ∴AO =BO =CO =DO. ∵正方形ABCD 是菱形. ∴AC⊥BD. 归纳总结 正方形 对角线 边 边 对角线 对角线 角 对边平行且相等 相互平分 相等 四个角相等都是90° 相互垂直且 平分对角 四边相等 对称性 轴对称图形（4条对称轴） 随 堂 小 测 A 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 2.在正方形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，且AE =AB ， A D B C O E 22.5° 则∠EBC 的度数是 . 3.如图，在正方形ABCD 中，点F 为对角线 AC 上一点，连接 BF, DF.你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行 证明. 解：图中的全等三角形共有 3 对， 分别是 △ADC 与 △ABC, △FCD与 △FCB, △FAD 与 △FAB． 知识点2 正方形性质的应用 例3 如图在正方形ABCD 中,E 为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由. 解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下： （1）∵四边形ABCD是正方形.∴BC =DC,∠BCE =90°. （正方形的四条边都相等,四个角都是直角） ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°. A B D C F E ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF. (2)延长BE 交DE 于点M, ∵△BCE≌△DCF , ∴∠CBE =∠CDF. ∵∠DCF =90°, ∴∠CDF +∠F =90°. ∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF. A B D F E C M 例4 如图，在正方形ABCD 中，ΔBEC 是等边三角形， 求证：∠EAD＝∠EDA＝15° . 证明：∵ ΔBEC是等边三角形， ∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°， ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°， ∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE =∠DCE=30°， ∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE =∠BEA =∠CDE =∠CED=75°， ∴∠EAD =∠EDA =90°-75°=15°. 4.如图，正方形CEGF的顶点E，F在正方形ABCD 的边BC，CD上，且AB=5，CE=3，连接BG，DG， 则图中阴影部分的面积是____. 8 随 堂 小 测 B 5.如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在AB 上且BE＝1，F 为对角线AC 上一动点，则 △BFE 周长的最小值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 D C A E B F 6.如图，正方形ABCD 的边长为1cm，AC 为对角线，AE 平分 ∠BAC，EF⊥AC，求BE 的长． 解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm. ∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°. 又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC. ∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE， ∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.∴FC＝BE. 在Rt△ABC 中， ∴FC＝AC－AF＝( －1)cm， ∴BE＝( －1)cm． 小结 1.四个角都是直角 2.四条边都相等 3.对角线相等且互相垂直平分 正方形的性质 性质 定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $$