九上 1.2 第1课时 矩形的性质-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(北师大版)

2 矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质 学习目标 1.理解矩形的概念，了解其与平行四边形之间的关系. 2.探索并证明矩形的性质定理.（重点） 3.应用矩形的性质定理解决相关问题.（难点） 课时导入 问题1:下面图片中都含有一些特殊的平行四边形.观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 问题2:你还能举出一些生活中的例子吗？ 知识讲解 知识点1 矩形的定义 思考：观察下图，把平行四边形的一个内角变为90°，这时的 平行四边形是什么图形？ ∟ 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 知识点2 矩形的性质 想一想：(1）矩形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗? 矩形具有一般平行四边形的所有性质. (2）矩形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴? 矩形是轴对称图形，它有2条对称轴. (3）你认为矩形还具有哪些特殊的性质?与同伴交流. 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等，等等. 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形. ∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等)， AB∥DC(矩形的对边平行).∴∠ABC+∠BCD=180°. 又∵∠ABC = 90°，∴∠BCD = 90°. 求证:矩形的四个角都是直角，且对角线相等. 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O.求证： （1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°； （2）AC=DB. A B C D O ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°. (2)∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC(矩形的对边相等). 在△ABC和△DCB中， ∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC= CB， 求证:矩形的四个角都是直角，且对角线相等. 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O.求证： （1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°； （2）AC=DB. A B C D O ∴△ABC≌△DCB. ∴AC=DB. 求证:矩形的四个角都是直角，且对角线相等. 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O.求证： （1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°； （2）AC=DB. A B C D O 定理：1.矩形的四个角都是直角. 2.矩形的对角线相等. 总结 矩形是特殊的平行四边形,它除具有平行四边形的所有性质外,还有平行四边形所没有的特殊性质. 对称性：是轴对称图形. 角：四个角都是90°. 对角线：相等. 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相交并相互平分. 矩形的特殊性质 平行四边形的性质 解：∵四边形ABCD是矩形. ∴∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角）， AC = BD(矩形的对角线相等)， OA= OC= AC，OB = OD = BD(矩形对角线互相平分). 例1 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5 ，求这个矩形对角线的长. A B C D O A B C D O 例1 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5 ，求这个矩形对角线的长. ∴OA = OD. ∵∠AOD=120°， ∴∠ODA=∠OAD= (180°- 120°)=30°. ∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5. 你还有其他解法吗？ 例1 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5 ，求这个矩形对角线的长. 另解：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC = BD(矩形的对角线相等)，OA= OC= AC，OB =OD = BD(矩形对角线互相平分).∴OA = OB. 又∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°.∴△OAB是等边三角形. ∴OA=AB=2.5. ∴AC=BD=2OA=5. A B C D O 知识点3 直角三角形斜边上的中线上的性质 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？ 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC = BD(矩形的对角线相等)， BE= DE= BD，AE=CE= AC (矩形对角线相互平分)，∴BE= AC. C D E A B 例2 如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE. 解：如图，连接EG，DG. ∵BD，CE是△ABC 的高， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点G是BC的中点， ∴EG＝ BC，DG＝ BC.∴EG＝DG. 又∵点F是DE的中点，∴GF⊥DE. 随 堂 小 测 1.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是(　　) A．2.2 cm B．2.3 cm C．2.4 cm D．2.5 cm D A.2条 B.4条 C.5条 D.6条 A B C D O D 2.如图,在矩形ABCD中，对角线AC ， BD交于点O，已知∠AOB=60° ， AC=16,则图中长度为8的线段有（ ） 3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是(　　) A．2.2 cm B．2.3 cm C．2.4 cm D．2.5 cm D 4.下列说法错误的是（ ） A. 矩形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等 C. 有一个角是直角的四边形是矩形 D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 C 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝3cm，则EF＝____cm. 3 6．已知：如图，矩形ABCD中，AB长8 cm，对角线比AD长4 cm.求AD的长及点A到BD的距离AE． 解：设AD＝x cm，则对角线长(x＋4)cm， 在Rt△ABD中，由勾股定理得x2＋82＝(x＋4)2， 解得x＝6，则AD＝6 cm. 利用面积公式，可得AE·DB＝AD·AB， 解得AE＝4.8 cm. 小结 1.矩形的四个角都是直角. 2.矩形的对角线相等. 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$