九上 1.1 第3课时 菱形的性质、判定与其他知识的综合-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(北师大版)

1 菱形的性质与判定 第3课时 菱形的性质、判定与其他知识的综合 学习目标 1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相 关问题,并掌握菱形面积的求法.（重点、难点） 2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程,体会数 形结合、转化等思想方法. 课时导入 平行四边形 菱形 一组邻边相等 菱形是特殊的平行四边形. 菱形具有一般平行四边形的所有性质. 思考：菱形的面积与平行四边形的面积有什么关系？ 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半 (1)S = a·h. (2)S = 4 S△ABO = 知识点 菱形的面积及其判定与性质的综合问题 A 平行四边形 菱形 一组邻边相等 h ∟ D B C a O 平行四边形 菱形 一组邻边相等 h ∟ D B C a O 知识讲解 例 如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱 形，其中对角线BD长为10 cm. 求：(1)对角线AC的长度； (2)菱形ABCD的面积. A B D C E 解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形，AC 与 BD 相交于点 E， ∴∠AED = 90°（菱形对角线互相垂直）， DE = BD = ×10 = 5（cm）（菱形对角线互相平分）. 例 如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱 形，其中对角线BD长为10 cm. 求：(1)对角线AC的长度； (2)菱形ABCD的面积. C A B D E ∴AE = = = 12（cm）. ∴AC = 2AE = 2×12 = 24（cm）（菱形的对角线互相平 分）. 例 如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱 形，其中对角线BD长为10 cm. 求：(1)对角线AC的长度； (2)菱形ABCD的面积. A B D C E (2) 菱形ABCD 的面积 = △ABD 的面积 + △CBD 的面积 = 2×△ABD 的面积 例 如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱 形，其中对角线BD长为10 cm. 求：(1)对角线AC的长度； (2)菱形ABCD的面积. A B D C E = 2 × × BD × AE = 2 × × 10 × 12 = 120 （cm2）. 做一做 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？ 解：四边形 ABCD 是菱形.理由如下： ∵等宽纸条的对边平行， ∴AD∥BC， AB∥CD. ∴□ABCD 是平行四边形. 如图，作AM⊥DC 交于点 M，作AN⊥BC交于点 N. ∵是两张等宽纸条的重叠的部分， ∴AM = AN. A B D C M N ∵□ABCD 是平行四边形， ∴∠ABN=∠ADM. ∵AM⊥DC ，AN⊥BC， ∴∠ANB =∠AMD = 90°. ∴△ABN ≌△ADM， ∴AB = AD. ∴四边形 ABCD 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）. A B D C M N 随 堂 小 测 1.已知菱形的面积为24 cm2，一条对角线长为6 cm，则这个菱形的边长是 （ ） A.8 cm B.5 cm C.10 cm D.4.8 cm B A B D C O 2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交 于点O，AC=4 cm，BD=8 cm，则这个菱形的面积 是         cm²． 16 A B D C O 3.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6 cm，BD=8 cm，则菱形的高AE为 cm. 4.8 A B D C O E ∟ 4.如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF，连接DE，DF，BE，BF. 求证：四边形BEDF是菱形． 证明：∵AE＝CF，DA＝BC，∴△DAE≌△BCF(SAS)，∴DE＝BF. 同理可证△DCF≌△BAE(SAS)，∴DF＝BE. ∴四边形BEDF是平行四边形． ∵DF＝BF，∴平行四边形BEDF是菱形． 5.已知：如图，在RT△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； (2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积． (1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE∥BC，且2DE＝BC. 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，EF∥BC. ∴四边形BCFE是平行四边形． 5.已知：如图，在RT△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； (2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积． 又∵EF＝BE， ∴四边形BCFE是菱形. (2)解：∵∠BCF＝120°， ∴∠EBC＝60°.∴△EBC是等边三角形. ∴菱形的边长为4，高为 ， ∴菱形的面积为 . 小结 菱形是特殊的平行四边形. 菱形具有一般平行四边形的所有性质. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 四边相等的四边形是菱形. 菱形的面积等于其对角线乘积的一半. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$