1.1 菱形的性质与判定（分层作业）数学北师大版九年级上册

1.1 菱形的性质与判定 1．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，是菱形的对角线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的对角线平分每一组对角求解即可． 【详解】解：∵是菱形的对角线，， ∴， 故选：B． 2．（2025·广东广州·一模）如图，菱形的对角线、相交于点O，，则菱形的边长为（    ） A．26 B．20 C．15 D．13 【答案】D 【分析】由菱形的性质得，，，再由勾股定理求出的长即可． 本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∴， 即菱形的边长为13， 故选：D． 3．（2025·陕西渭南·一模）如图，在菱形中，连接，点、分别是、的中点，连接，若，则菱形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，解题的关键是掌握相关知识．由三角形的中位线定理可得，根据菱形的性质可得，即可求解． 【详解】解：点、分别是、的中点， 是的中位线， ， 四边形是菱形， ， 菱形的周长为， 故选：A． 4．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，菱形的两条对角线相交于点，若，，则菱形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于两条对角线乘积的一半是解题的关键．利用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半即可解决． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线，， ∴菱形的面积， 故选：B． 5．（23-24八年级下·福建龙岩·期中）如图，四边形中，E、F、G、H分别是四边的中点，对角线，则四边形是（    ） A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．正方形 【答案】A 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．连接、，根据三角形中位线定理得到，，，，进而证明，根据菱形的判定定理得出结论． 【详解】解：连接、， ∵E、F、G、H分别是四边的中点， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， 故选：A． 6．（23-24八年级下·山西朔州·期中）如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分的形状一定为（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查菱形的判定．根据题意，先证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等即可． 【详解】解：如图，过点作于,过点作于 四边形是平行四边形 两张等宽的纸条交叉叠放在一起 四边形是菱形． 故选：A． 7．（23-24九年级上·广东河源·期中）如图，下列条件中，不能使成为菱形的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定，运用其判定定理逐一判断是解题的关键． 【详解】解：A、四边形是平行四边形，且， 是菱形，故不符合题意； B、四边形是平行四边形，且， 是菱形，故不符合题意； C、四边形是平行四边形，且， 是菱形，故不符合题意； D、四边形是平行四边形，且， 是矩形，不能判定是菱形，故符合题意， 故选D． 8．（2022·内蒙古通辽·中考真题）如图，在菱形中，两条对角线，，则此菱形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是根据菱形的性质，求出，且，根据勾股定理，即可求出菱形的边长． 【详解】解：设，的交点为， ∵四边形是菱形， ∴，且， ∴， ∴菱形的边长为． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线与交于点，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是： ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了菱形的判定，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可添加条件． 【详解】解：添加条件，则可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得到四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 10．（2024·云南红河·模拟预测）如图，四边形是菱形，对角线与相交于点，，，于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高． 首先利用勾股定理求得菱形的边长，然后由菱形的两个面积计算渠道求得边上的高的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴在直角三角形中，， ∴． 故答案为：． 11．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，O是边上一点，和关于点O成中心对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定． （1）根据中心对称图形的性质得到，，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）连接．先证得四边形是平行四边形，求得，得到，推出四边形是菱形．推出，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）证明：和关于点O成中心对称， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：连接， 和关于点O成中心对称， B，O，F三点共线，， 四边形是平行四边形， ， ， 即， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 又四边形是平行四边形， 是菱形． 12．（2024·浙江温州·二模）如图，在菱形中，于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定以及性质，勾股定理． （1）利用菱形的性质结合已知条件用即可证明． （2）利用全等三角形的性质得出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：，， ， 又四边形是菱形， ，， ． （2）， ， ，， ． 13．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，的边和的边在同一条直线上，，，，连接，． (1)求证：①； ②四边形是平行四边形． (2)若四边形为菱形，，，求线段的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①利用平行线的性质得，即可证得； ②由①得，可得、，证得，即可得证四边形是平行四边形． （2）连接，交于点，根据菱形的性质得、、，利用勾股定理求出，利用面积法求出，再利用勾股定理求出，计算即可求解． 【详解】（1）证明：①， ， 在和中， ， ； ②由（1）知， ，， ， 四边形是平行四边形． （2）解：如图，连接，交于点， 四边形是菱形， ，，， 在中，，， ， ， ， 在中，，， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和菱形的性质是解题关键． 14．（2024·北京东城·一模）如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了菱形的证明、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记定理内容是解题关键． （1）证得，可得四边形是平行四边形，即可进一步求证； （2）由题意得是等边三角形，根据 即可求解. 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：∵，平分， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵平分， ∴ ， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 4， 15.（22-23八年级下·浙江杭州·期末）如图，在 中，，点是的中点，连结并延长，交的延长线于点，连结，． (1)求的长； (2)若． ①证明四边形是菱形； ②若，求四边形的周长． 【答案】(1) (2)①见解析；②10 【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明得到即可求解； （2）①先证明四边形是平行四边形，再证明，根据菱形的判定可证的结论； ②根据平行四边形的性质和菱形的性质证明是等边三角形，进而得到可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：①∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，即， ∴四边形是菱形； ②∵四边形是平行四边形，, ∴,，， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键． 1．（2025·山东德州·二模）如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形为菱形是解决问题的关键． 首先证明四边形是菱形，得出，，，利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】解：连接，设与交于点，如图，   平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ∵由作图可得， ∴， 又， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形， ，，， 在中，由勾股定理得：， ． 故选：B． 2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为13，点B的坐标是，点D的坐标是，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形，菱形的性质，勾股定理．熟练掌握菱形的性质，是解题的关键．连接，可得：与垂直平分，轴，得到轴，利用勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：连接，交于点，则：与垂直平分， ∵点，， ∴轴，， ∴轴，， ∴， ∵菱形的边长为13，即， ∴， ∴，即， 故选：D． 3．（2025·青海西宁·一模）如图，在中，，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交对角线于点O，交于点E，F，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．的周长等于6 C． D．四边形是菱形 【答案】C 【分析】利用线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质一一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 根据作图可知：垂直平分， ∴，故选项A正确； ∴点O为的对称中心， ∴， ∴的周长，故选项B正确； 设的高为h，则的高为h， ∵点O为的对称中心， ∴是中点， ∴， ∵等底，的高为， ∴的高为， ∴的高为， ∵等底， ∴，故C错误； ∵， ∴， ∴， ∵在四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 4．（2025·浙江·二模）如图1，在四边形中，，的平分线交于点，交直线于点，下面是两位同学的对话． (1)请你选择一位同学的说法，并进行证明（选小波得4分，选小杭得2分）； (2)如图2，若，四边形是菱形，分别连结，，求的度数． 【答案】(1)选小波，证明见解析（答案不唯一） (2) 【分析】（1）选小波，证明得出，进而可证四边形为平行四边形； 选小杭，证明，得出，进而可证四边形为平行四边形； （2）分别连接，，由菱形和平行四边形的性质证明是等边三角形得，，根据证明，结合全等三角形的性质得出是等边三角形，即可求得的度数． 【详解】（1）选小波，证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； 选小杭，证明：∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）如图，分别连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 5．（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，在菱形中，于点于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：为等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据菱形的性质和已知条件可推出度数，再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出和度数，从而求出度数，即可证明为等边三角形． 【详解】（1）证明： （1）四边形是菱形， ． 又于点于点， ， 在与中，． ； （2）证明：， ； 四边形是菱形， ∴， ， ∵， ， 又， ， 由（1）知， ， ． 是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形全等、菱形的性质、等边三角形的判定，解题的关键在于熟练掌握全等的方法和菱形的性质． 6．（八年级下·湖南岳阳·期中）如图所示，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是秒（），过点作于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)能， (3)或，理由见解析 【分析】（）根据时间和速度表示出和的长，利用所对的直角边等于斜边的一半求出的长，可得，再证明即可求证； （）由（）知四边形为平行四边形，如果四边形能够成为菱形，则必有邻边相等，即，据此列方程求解即可； （）当为直角三角形时，有三种情况：①当时，②当时，③当时，分别找出等量关系列方程即可求出的值即可． 【详解】（1）证明：由题意得，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：四边形能够成为菱形，理由如下： 由（）得，四边形为平行四边形， 若为菱形，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，四边形能够成为菱形； （3）解：分三种情况： ①当时，如图， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ； ②当时，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ③当不成立； 综上所述：当为或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，，含角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，掌握以上知识点是解题的关键． 1．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知四边形是平行四边形，点在对角线上，点在边上，连接，，．    (1)如图①，求证； (2)如图②，若，过点作交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（除外），使写出的每个角都与相等． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，进而有，从而利用即可证明结论成立； （2）先证四边形是菱形，得，又证，得，由（）得得，根据等角的补角相等即可证明． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵ ， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∵， ∴．    【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定及性质、等边对等角、全等三角形的判定及性质以及等角的补角相等．熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 2．（2024·吉林·中考真题）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：    【探究论证】 （1）如图①，在中，，，垂足为点D．若，，则______． （2）如图②，在菱形中，，，则______． （3）如图③，在四边形中，，垂足为点O．若，，则______；若，，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想． 【理解运用】 （4）如图④，在中，，，，点P为边上一点． 小明利用直尺和圆规分四步作图： （ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点R，I； （ⅱ）以点P为圆心，长为半径画弧，交线段于点； （ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在同侧； （ⅳ）过点P画射线，在射线上截取，连接，，． 请你直接写出的值． 【答案】（1）2，（2）4，（3），，证明见详解，（4）10 【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可； （2）根据菱形的面积公式计算即可； （3）结合图形有，，即可得，问题随之得解； （4）先证明是直角三角形，由作图可知：，即可证明，再结合（3）的结论直接计算即可． 【详解】（1）∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）∵在菱形中，，， ∴， 故答案为：4； （3）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：， 猜想：， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （4）根据尺规作图可知：， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴根据（3）的结论有：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，作一个角等于已知角的尺规作图，勾股定理的逆定理等知识，难度不大，掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，是解答本题的关键． 10 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 菱形的性质与判定 1．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，是菱形的对角线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·一模）如图，菱形的对角线、相交于点O，，则菱形的边长为（    ） A．26 B．20 C．15 D．13 3．（2025·陕西渭南·一模）如图，在菱形中，连接，点、分别是、的中点，连接，若，则菱形的周长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，菱形的两条对角线相交于点，若，，则菱形的面积是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·福建龙岩·期中）如图，四边形中，E、F、G、H分别是四边的中点，对角线，则四边形是（    ） A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．正方形 6．（23-24八年级下·山西朔州·期中）如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分的形状一定为（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．无法确定 7．（23-24九年级上·广东河源·期中）如图，下列条件中，不能使成为菱形的是（    ）    A． B． C． D． 8．（2022·内蒙古通辽·中考真题）如图，在菱形中，两条对角线，，则此菱形的边长为 ． 9．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线与交于点，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是： ．（写出一个即可） 10．（2024·云南红河·模拟预测）如图，四边形是菱形，对角线与相交于点，，，于点，则的长为 ． 11．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，O是边上一点，和关于点O成中心对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求证：四边形是菱形． 12．（2024·浙江温州·二模）如图，在菱形中，于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，的边和的边在同一条直线上，，，，连接，． (1)求证：①； ②四边形是平行四边形． (2)若四边形为菱形，，，求线段的长． 14．（2024·北京东城·一模）如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求的长． 15.（22-23八年级下·浙江杭州·期末）如图，在 中，，点是的中点，连结并延长，交的延长线于点，连结，． (1)求的长； (2)若． ①证明四边形是菱形； ②若，求四边形的周长． 1．（2025·山东德州·二模）如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为13，点B的坐标是，点D的坐标是，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·青海西宁·一模）如图，在中，，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交对角线于点O，交于点E，F，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．的周长等于6 C． D．四边形是菱形 4．（2025·浙江·二模）如图1，在四边形中，，的平分线交于点，交直线于点，下面是两位同学的对话． (1)请你选择一位同学的说法，并进行证明（选小波得4分，选小杭得2分）； (2)如图2，若，四边形是菱形，分别连结，，求的度数． 5．（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，在菱形中，于点于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：为等边三角形． 6．（八年级下·湖南岳阳·期中）如图所示，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是秒（），过点作于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 1．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知四边形是平行四边形，点在对角线上，点在边上，连接，，．    (1)如图①，求证； (2)如图②，若，过点作交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（除外），使写出的每个角都与相等． 2．（2024·吉林·中考真题）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：    【探究论证】 （1）如图①，在中，，，垂足为点D．若，，则______． （2）如图②，在菱形中，，，则______． （3）如图③，在四边形中，，垂足为点O．若，，则______；若，，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想． 【理解运用】 （4）如图④，在中，，，，点P为边上一点． 小明利用直尺和圆规分四步作图： （ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点R，I； （ⅱ）以点P为圆心，长为半径画弧，交线段于点； （ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在同侧； （ⅳ）过点P画射线，在射线上截取，连接，，． 请你直接写出的值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$