第 58课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 课件——2026届高三数学一轮复习

第58课时强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 1 “动态”问题是高考立体几何问题中具有创新意识的题型，它渗 透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了 活力，题型更新颖.同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋 多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面 积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化. 方法总结 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 2 类型一 动态位置关系的判断 典例1 （多选题）如图,在矩形 中,,,和 交于点,将沿直线 翻折, 则下列说法正确的是( ). ABC A.存在,在翻折过程中存在某个位置,使得 B.存在,在翻折过程中存在某个位置,使得 C.存在,在翻折过程中存在某个位置,使得 平面 D.存在,在翻折过程中存在某个位置,使得 平面 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 3 解析 当时,此时矩形为正方形,则 , 将沿直线翻折,当平面 平面时,由 , 平面,平面 平面,得 平面 , 又 平面,所以 ,故A正确; 因为,,且, 平面, 平面 ,所以 平面,又 平面 , 所以 ,故B正确; 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 4 在矩形中,,,所以将沿直线 翻 折时,总有,取,当将沿直线翻折到 时, 有 , 即,且, 平面, 平面 , 则此时满足 平面 ,故C正确; 若 平面,又 平面,则 , 所以在中,为斜边,这与 相矛盾,故D不正确. 故选 . 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 方法总结 解决空间位置关系的动点问题 （1）应用“位置关系相关定理”转化. （2）建立“坐标系”计算. 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 6 （多选题）已知正四棱柱中,, ,点 ,分别是棱, 上的动点,且与端点都不重合，则下列说法正确 的是( ). ABD A.对任意给定的点,存在点,使得平面 B.对任意给定的点,存在点,使得平面 C.对任意给定的点,存在点,使得 D.对任意给定的点,存在点,使得 练习 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 7 解析 连接,,, . 对于A,任意给定的点,可在内作,交于点 ,又在 正四棱柱 中, ,则 , 又 平面, 平面 , 则平面，则对任意给定的点,存在点,使得 平面 ，故A正确. 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 8 对于B，对任意给定的点,可在内作,交于点 , 又在正四棱柱中,,则,又 平面, 平面,则平面 ，则对任意给定的 点,存在点,使得平面 ，故B正确. 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 以为原点,,,所在直线分别为,, 轴建 立如图所示的空间直角坐标系, 则, , 设, ,则 , . 对于C， 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 10 由 ,可得 ，则当 时,,即不成立，则对任意给定的点 ,不 一定存在点,使得 ，故C错误. 对于D，由,可得 ， 则对任意,当时,均有,即 ;则对 任意给定的点, 存在点,使得 ，故D正确. 故选 . 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 类型二 动点的轨迹（长度） 典例2 已知边长为1的正方形与 所在 的平面互相垂直,点,分别是线段, 上的动 点（包括端点）,.设线段的中点 的 轨迹为,则 的长度为( ). A A. B. C. D.2 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 12 如图,以,,所在直线分别为轴、轴、 轴建立空间直角坐标系.设, , .由中点坐标公式 易得,,,即, . ① 因为,所以 , ② 把①代入②得,，即 . 解析 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 13 因为,,所以, ， 所以的中点的轨迹方程为 轨迹为在垂直于轴且到原点距离为的平面内,半径为 的四分之一 圆周. 所以的长度为 .故选A. 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 方法总结 解决几何体动点轨迹问题的方法 （1）几何法：根据平面的性质进行判定. （2）定义法：转化为平面轨迹问题,用圆锥曲线的定义判定,或 用代替法进行计算. （3）特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置 进行排除. 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 15 已知正方体的棱长为,,为体对角线 上的 两个三等分点,动点在内,且,则点 的轨迹的长度 为___. 解析 . 练习 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 16 如图1所示,连接,因为 是正 方体,所以, 平面.又 平面,所以.因为 , 平面, 平面,所以 平面 . 因为 平面,所以.同理 . 因为, 平面, 平面,所以 平面 . 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 17 因为正方体的棱长为 ,所以 , . 又,为体对角线的两个三等分点,所以 . 设点到平面的距离为,则 , 所以,解得,即 , 所以 平面,即 平面 . 因为三棱锥的底面三角形 为正三角形,且 , 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 所以三棱锥为正三棱锥,所以点为 的中心. 因为 平面,所以 平面,则 . 又的面积为2,所以,解得 , 则点的轨迹是以点为圆心,2为半径的圆周且在 内部的部分, 如图2所示,点的轨迹为,,,且三段弧长相等.在 中, ,, ,由正弦定理得 ,得,由图2可知,, , 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 所以,则,所以,所以 的长,则点的轨迹的长度为 . 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 类型三 最值（范围）问题 典例3（1）在四面体中,若 ,则四面体 体积的最大值是( ). A A. B. C. D. 解析 如图,取的中点,连接, . 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 21 设,则 . 当平面 平面时,四面体 的体积最大,此时,四面体 的体积 ， 所以.令,得 . 当,时,单调递增;当,时, 单调递减. 故当时,取得最大值, .故选A. 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 22 （2）如图,正方体 的棱长为 1,,分别为,的中点, 是底面 上一点.若平面,求 长度的 最小值与最大值. 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 23 解析 如图,取的中点,的中点 ,连接 ,,,, . 在正方体中,, 分别为 , 的中点, 所以, , 所以四边形为平行四边形,所以 . 又 平面, 平面,所以平面 . 因为,分别为,的中点,所以 . 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 24 同理可知,所以 . 又 平面, 平面,所以平面 . 又, 平面, 平面 , 所以平面平面 . 因为是底面上一点,且平面 , 所以 . 在等腰中,当的长度最大时,在点或点 处, 即 ; 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 当的长度最小时,为的中点, , 所以 , 即 . 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 方法总结 动态变化过程中最值问题的求解策略 （1）直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时,所 求的量有相应最大、最小值,即可求解. （2）函数思想：通过建系或引入变量,把这类动态问题转化为 目标函数的最值问题,从而利用代数方法求目标函数的最值. 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 27 在三棱锥中,,,两两垂直,为棱 上一动点, ,.求当与平面所成角最大时, 与平面 所成角的正弦值. 练习 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 28 解析 因为在三棱锥中,,, 两两 垂直,所以 平面,则与平面 所 成的角为, , 当取得最小值时, 取得最大值. 在等腰直角中,当为的中点时, 取 得最小值. 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 29 以为坐标原点,,,所在直线分别为轴、轴、 轴,建立如图 所示的空间直角坐标系, 则,,,,,则 , , . 设平面的一个法向量为,则 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 即令,得 , 所以, , 所以与平面所成角的正弦值为 . 第57 课时 强化拓展 立体几何中的动态、轨迹问题 $$