第55课时 利用空间向量研究距离问题 课件——2026届高三数学一轮复习

第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 1 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、 相互平行的平面的距离问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会 向量方法在研究几何问题中的作用. 考纲要求 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 2 知识梳理 3 一、两点距离 即求空间中两个点连线的线段长,转化为向量的模求解. 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 4 二、点到直线的距离 设是直线上的定点,是直线外一点,若是直线 的单位方向向量,是在直线 上的投影向量,设 ,则点到直线 的距离 . 提醒 已知向量,直线的单位方向向量为,则向量在 方向上的投 影向量为, ,即 ,故其模为 . 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 5 三、点到平面的距离公式 如图,平面 的法向量为，为平面 外一点, 为平面 内的定点,过点作平面 的垂线 ,交平 面 于点,且是直线的方向向量,则点 到平 面 的距离就是在直线上的投影向量 的 长度,则 . 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 6 四、异面直线间的距离 （1）定义：两条异面直线间的公垂线段的长即异面直线间的距离. 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 7 （2）求解公式：如图,设两条异面直线,的公垂线的方向向量为 , 这时分别在,上任取,两点,则向量在 上的投影的长就是两条 异面直线,的距离.则 . 即两异面直线间的距离,等于两异面直线上分别任取两点的向量 和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量的模的比值. 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 8 （1）点到平面的距离是该点与平面上点距离的最小值.( ) √ （2）点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线长度的最小 值.( ) √ （3）直线平行于平面 ,则直线上各点到平面 的距离相等.( ) √ （4）直线上两点到平面 的距离相等,则平行于平面 .( ) × 判断 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 9 讲练结合 10 考点一 点线距 例1 如图所示，在几何体 中，四边形为直角梯形， ， ， 底面， ， ，，.则点 到 直线 的距离为_ ____. 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 11 如图，以为原点，，，所在直线分别为，， 轴建立空 间直角坐标系，则，， . （法一），， 点到直线 的距离 . 解析 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 12 （法二），， ， ， ， ， 点到直线的距离为 ， . 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 13 方法总结 向量法求点到直线的距离的三种方法 方法一：（1）求直线的方向向量；（2）计算所求点与直线上 某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度;（3） 利用勾股定理求解. 方法二：在直线上设出垂线段的垂足的坐标,利用共线和垂直求 出垂足坐标,再求向量的模. 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 14 方法三：（1）求直线的方向向量;（2）计算所求点与直线上某 一点所构成的向量与直线的方向向量夹角的余弦值,进而求出正弦值; （3）求出所求点与直线上某一点所构成的向量的模,再乘以夹角的 正弦值即为所求. 注意：求平行直线间的距离可转化为求点到直线的距离. 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 15 （人A选修 节选）如图， 在棱长为1的正方体中， 为线段的中点，为线段 的中点. （1）求点到直线 的距离； （2）求直线到直线 的距离. 练习 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 16 解析 建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,,0,,,1,,, . （1）设是直线的单位向量.因为,, , ,,,，所以 . 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 17 所以点到直线的距离为 . （2）因为,0,,,0,,所以 ，即 ,所以点到直线的距离即为直线到直线 的距离. 设是直线的单位向量.因为,0, , ,1,，则, , 所以直线到直线的距离为 . 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 18 考点二 点面距 例2.改编题 （人A选修①PT 改编） 如图，在棱长为1的正方体 中，为线段的中点，为线段 的中点. （1）求点到平面 的距离； （2）求直线到平面 的距离. 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 19 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则 ,,,0,,,1, , , . （1）设平面 的一个法向量为 ，易得 , ,0,, . 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 20 由 令，则 . 设点到平面的距离为 ，则 ，即点到平面 的距离 为 . 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 （2）因为, 平面, 平面,所以 平面 ， 所以直线到平面的距离等于点到平面 的距离. 又，由（1）得平面 的一个法向量为 ， 所以点到平面的距离为 ， 所以直线到平面的距离为 . 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 方法总结 求点面距的步骤 （1）建系：建立恰当的空间直角坐标系. （2）求点坐标：写出（求出）相关点的坐标. （3）求向量：求出相关向量的坐标 , 内两不共线向量,平 面 的法向量 . （4）求距离 . 注意：求线面距、面面距可转化为求点面距. 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 23 如图，正方体 的棱长为1， 为 的中点.求： （1）点到平面 的距离； （2）直线到平面 的距离； （3）平面与平面 的距离. 练习 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 24 解析 （1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,, , ，,,,， , 所以,,, ， , 设是平面 的一个法向量， 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 25 则 令，则，所以点 到平面 的距离为 . （2）由正方体的性质易得，又 平面 ， 平面 ， 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 故平面，所以点到平面的距离为直线 到平面 的距离，而，则直线到平面 的距离 为 . （3）如图，连接,,.由正方体的性质得 ，又 平面， 平面，则 ， 又, 平面, 平面 ，故 平面，而 平面 ， 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 所以，同理可证，又, 平 面, 平面，则 平面 ， 同理可证 平面，所以平面平面 ，故平面 与平面的距离等价于点与平面 的距离. 由（1）可知, ， 则点到平面的距离为 ， 即平面与平面的距离为 . 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 考点三 异面直线之间的距离 例3.改编题 （苏教版选修②PT 改编） 如图，已知正方体 的棱长为 1，是异面直线与 的公垂线段，则异 面直线与间的距离为_ ___ 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 29 以为原点，,,所在直线分别为轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则,,, . 因为点在上，点在 上， 所以设， ， 所以,, . 因为是异面直线与 的公垂线段， 解析 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 30 所以,，即 解得 所以,,，,1, ， 所以异面直线与 间的距离为 . 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 31 方法总结 求异面直线间的距离的方法 （1）异面直线<m></m>与<m></m>间的距离可用以下公式求解. <m></m>,其中<m></m>满足<m></m> （2）求公垂线段所在的向量的坐标,进而求出模. 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 32 如图，在四棱锥中, 平面 , 底面为矩形,,,为 的中点,求异面直线与 之间的距离. 解析 因为 平面,所以, . 因为底面为矩形,所以,所以,, 两两垂直, 练习 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 33 建立如图所示的空间直角坐标系. 因为,,为 的中点,所 以, , . 设与 的公垂线的方向向量为 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 34 ,则 令,则,所以异面直线 与 之间的距离为 . 第 55 课时 利用空间向量研究距离问题 $$