第54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 课件——2026届高三数学一轮复习

第 54 课时 利用空间向量研究直线、 平面的位置关系 1 考纲要求 1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量. 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系. 3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理. 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 2 知识梳理 3 一、直线的方向向量和平面的法向量 1.直线的方向向量：如果表示非零向量 的有向线段所在直线与直 线____________,则称此向量为直线的方向向量.一条直线 有 ______多个方向向量（非零向量）,这些方向向量之间互相平行.直 线的方向向量也是所有与 ______的直线的方向向量. 平行或重合 无穷 平行 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 4 2.平面的法向量：直线 ,取直线的方向向量,则向量 叫作平 面 的法向量. 提醒（1）直线的方向向量不唯一,一般取直线上两点构成其一个方 向向量. （2）平面的法向量不唯一,所以可以用赋值法求出平面的一个法向量. 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 5 二、空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线, 的方向向量分 别为, 直线的方向向量为 ,平 面 的法向量为 平面 , 的法向量分别 为, 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 6 （1）若两不重合的平面的法向量平行,则两平面平行.( ) √ （2）若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.( ) √ （3）若,则所在直线与 所在直线平行.( ) × （4）若空间向量平行于平面 ,则所在直线与平面 平行.( ) × 提醒 利用法向量证明线面平行时,直线的方向向量与平面的法向量 垂直是线面平行的必要条件,应注明直线在平面外. 判断 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 7 讲练结合 8 考点一 利用空间向量证明平行问题 考向1 线面平行 例1 （2022·天津卷节选）如图，在直三棱 柱中，，点， ， 分别为,, 的中点， .求证：平面 . 解析 在直三棱柱中， 平面，且，则 . 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 9 以点为坐标原点，，， 所 在直线分别为，， 轴建立如图所示的 空间直角坐标系，则， , ,,,,, ，则 ,,，易知平面 的一个法向量 为，则，故 . 平面，平面 . 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 10 考向2 面面平行 例2.改编题 （人A必修②PT 改编）已知正方体 的棱长为，，，，分别是棱 ， ，，的中点.求证：平面平面 . 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 11 解析 如图，以点 为坐标原点，分别以 ，，的方向为，， 轴的正方向， 建立空间直角坐标系，则 ， ，，,0,，,, ， ,,，,, ， 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 12 所以,0,，,,，,,，,, . 设是平面 的一个法向量，则 取，得，，则 . 设是平面 的一个法向量， 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 13 则 取，得，，则 . 又平面与平面 不重合， 故平面平面 . 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 14 方法总结 1.证明线面平行的常用方法： （1）证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行; （2）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 15 2.证明面面平行常用的方法： （1）利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个 平面; （2）证明两个平面的法向量平行; （3）证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量. 注意：运用向量知识判定空间位置关系时,仍然离不开几何定理. 如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时,仍需强 调直线在平面外. 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 16 已知正方体的棱长为2,, 分别是 , 的中点,求证： （1）平面 ; （2）平面平面 . 练习 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 17 解析 建立空间直角坐标系如图所示, 则,,, , ,, , 所以, , ， . （1）设是平面 的一个法向量, 则 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 18 令,则 . 因为,所以 . 又因为 平面,所以平面 . （2）设是平面 的一个法向量, 则 令,则 . 因为,且平面与平面不重合，所以平面 平 面 . 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 考点二 利用空间向量证明垂直问题 考向1 线线、线面垂直 例3 如图,在四棱锥 中, 底面,, , ,,是 的中点.求证： （1） ; （2） 平面 . （提示：本题与 “随堂加练”同题，此处运用空间向量法求解） 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 20 解析 以为坐标原点,,, 所在直线分别为 轴、轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设,则, . （1）因为 ,所以 为正三角形, 所以,,,,, . 设,由,得,即 , 则,,,所以,, . 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 21 又因为,, ,所以 ,所以 ,即 . （2）（法一）由（1）知,,,, , 所以,, . 又因为 , 所以,即 . 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 因为,所以,所以 . 又因为, 平面, 平面 , 所以 平面 . （法二）由（1）知,,,, , 设平面的一个法向量为 , 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 则 令,则 . 因为,,,所以 ， 所以,所以 平面,即 平面 . 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 24 考向2 面面垂直 例4 如图,在三棱锥中,,为 的中点, 平面,垂足落在线段 上.已 知,,, . （1）证明： . （2）若是线段上一点,且 .试证明： 平面 平面 . 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 25 解析 （1）如图，作,则易证,, 两两垂直，以为坐标原点,分别以射线, , 为轴、轴、 轴的正半轴建立空间直角坐标 系， 则,,, , , 所以, ,所以 , 所以,即 . 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 26 （2）由（1）知,又,且点在线段 上, 所以,, . 又 , 所以,, , 则,, , 所以,即 . 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 由（1）知,因为, 平面, 平面 , 所以 平面,所以 平面 . 又 平面,故平面 平面 . 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 方法总结 利用空间向量证明垂直的方法 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量 积为零 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂 直的判定定理用向量表示 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理 用向量表示 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 29 如图,已知四棱锥 的底面是直角梯形, , ,侧面 底面 .证明： （1） ; （2）平面 平面 . 解析 （1）取的中点,连接 . 因为平面 底面,易知为等边三角形,所以 , 即 底面 . 练习 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 30 以的中点为坐标原点,所在直线为 轴,过点 与平行的直线为轴,所在直线为 轴,建立 如图所示的空间直角坐标系. 不妨设,则, , 所以,,, , 所以, . 因为 , 所以,所以 . 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 31 （2）取的中点,连接,则,, . 因为,0,, ,所以 , 所以,即 . 因为 , 所以,即 . 又因为, 平面, 平面,所以 平 面 . 因为 平面,所以平面 平面 . 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 考点三 与平行、垂直有关的综合问题 例5 如图，在直三棱柱 中， ，，，点在线段 上，且，，，分别为，， 的中点. （1）求证：平面 平面 . （2）求证：平面平面 . 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 33 解析 （1）以为坐标原点，，， 所在 直线分别为轴、轴、 轴建立如图所示的空间直 角坐标系，则，， ， ， . 设，则，，1， . 因为， ， ，所以 ， ， 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 34 所以， ， 即， . 又，， 平面 ， 所以 平面 . 因为 平面，所以平面 平面 . （2）（法一）因为，1，， ， ，所以， ， 所以， . 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 因为， 平面， 平面 ， 所以 平面 . 又由（1）知 平面，所以平面平面 . （法二）因为，0， ， 所以，所以 . 又 平面， 平面 ， 所以平面，同理平面 . 又， 平面， 平面 ， 所以平面平面 . 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 方法总结 1.利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的空间直角坐 标系（尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量 表示涉及直线、平面的要素）. 2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍 然离不开立体几何的有关定理. 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 37 如图，在四棱锥中， 底面 ，， ， ，，点为棱 的中 点.求证： （1）平面 ； （2）平面 平面 . 练习 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 38 解析 （1）因为 平面，且， 平面 ，所以 ， . 又因为，所以，， 两两互相垂直. 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 39 依题意，以为原点，，， 所在直线分 别为，， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，所 以为平面 的一个法向量. 由为棱的中点，得，则 . 又，所以 . 又 平面，所以平面 . 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 40 （2）由（1）知平面的一个法向量为 ， ， . 设平面的一个法向量为 ， 则即 令，则 . 又，所以 ， 所以平面 平面 . 第 54 课时 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 $$