第 53 课时 空间向量的概念与运算 课件——2026届高三数学一轮复习

第 53 课时 空间向量的概念与运算 1 考纲要求 1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置;探索并得出空间两点间的距离公式. 2.了解空间向量的概念、空间向量基本定理、空间向量投影的概念及其意义. 3.掌握空间向量的线性运算、数量积的运算及其坐标表示. 第 53课时 空间向量的概念与运算 2 知识梳理 3 一、空间向量有关概念 1.单位向量：模为___的向量. 2.共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线_______ __________,那么这些向量叫作共线向量或平行向量. 3.共面向量：______于同一个平面的向量. 提醒 （1）零向量与任意向量平行. （2）空间中的任意两个向量是共面向量,任意三个向量不一定是共 面向量. 1 互相平行或重合 平行 第 53课时 空间向量的概念与运算 4 二、空间向量有关定理 1.共线向量定理：对空间中任意两个向量,, 的充要条 件是存在实数 ,使________. 2.共面向量定理：如果两个向量,不共线,那么向量与向量, 共 面的充要条件是存在唯一的有序实数对,使 . 第 53课时 空间向量的概念与运算 5 3.空间向量基本定理：如果三个向量,, 不共面,那么对任意一个空 间向量,存在唯一的有序实数组,使_________________.{, , }叫作空间的一个______. 提醒（1）在平面中，,, 三点共线的充要条件是 （其中）, 为平面内任意一点. （2）在空间中，,,, 四点共面的充要条件是 （其中）, 为空间中任意一点. 基底 第 53课时 空间向量的概念与运算 6 三、空间向量有关运算 设, , 1.坐标运算： ; ; ___________________. , 第 53课时 空间向量的概念与运算 7 2.数量积运算：, . 提醒（1）向量在向量方向上的投影向量： , . （2）向量的数量积满足交换律、分配律,即 , 成立,但不满足结合律,即 不一定成立. 第 53课时 空间向量的概念与运算 8 四、空间向量有关公式 1.空间两点间的距离公式 已知, ,则 . 第 53课时 空间向量的概念与运算 9 2.空间两点的中点公式 设点为,的中点,则 3.空间向量共线与垂直公式 若,,其中 ,则 . ,, . 第 53课时 空间向量的概念与运算 10 4.空间向量模与夹角公式 若,,则 ; , . 第 53课时 空间向量的概念与运算 11 讲练结合 12 考点一 空间向量的线性运算 例1 如图所示,在平行六面体 中, 设,,,,,分别是, , 的中点,试用,, 表示以下各向量： （1） ; （2） ; （3） . 第 53课时 空间向量的概念与运算 13 解析 （1）因为是 的中点, 所以 . （2）因为是 的中点,所以 . 第 53课时 空间向量的概念与运算 14 （3）因为是 的中点,所以 . 又 , 所以 . 第 53课时 空间向量的概念与运算 方法总结 用已知向量表示某一向量的三个关键点 （1）用已知向量来表示某一向量,一定要结合图形,以图形为指 导是解题的关键. （2）要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,如首 尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点 的向量. （3）在立体几何中,三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 第 53课时 空间向量的概念与运算 16 （人A选修①PT 改编）如图， 在平行六面体中，与 的交点为点，设，， ， 则下列向量中,与 相等的向量是( ). C A. B. C. D. 练习 第 53课时 空间向量的概念与运算 17 解析 .故选C. 第 53课时 空间向量的概念与运算 18 考点二 共线、共面向量的应用 例2（1）改编题 （北师大选修①PT 改编）已知 ，，且 ，则( ). B A., B., C., D.， 第 53课时 空间向量的概念与运算 19 解析 因为， ，所以 ， . 因为，所以 ， 解得, .故选B. 第 53课时 空间向量的概念与运算 20 （2）已知空间中,,,四点共面,且其中任意三点均不共线,设 为 空间中任意一点,若,则 ( ). B A.2 B. C.1 D. 解析 由,即 , 整理得 . 由,,,四点共面,且其中任意三点均不共线,可得 ,解 得 .故选B. 第 53课时 空间向量的概念与运算 21 方法总结 1.共线、共面向量定理的应用 （1）向量共线可以用来判断直线平行、三点共线. （2）向量共面可以用来判断直线与平面平行、四点共面. （3）根据向量共线和向量共面求参数的取值. （4）与<m></m>同向的单位向量为<m></m>,与<m></m>反向的单位向量为<m></m>,与<m></m>共线 的单位向量为<m></m>. 第 53课时 空间向量的概念与运算 22 2.证明,,, 四点共面的方法 （1） . （2）对空间任意一点, . （3）对空间任意一点, （4）或或 . 第 53课时 空间向量的概念与运算 23 1.在空间直角坐标系中,,, , ,若,,, 四点共面,则( ). A A. B. C. D. 练习 第 53课时 空间向量的概念与运算 24 解析 因为,,, , 所以,, . 因为,,,四点共面,所以存在实数 , 使得 ,即 , 所以解得 .故选A. 第 53课时 空间向量的概念与运算 25 2.（多选题）下列说法正确的是( ). CD A.是， 共线的充要条件 B.若，共线，则 C.，，三点不共线，对空间任意一点 ，若 ，则，，， 四点共面 D.若，，，为空间中的四点，且 ，不共线，则是，， 三点共线的充要条件 第 53课时 空间向量的概念与运算 26 解析 由，可知向量， 的方向相反，此时向量 ，共线;反之，当向量，同向时，不能得到 ， 所以A不正确. 若，共线，则或，，， 四点共线，所以B不正确. 由，，三点不共线，对空间任意一点 ，若 ，其中，可得，，， 四 点共面，所以C正确. 第 53课时 空间向量的概念与运算 若，，，为空间中的四点，且， 不共 线，当，即 时，可得 ， 即，所以，，三点共线，反之也成立，即 是，， 三点共线的充要条件，所以D正确. 故选 . 第 53课时 空间向量的概念与运算 考点三 空间向量的数量积及应用 例3 已知在平行六面体中,底面 是边长为1的 正方形,, . （1）求线段 的长; （2）求异面直线与 所成角的余弦值; （3）证明： . 第 53课时 空间向量的概念与运算 29 解析 （1）如图所示,设,, , 则, . 因为 , ，且 , 所以 , 所以,即线段的长为 . 第 53课时 空间向量的概念与运算 30 （2）因为, , 所以 . 又 , 所以 , 所以, , 所以异面直线与所成角的余弦值为 . 第 53课时 空间向量的概念与运算 （3）因为, , 所以 ， 所以,即 . 第 53课时 空间向量的概念与运算 方法总结 空间向量数量积的应用 第 53课时 空间向量的概念与运算 33 1.（2024·上海卷）已知四棱柱 的底面 为平行四边 形，， 且 ，则异面直线 与 的夹角的余弦值为_ __. 练习 第 53课时 空间向量的概念与运算 34 解析 因为, ， 所以 ， 即 . 因为底面为平行四边形，所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以, ， 故异面直线与的夹角的余弦值为 . 第 53课时 空间向量的概念与运算 35 2.已知,, . （1）求, ; （2）求在 上的投影向量. 第 53课时 空间向量的概念与运算 36 解析 （1）因为,, , 所以, . 因为, , , 所以, , 又, , 第 53课时 空间向量的概念与运算 37 故, . （2）因为, , 所以 . 且, , 所以, , 所以在上的投影向量为 , . 第 53课时 空间向量的概念与运算 $$