第52 课时 空间直线、平面的垂直 课件——2026届高三数学一轮复习

第 52 课时 空间直线、平面的垂直 1 考纲要求 1.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系的定义,归纳出有关垂直的判定定理和性质定理,并加以证明. 2.能运用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题. 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 2 知识梳理 3 一、直线与平面垂直 1.直线和平面垂直的定义：一般地,如果直线与平面 内的______ 一条直线都垂直,我们就说直线与平面 互相垂直. 任意 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 4 2.判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判 定 定 理 如果一条直线与一个平面 内的______________垂直, 那么该直线与此平面垂直 _____________________________________________ 两条相交直线 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 5 文字语言 图形表示 符号表示 性 质 定 理 垂直于同一个平面的两条 直线______ ______________________________________________ 平行 续表 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 6 二、直线和平面所成的角 1.定义：平面的一条斜线和它在平面上的______所成的角,叫作这条 直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,则它们所成的角是 ____;一条直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是 . 2.范围：, . 射影 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 7 三、二面角 1.定义：从一条直线出发的____________所 组成的图形叫作二面角. 2.二面角的平面角若有; , 两个半平面 ;,,则二面角 的平面角是_______ 3.二面角的平面角 的范围：______________. 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 8 四、平面与平面垂直 1.定义：一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是__________, 就说这两个平面互相垂直. 直二面角 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 9 2.判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判 定 定 理 如果一个平面过另一 个平面的______,那么 这两个平面垂直 ________________________________________________________ 垂线 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 10 文字语言 图形表示 符号表示 性 质 定 理 两个平面垂直,如果一 个平面内有一直线垂 直于这两个平面的 ______,那么这条直线 与另一个平面垂直 _________________________________________________________ 交线 续表 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 11 （1）若直线与平面 内的两条直线都垂直，则 .( ) × （2）若直线 ， ，则 .( ) √ （3）若 ， ，则 .( ) × （4）若直线与平面 内的无数条直线都垂直,则 ( ) × 判断 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 12 （5）设,是两条不同的直线, 是一个平面,若, ,则 .( ) √ （6）若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线都垂直于 另一个平面.( ) × 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 13 提醒（1）若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于 这个平面. （2）若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一 条直线（证明线线垂直的一个重要方法）. （3）垂直于同一条直线的两个平面平行. （4）三垂线定理：平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线 在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 14 （5）三垂线定理的逆定理：平面内的一条直线如果和该平面的一 条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. （6）若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直 于第三个平面. （7）三种垂直关系的转化： 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 15 讲练结合 16 考点一 直线与平面垂直的判定与性质 热点考情:直线与平面垂直作为空间垂直关系的载体，因其全面 考查直线与平面垂直的判定定理和性质定理而成为高考的热点,涉及 直线与平面垂直关系的判断、证明以及在空间几何体中的实际应用. 例1 （1）（2024·上海卷节选）如图，，， 为圆锥三条母线，.证明： . 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 17 （2）（2023·新高考Ⅱ卷节选）如图，在三棱锥 中，， ， ，为 的中点.证明： . 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 18 解析 （1）取的中点，连接， （图略）， 因为,，所以, . 又因为 平面, 平面, ， 所以 平面 . 因为 平面，所以 . （2）连接,（图略），因为为的中点， ，所以 . 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 19 因为， ， 所以 ， 所以，从而 . 又， 平面, 平面 ， 所以 平面 . 又 平面，所以 . 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 20 方法总结 1.证明直线和平面垂直的常用方法： （1）判定定理. （2）垂直于平面的传递性<m></m>. （3）面面平行的性质<m></m>. （4）面面垂直的性质. 2.证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直需借助线 面垂直的性质. 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 21 如图所示,在四棱锥中, 底面 , ,, ,, 是 的中点.证明： （1） ; （2） 平面 . 练习 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 22 解析 （1）在四棱锥中,因为 底面, 平面 ,所以 . 因为,, 平面, 平面 ,所以 平面 . 又 平面,所以 . （2）由, ,得 是等边三角形, 所以 . 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 23 因为是的中点,所以 . 由（1）知,且, 平面, 平面 , 所以 平面 . 又 平面,所以 . 因为 底面,且 平面,所以 . 又，, 平面, 平面 , 所以 平面 . 而 平面,所以 . 又, 平面, 平面,所以 平面 . 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 考点二 平面与平面垂直的判定与性质 热点考情:平面与平面垂直作为空间垂直关系的载体，因其全面 考查平面与平面垂直的判定定理、性质定理而成为高考的热点,涉及 平面与平面垂直关系的判断、证明以及在空间几何体中的实际应用. 例2 （2023·全国甲卷）如图，在三棱柱 中， 平面， . （1）证明：平面 平面 . （2）设， ，求四棱锥 的高. 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 25 解析 （1）因为 平面， 平面 ，所以 . 又因为 ，所以 . 因为 平面， 平面 ，，所以 平面 . 又因为 平面 ， 所以平面 平面 . 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 26 （2）如图，过点作于点 . 由（1）知平面 平面，且平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 所以四棱锥的高为 . 因为 平面， 平面， 平面 ， 所以， . 在与 中， 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 因为，，所以 ， 所以.设，则 ， 所以为的中点，则 . 又因为，所以 ， 即，解得 ， 所以 ， 所以四棱锥 的高为1. 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 方法总结 1.判定面面垂直的方法 （1）面面垂直的定义. （2）面面垂直的判定定理. 2.面面垂直性质的应用 （1）面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据， 运用时要注意“平面内的直线”. （2）若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直 于第三个平面. 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 29 如图，在四棱锥中， ， ，，平面 平面 ， ，,分别是, 的中点.求证： （1） 平面 ； （2）平面平面 ； （3）平面 平面 . 练习 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 30 解析 （1） 平面 平面，平面 平面 ，且 平面，， 平面 . （2），，是的中点， ，且 ， 四边形是平行四边形， . 平面， 平面，平面 . ，分别是，的中点， . 平面， 平面，平面 . ， 平面， 平面 ， 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 31 平面平面 . （3）， 平行四边形是矩形， ， . 由（1）知 平面，且 平面, . ，且 平面, 平面 , 平面.又 平面, . ,分别是,的中点，， . 又，且 平面, 平面, 平面 . 平面， 平面 平面 . 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 考点三 垂直关系的综合应用 例3 如图,在四棱锥 中,底面 为矩形,平面 平面 , ,,,分别为, 的 中点.求证： （1） ; （2）平面 平面 ; （3）平面 . 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 33 解析 （1）因为,为 的中点,所 以 . 因为底面为矩形,所以 ,所以 . （2）因为底面为矩形,所以 . 又因为平面 平面,平面 平面, 平面,所以 平面 . 因为 平面,所以 . 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 34 又因为,且, 平面, 平面 , 所以 平面 . 因为 平面,所以平面 平面 . （3）如图,取的中点,连接, . 因为,分别为, 的中点, 所以, . 因为四边形为矩形,且为 的中点, 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 所以,,所以, , 所以四边形为平行四边形,所以 . 又因为 平面, 平面 , 所以平面 . 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 方法总结 关于线、面垂直关系的综合应用 （1）对于三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、 线面、面面垂直间的转化.求解时应注意垂直的性质定理及判定定理 的综合应用. （2）如果有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交 线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直. 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 37 如图,在四棱锥中,底面 是矩形, 点在棱上（异于点,）,平面与棱 交于点 . （1）求证： . （2）若,求证：平面 平面 . 练习 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 38 解析 （1）因为四边形是矩形,所以 . 又 平面, 平面,所以平面 . 因为 平面,平面 平面 , 所以 . （2）因为四边形是矩形,所以 . 因为,且,所以 . 又,且点在棱上（异于点, ）, 所以点异于点,,所以 . 又 平面, 平面,所以 平面 . 又 平面,所以平面 平面 . 第 52 课时 空间直线、平面的垂直 39 $$