第4章 图形的轴对称 课件 2025-2026学年 青岛版（2024）八年级数学上册

4．2　线段的垂直平分线 第1课时　线段的垂直平分线的性质及应用 1．[2024·临沂期中]如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于D，E两点，∠B＝60°，∠BAD＝70°，则∠BAC的度数为( ) A．90° B．85° C．130° D．95° 2．[2024·济南期末]如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，在 △ACF中，CE垂直平分AF，若CF＝5，CD＝4，则△ABC的周长 为( ) A．13 B．14 C．24 D．18 3．如图，∠MON＝45°，点P为∠MON内一点，点A为OM上一点，点B为ON上一点，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为( ) A．45° B．90° C．100° D．135° 4．[2024·济宁期中]如图，在△ABC中，点O为三边垂直平分线交点，I是三角形角平分线的交点，连接AI，BI，BO，若∠AOB＝140°，则∠AIB的大小为( ) A．160° B．140° C．130° D．125° 6．[2024·聊城期末]如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α， ∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC 上，F在AC上)折叠，若点C与点O恰好重合，则∠OFA度数为( ) A．α B．1.5α C．2α D．2.5α 7．[2024·潍坊期中]如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，边BC的垂直平分线分别交BC，AC于点E，F，点D为直线EF上一点，则△ABD的周长最小值为( ) A．11 B．10 C．9 D．8 8．[2024·日照期末]如图，△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，N，若∠BAC＝70°，则∠EAN的度数( ) A．60° B．50° C．40° D．70° 9.[将军饮马模型][2024·济宁期中]如图，在△ABC中，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，点 P为线段BD上一动点，点 Q为边AB上一动点，当AP＋PQ的值最小时，则∠APB的度数是( ) A．125° B．130° C．135° D．140° 10．(多选)如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，以下结论正确的是( ) A．∠C＝∠BDC＝72° B．线段BD是△ACB的角平分线 C．△BCD的周长C△BCD＝AB＋BC D．△ADE ≌△BCD 11．[2024·青岛期末]如图，DE是AB边的垂直平分线，若BD＋ CD＝2 017，则AC的长度为______． 2 017 12．如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线与AC相交于点D， 连接BD，边AC的长为12 cm，边BC的长为7 cm，则△BCD的周长 为______． 19 cm 13．[2024·潍坊期中]如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC 的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A＝60°， ∠ACF＝45°，则∠DFC＝___度． 50 14．[2025·洛阳期末]【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上点到线段两端的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？ 【自主研究】(1)如图1，直线l是线段AB的垂直平分线，点P在直线l的左侧，经测量，PA<PB.请证明这个结论； 【迁移研究】(2)如图2，直线l是线段AB的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A在直线l的同测，点D是直线l上的任意一点，连接AD，BC，CD，试判断BC和AD＋CD之间的大小关系，并说明理由． 解：(1)证明：如图1，连接PA，PB，PB交直线l于点M，连接AM， 因为直线l是线段AB的垂直平分线， 所以AM＝BM， 所以PB＝PM＋MB＝PM＋AM， 因为PM＋AM>PA， 所以PA<PB； (2)如图2，AD＋CD≥BC，理由如下： 当点D不在线段BC上时，连接BD， 因为直线l是线段AB的垂直平分线， 所以AD＝BD， 因为BD＋CD＞BC， 所以AD＋CD>BC， 当点D在线段BC上时，AD＋CD＝BC， 综上所述，AD＋CD≥BC. 15.[分类讨论思想]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝ 8 cm，CA＝6 cm，AB＝10 cm，点P从点C开始以1 cm/秒的速度 沿C→A→B的方向移动，点Q从点B开始以2 cm/秒的速度沿B→C →A的方向移动，如果P，Q同时出发，用t(秒)表示移动时间， 那么： (1)如图1，若P在线段CA上运动，Q在线段BC上运动，求t为何值时，点C在线段PQ的垂直平分线上？ (2)如图2，当Q点到达A点时，P，Q两点都停止运动，求当t为何值时，线段CQ的长度等于线段AP的长的 ？ 5．如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点P，若∠PAC＝x，则∠1的度数是( ) A．90°－x B．x C．90°－eq \f(1,2)x D．60°－eq \f(1,2)x eq \f(1,5) 解：(1)由题意得BQ＝2t cm，CP＝t cm， 则CQ＝(8－2t) cm， 因为点C在线段PQ的垂直平分线上， 所以CQ＝CP，即8－2t＝t， 解得t＝eq \f(8,3)， 答：当t＝eq \f(8,3)时，点C在线段PQ的垂直平分线上； (2)因为BC＝8 cm，CA＝6 cm， 所以BC＋AC＝14 cm， 所以0≤t≤7， 当0≤t≤4，CQ＝(8－2t) cm，AP＝(6－t) cm， 则8－2t＝eq \f(1,5)(6－t)， 解得t＝eq \f(34,9)； 当4<t≤6，CQ＝(2t－8) cm，AP＝(6－t) cm， 则2t－8＝eq \f(1,5)(6－t)，解得t＝eq \f(46,11)； 当6<t≤7，CQ＝(2t－8) cm，AP＝(t－6) cm， 则2t－8＝eq \f(1,5)(t－6)， 解得t＝eq \f(34,9)(舍去)． 综上所述，当t＝eq \f(34,9)或eq \f(46,11)时，线段CQ的长度等于线段AP的长的eq \f(1,5). $$4．4　等腰三角形 第1课时　等腰三角形(1) 1．[2024·临沂期中]用一条长为24 cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边长为6 cm，则该等腰三角形的腰长为( ) A．9 cm B．6 cm C．6 cm或9 cm D．6 cm或12 cm 2．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1＋∠2＝110°， 则∠3的度数为( ) A．90° B．70° C．45° D．30° 3．[2024·烟台期中]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°， 点P是△ABC内一点，连接PB，PC，若∠1＝∠2，则∠BPC的度 数是( ) A．95° B．100° C．105° D．115° 4．[2024·临沂期中]如图，已知等边三角形ABC，点D为线段BC 上一点，△ADC沿AD折叠得△ADE，连接BE，若∠ADB＝70°，则 ∠DBE的度数是( ) A．10° B．20° C．30° D．40° 5．[2024·德州期中]作线段AB的垂直平分线有多种方法，“善思小 组”用两把相同的直尺按如图方式摆放，此时，零 刻度线重合于点E，连接EA，EB，取AB的中点F，作 直线EF，则EF就是线段AB的垂直平分线，“善思小 组”这样做的依据是( ) A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 D．三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 6．[2024·临沂期中]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝24°，∠EDC＝12°，则∠DAE的度数为( ) A．58° B．60° C．62° D．64° 7.[将军饮马模型][2024·济南期中]如图，等腰△ABC的底边BC＝8 cm，面积为48 cm2，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若D为边BC的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值是( ) A．12 cm B．14 cm C．16 cm D．20 cm 9.[分类讨论]等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为45°，那么这个三角形底角为( ) A．67° B．135° C．67.5° D．67.5°或22.5° 10．[2024·临沂期中]已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长 分成9 cm和12 cm两部分，则等腰三角形的腰长为___________． 11．[2024·济宁期中]如图，AD是等腰三角形底边BC的中线， BC＝10 cm，∠B＝48°，则∠BAD的度数为_____，BD的长度为 _____． 8 cm或6 cm 42° 5 cm 12．在△ABC中，AB＝AC.设△ABC的面积为S. ①图1中，点D为BC的中点，点E，F，M，N是AD上的四点； ②图2中，AB＝BC，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，AD，BE，CF相交于点O； ③图3中，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，∠MDN＝90°. 其中，阴影部分的面积为 S的是_______．(填序号) ①②③ 13．如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的 延长线上，且DC＝BC，AD＝AO. (1)求证：△BCO≌△DCO； (2)若∠BAC＝100°，求∠BCA的度数． 14．[2025·合肥期末]在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB的中点，点E是线段AD上一点．BF⊥CE于点F，BF交CD于点G. 求证：(1)∠ACE＝∠CBG； (2)AE＝CG. 答案：略 15．[2025·成都期中]如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE. (1)如图1，当点E恰好在BC边延长线上时，若BC＝4，BD＝2，求BE的长； (2)如图2，当点C恰在边DE上，若DB⊥AB，BD＝2，求DE的长； (3)如图3，若DB⊥AB，DE交直线BC于点F，试判断DF与EF的数量关系，并说明理由． 解：(1)因为∠BAC＝∠DAE， 所以∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD， 所以∠BAD＝∠CAE， 又因为AB＝AC，AD＝AE， 所以△ABD≌△ACE(SAS)， 所以BD＝CE， 因为BC＝4，BD＝2， 所以BE＝BC＋CE＝BC＋BD＝6； (2)同(1)理可证，△ABD≌△ACE(SAS)， 因为DB⊥AB，BD＝2， 所以∠ACE＝∠ABD＝90°，CE＝BD＝2， 因为AD＝AE，AC⊥DE， 所以CD＝CE＝2， 所以DE＝4； (3)DF＝EF，理由如下： 如图，过点D作DM⊥BF于点M，过点E作EN⊥BF延长线于点N， 因为DB⊥AB， 所以∠ABD＝90°， 所以∠ABC＋∠CBD＝90°， 同(1)理可证，△ABD≌△ACE(SAS)， 所以∠ACE＝∠ABD＝90°，BD＝CE， 所以∠ACB＋∠ECN＝90°， 所以DM＝EN， 又因为∠DMF＝∠ENF＝90°， ∠DFM＝∠EFN， 所以△DMF≌△ENF(AAS)， 所以DF＝EF. 8．(多选)定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的特征值．若在等腰△ABC中，∠A＝80°，则等腰△ABC的特征值k＝( ) A.eq \f(8,5) B．eq \f(5,8) C.eq \f(1,4) D．4 eq \f(1,2) 解：(1)证明：因为CO平分∠ACB， 所以∠BCO＝∠DCO， 在△BCO和△DCO中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OC＝OC，,∠BCO＝∠DCO，,BC＝DC，)) 所以△BCO≌△DCO(SAS)； (2)因为△BCO≌△DCO， 所以∠CBO＝∠D， 因为AO，BO，CO是△ABC三个内角的平分线， 所以∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO， 又因为∠BAC＝100°， 所以∠CAO＝eq \f(1,2)∠BAC＝eq \f(1,2)×100°＝50°， 又因为AD＝AO， 所以∠D＝∠AOD， 又因为∠CAO＝∠D＋∠AOD， 所以∠D＝eq \f(1,2)∠CAO＝eq \f(1,2)×50°＝25°， 所以∠CBO＝25°， 所以∠CBA＝50°， 又因为∠BAC＋∠ABC＋∠BCA＝180°， 所以∠BCA＝180°－100°－50°＝30°. 因为AB＝AC， 所以∠ABC＝∠ACB， 所以∠CBD＝∠ECN， 在△BMD和△CNE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DBM＝∠ECN，,∠BMD＝∠CNE＝90°，,BD＝CE，)) 所以△BMD≌△CNE(AAS)， $$第3课时　等腰三角形(3) 1．[2024·济宁期中]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，DA⊥AC，垂足为A，若AD＝2，则BC的长为( ) A．4 B．10 C．8 D．6 2.[将军饮马模型][2024·淄博期中]如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取最小值时，则∠ECF的度数为( ) A．15° B．25° C．22.5° D．30° 3．如图，△ABC和△CDE均是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，BE与AD交于点O，AD与CE交于点N，AC与BE交于点M，连接OC，MN，下列结论：①AD＝BE②NA＝CM　③MN∥BD　④∠BOC＝∠DOC　⑤△CMN为等边三角形　⑥若∠ADE＝25°，则∠BED＝105°　⑦OM＋ON＝OC.其中正确结论个数为( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．(多选)如图，已知△ABC是等边三角形，点D，E分别在边AB，BC上，CD，AE交于点F，∠AFD＝60°.FG为∠AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG＝CD，连接HA，HC.下列结论中正确的有( ) A．BD＝CE　 B．∠AHC＝60° C．FC＝CG　 D．S△CBD＝S△CGH 5．[2024·济宁期中]如图，△ABC是等边三角形，点E是边AC的 中点，过点E 作EF⊥AB于点F，延长 BC交 EF的反向延长线于点D. 若AF＝1，则 BD的长为__． 6 6．如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3……在射线ON上，点B1， B2，B3……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4……均为 等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a1，第2个等 边三角形的边长记为a2，以此类推，若OA1＝1，则a2 025＝_____． 22 024 7.[分类讨论][2024·日照期中]如图，△ABC是边长为4 cm的等 边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运 动，且它们的速度都为1 cm/s.当点P到达点B时，P，Q两点停止 运动．设点P的运动时间为t(s)．当t＝_____时，△PBQ是直角三 角形． 8．[2025·绵阳期末]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CA平分∠BCD，AM⊥CD于点M，BN⊥AC于点N，连接MN. (1)证明：AB＝BC； (2)若∠CAB＝30°，证明：△AMN是等边三角形． 9．[2025·大连期中]【课题回顾】 在学习最短路径问题时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题． 【问题探究】 如图1，在等边△ABC中，点D为BC中点，点P，Q分别为AC，BC上的点，AP＝CQ＝2，DQ＝1，点M是线段AD上的动点，连接MP，MQ，求MP＋MQ的最小值． (1)小明提出的探究思路如下：如图2，作点Q关于直线AD的对称点Q′，连接PQ′交AD于点M，连接MQ，根据“两点之间，线段最短”，可知此时MP＋MQ的值最小． ①请你运用小明的探究思路，证明此时MP＋MQ的值最小； ②求MP＋MQ的最小值； 【类比探究】 (2)如图3，在Rt△OAB中，OA＝4，∠ABO＝30°，点C为AB中点，OD平分∠AOB交边AB于点D，点P为边OB上的一个动点．若点M在线段OD上，连接MC，MP，当MC＋MP的值最小时，请直接写出OP的值． 解：(1)①证明：因为△ABC是等边三角形， 所以AB＝AC， 因为点D为BC中点， 所以AD垂直平分BC， 如图1，在AD上另取一点M′， 连接PM′，M′Q′，M′Q， 所以MQ＝MQ′，M′Q＝M′Q′， 所以MP＋MQ＝MP＋MQ′＝PQ′， 在△M′PQ′中，PQ′<PM′＋M′Q′， 所以MP＋MQ<PM′＋M′Q′， 所以PQ′即是MP＋MQ的最小值； ②因为△ABC是等边三角形，点D为BC中点， 所以AB＝AC＝BC＝2CD，∠C＝60°，AD⊥BC. 因为CQ＝2，DQ＝1， 所以CD＝BD＝CQ＋DQ＝3， 所以AB＝AC＝BC＝6，CP＝6－2＝4. 因为点Q关于直线AD的对称点为Q′， 所以DQ＝DQ′＝1， 所以CQ′＝3＋1＝4＝CP. 因为∠C＝60°， 所以△CPQ′是等边三角形， 所以PQ′＝CQ′＝4， 所以MP＋MQ的最小值为4； (2)作点P关于OD的对称点N，由CD平分∠AOB知点N在OA上，连接MN，由两点之间线段最短及垂线段最短得当C，M，N三点共线，且CN⊥OA时，MC＋MP最小， 所以∠OPM＝∠ONM＝90°，PM＝MN， 所以MP⊥OB， 由题意可得OA⊥OB， 因为OD平分∠AOB， 所以∠POM＝∠MON＝45°， 所以△MPO和△MNO都是等腰直角三角形， 所以OP＝PM＝MN＝ON， 因为CN⊥OA，OB⊥OA， 所以OB∥CN， 所以∠ACN＝∠ABO＝30°， 所以AN＝ AC， 因为AO＝4，∠ABO＝30°， 所以AB＝2OA＝8， 因为点C是AB的中点， 所以AC＝ AB＝4， 所以AN＝ AC＝2， 所以OP＝ON＝OA－AN＝2. 10．[2024·潍坊期中]【尝试探究】 (1)已知，在等边三角形ABC中，点E在AC上，点D在BC的延长线上，且EB＝ED. ①如图1，当点E为AC的中点时，判断线段AE与CD的大小关系，并说明理由； ②如图2，当点E为AC边上任意一点时，判断线段AE与CD的大小关系，并说明理由；(提示：过点E作EF∥BC，交AB于点F) 【拓展迁移】 (2)在等边三角形ABC中，点E在边CA的延长上，点D在线段BC上，且EB＝ED，若△ABC的边长为6，AE＝2，请你在图3中补全图形，并直接写出BD的长． 解：(1)①AE＝CD，理由如下： 因为△ABC是等边三角形， 所以∠ABC＝∠ACB＝60°， 因为E是AC的中点， 所以∠CBE＝30°，AE＝CE， 因为EB＝ED， 所以∠D＝∠EBD＝30°， 所以∠CED＝∠ACB－∠D＝30°＝∠D， 所以CE＝CD，所以AE＝CD； ②AE＝CD，理由如下： 如图2，过点E作EF∥BC，交AB于点F， 所以∠AFE＝∠ABC＝60°，∠AEF＝∠ACB＝60°， 所以△AEF是等边三角形， 所以AE＝EF. 因为EF∥BC， 所以∠FEB＝∠EBD. 因为EB＝ED， 所以∠D＝∠EBD， 所以∠FEB＝∠D. 因为∠AFE＝∠ACB＝60°， 所以∠BFE＝∠ECD＝120°. 所以△BFE≌△ECD(AAS)， 所以EF＝CD， 所以AE＝CD； (2)如图3，即为补全的图形， 过点A作AM⊥BC于点M，过E作EN⊥BC于点N，交AB于点F， 因为△ABC是等边三角形， 所以AB＝BC＝AC＝6， ∠C＝60°. 因为EN∥AM， 所以∠FEA＝∠MAC＝30°，∠BFN＝∠BAM＝30°， 又因为∠BFN＝∠AFE， 所以∠AFE＝∠FEA， 所以AE＝AF＝2， 所以BF＝AB－AF＝4， 所以BN＝ BF＝2， 又因为BE＝DE，EN⊥BD， 所以BD＝2BN＝4， 所以BD的长为4. eq \f(4,3)或eq \f(8,3) 证明：(1)略； (2)因为∠CAB＝30°， 所以∠BAC＝∠ACD＝∠ACB＝30°， 因为AM⊥CD于点M， 所以∠MAC＋∠MCA＝90°，AM＝eq \f(1,2)AC， 所以∠MAC＝60°， 因为AB＝BC，BN⊥AC， 所以AN＝eq \f(1,2)AC， 所以AN＝AM， 所以△AMN是等边三角形． eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) $$第2课时　等腰三角形(2) 1．[2024·菏泽期中]如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点F，E，则图中的等腰三角形共有( ) A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 2.[分类讨论]如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，点P为射线OC上一点，如果射线OA上存在一点D，令△OPD是等腰三角形，那么∠ODP的度数为( ) A．30° B．120° C．30°或120° D．30°或75°或120° 3．(多选)如图是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次)，能够得到两个等腰三角形纸片的是( ) 4．(多选)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，AD⊥AB交BE延长线于点D，CF平分∠ACB交BD于点F，连接CD.下列结论一定成立的是( ) A．AD∥CF B．AD＝CF C．DC＝DF D．CE＝CF 5．[2024·淄博期末]如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC. 已知AB＝9，AD＝4，则△ADE的周长为___． 13 6．[2025·四平期末]如图，CD为△ABC的角平分线，过点A作AE ∥DC交BC的延长线于点E.若∠ACE＝60°，则△ACE是_____三角 形． 等边 7.[手拉手模型·分类讨论·数学思想][2024·济宁期中]如图， 已知△ABC是等边三角形，点D是△ABC内部一点，△CDE是等边 三角形，连接BD，AD，AE.若△ADE是等腰直角三角形，则∠BDC 的度数为_____________． 105°或150° 8．[2024·丹东期中]如图，在△ABC中，∠1＝∠2，CD⊥AD于 点D，∠B＝∠DCB，则AB－AC与CD的关系为____________． AB－AC＝2CD 9.[一线三垂直模型][2024·泰安期末]如图，已知∠ABC＝90°， D是直线AB上的点，AD＝BC.过点 A作AF⊥AB，并截取AF＝BD， 连接DC，DF，CF. (1)判断△CDF 的形状并证明； (2)若BC＝6，AF＝2，求AB的长． 解：(1)△CDF为等腰直角三角形．理由略；(2)4. 10．[2025·新乡期末]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，AB＝2.将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使DE始终与AB垂直． (1)求证：△BDF是等边三角形； (2)求AD－CF的值． 解：(1)证明：因为ED⊥AB，∠EDF＝30°， 所以∠FDB＝90°－30°＝60°， 因为∠A＝30°，∠ACB＝90°， 所以∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°. 所以△BDF是等边三角形； (2)因为△BDF是等边三角形， 所以BD＝BF＝1－CF， 所以AD＝AB－BD＝2－(1－CF)＝1＋CF， 所以AD－CF＝1. 11．(1)如图1，已知在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分 ∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于E，F两点，则图中共有 个 等腰三角形；EF与BE，CF之间的数量关系是 ，△AEF的周长是 ； (2)如图2，若将(1)中“在△ABC中，AB＝AC”改为“AB≠AC”，其余条件不变，则EF与BE，CF之间有什么数量关系？证明你的结论； (3)如图3，D在△ABC外，AB>AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC分别交AB，AC于E，F两点，则EF与BE，CF之间的数量关系为 ． 解：(1)5，BE＋CF＝EF，20； (2)BE＋CF＝EF，理由： 因为BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， 所以∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD， 因为EF∥BC， 所以∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD， 所以∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD， 所以BE＝DE，CF＝DF， 所以BE＋CF＝DE＋DF＝EF， 即BE＋CF＝EF； (3)因为BD平分∠ABC，CD平分∠ACG， 所以∠EBD＝∠CBD，∠ACD＝∠DCG， 因为EF∥BC， 所以∠EDB＝∠CBD，∠EDC＝∠DCG， 所以∠EBD＝∠EDB，∠EDC＝∠ACD， 所以BE＝DE，CF＝DF， 又因为ED－DF＝EF， 所以BE－CF＝EF. 故答案为：BE－CF＝EF. $$第3课时　轴对称图形 1．[2024·淮安期中]“二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下面四幅作品分别代表“立春”“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是( ) 2．下列图形中一定是轴对称图形的是( ) A．梯形 B．直角三角形 C．角 D．平行四边形 3．[2024·聊城三模]如图是采用我国非遗纺织印染工艺——蜡染制作的精美图案，该图案的对称轴的条数为( ) A．3 B．6 C．5 D．4 4．(多选)下列说法正确的有( ) A．关于某条直线对称的两个图形一定能完全重合 B．全等的两个三角形一定关于某条直线对称 C．轴对称图形的对称轴至少有一条 D．线段是轴对称图形 5．(多选)如图，四边形ABCD是关于直线l对称的，下列结论：①AB∥CD　②AC⊥BD　③AO＝CO　④AB⊥BC.其中不正确的结论有( ) A．① B．② C．③ D．④ 6．[2024·济宁期中]如图，在3×3的正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，若将剩余的白色小正方形再涂黑一个，使得到的图形是轴对称图形，满足条件的涂法有( ) A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 7．[2024·菏泽期末]在等腰直角三角形、等边三角形、半圆、 正方形这四种常见的轴对称图形中，对称轴最多的是_______． 8．如图，四边形ABCD是轴对称图形，BD所在的直线是它的对称 轴，AB＝3 cm，CD＝2 cm.则四边形ABCD的周长为___cm. 正方形 10 9．[2024·定西期末]图中有阴影的三角形与三角形_____(填数 字)成轴对称；整个图形___(填“是”或“否”)轴对称图形；它 共有__条对称轴． 1，3 是 2 10．[2024·甘肃]围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两 位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子 于点_______的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．(填写A， B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上) A(或C) 11．[2024·淄博期中]如图，点A，B，C都在格点上，请再找一 个格点D，使点A，B，C，D组成一个轴对称图形，这样的格点D有 __个． 4 12．[2024·淄博期中]画出下列三个轴对称图形的所有对称轴． 解：如图所示，即为所求作． 13．把如图所示的图形补成以直线l为对称轴的轴对称图形． 解：如图所示： 14．[2025·镇江期中]如图，是相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形已涂色，请你在图中再涂两个小正方形，并满足：①4个涂色的小正方形中，每个小正方形至少与其余3个小正方形中的1个有公共点；②连同空白小正方形一起构成轴对称图形，即阴影部分呈轴对称，空白部分也呈轴对称，且共用一条对称轴． (1)在正方形网格中画出你的3种涂法； (2)共有 种涂法．(8个图不一定全用到) 解：(1)画图如图：(任选3种) (2)7. 15．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形，有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题： (1)非等边的等腰三角形有 条对称轴，非正方形的长方形有 条对称轴，等边三角形有 条对称轴； (2)观察下列一组凸多边形(实线画出)，它们的共同点是只有1条对称轴，其中图2和图3都可以看作由图1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图4和图5中，分别修改图2和图3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形； (3)小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图6中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形； (4)请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴． 解：(1)1，2，3； (2)恰好有1条对称轴的凸五边形，如图4、图5所示； 图4 图5 (3)恰好有2条对称轴的凸六边形，如图6所示； (4)恰好有3条对称轴的凸六边形，如图7所示；(答案不唯一) $$第2课时　轴对称的基本性质 1．[2025·邯郸期中]将△ABC按如图所示折叠，使点C的对应点C′与点B重合，折痕为DE，则DE( ) A．是△ABC的一条角平分线 B．是△ABC的一条高线 C．是△ABC的一条中线 D．垂直平分边BC 2.[跨学科][威海中考]图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK.图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是( ) A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 3．[2025·常州期中]如图1，已知四边形纸片ABCD.按图2、图3的折纸方法依次折叠后再展开，得到两条折痕，如图4，第二条折痕与边CD交于点E，连接AE，BE.若∠ABC＝80°，BE平分∠ABC，则∠AEB的度数是( ) A．40° B．45° C．50° D．60° 4．[2024·菏泽期末]如图，△ABC和△AB′C′关于直线l对称，下列结论：①△ABC≌△AB′C′　②∠BAC′＝∠B′AC ③连接CC′，l垂直平分CC′　④直线BC和B′C′的交点不一定在l上．其中正确的有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．[2024·菏泽期中]如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠1＝115°，则图中∠2的度数为( ) A．40° B．45° C．50° D．60° 7．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，连接AA′，BB′， CC′，其中AA′与直线l交于点O，点D为直线l上一点，且不与 点O重合，连接AD，A′D.下列说法错误的是( ) A．∠ACB＝∠A′C′B′ B．线段AA′，BB′，CC′被直线l垂直平分 C．△ADA′为等腰三角形 D．线段AC，A′C′所在直线的交点不一定 在直线l上 8．[2025·连云港期中]如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分 别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上， 点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝8，PN＝10，MN ＝13，则线段QR的长为___． 15 9．如图的4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的 格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴 对称的格点三角形一共有___个． 13 10．[2024·北京期中]台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方向．如图1，目标球从A点出发经B点到C点，相当于从A′点出发直接击打目标球C，其实质上是图形的轴对称变换，关键是找母球关于桌边的对称点的位置． 如图2在8×4的正方形网格中，小球起始时位于点M处，沿所示的 方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于点N 处，仍按原来方向击球，那么在点A，B，C，D，E，F，G，H中， 小球会击中的点是_________． 点B和点F 11．如图，已知△ABC与直线a，作出△ABC关于a的对称三角形△A′B′C′.(不写作法，保留作图痕迹) 解：如图，△A′B′C′即为所求作． 12．如图，△ABC是由△DEF经过轴对称变换 得到的，直线l是对称轴． (1)△ABC与△DEF全等吗？ (2)分别找出点B，C关于直线l的对称点，如果点M在△ABC内，那么点M关于直线l的对称点一定在△DEF内吗？ (3)连接AD，线段AD与直线l有什么关系？ 解：(1)△ABC与△DEF全等； (2)点B，C关于直线l的对称点分别是点E，F；点M关于直线l的对称点一定在△DEF内； (3)线段AD被直线l垂直平分． 13．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′ 和△A″B″C″关于直线EF对称． (1)直线MN与EF相交于点O，且直线MN，EF所夹锐角α＝60°， 求∠BOB″的度数； (2)在(1)的条件下，小颖得出∠CC′C″＝ ∠BOB″，请你运用所学知识判断小颖的结 论是否正确，并说明理由． 解：(1)如图1，连接OB，OB′，OB″， 由题意，得∠MOE＝α， 因为α＝∠MOB′＋∠B′OE，∠BOB″＝∠BOM＋∠MOB′＋∠B′OE＋∠EOB″. 由对称，得∠BOM＝∠MOB′， ∠B′OE＝∠EOB″， 所以∠BOB″＝2∠MOB′＋2∠B′OE， 所以∠BOB″＝2α＝120°； (2)正确，理由： 如图2，连接CC′，C′C″，OC′，CC′与MN相交于点G，C′C″与EF相交于点H， 设∠MOC′＝β， 由(1)，得∠MOE＝α＝60°， 因为EF⊥C′C″， 所以∠OHC′＝90°，则∠C′OH＝∠MOE－∠MOC′＝α－β， 所以∠OC′H＝90°－∠C′OH＝90°－α＋β， 因为MN⊥CC′， 所以∠OGC′＝90°， 所以∠OC′G＝90°－β， 所以∠CC′C″＝∠OC′G＋∠OC′C″＝(90°－β)＋(90°－α＋β) ＝180°－α， 因为α＝60°， 所以∠CC′C″＝120°， 所以∠CC′C″＝∠BOB″， 故小颖的结论正确. 5．[2025·苏州期中]如图，在直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝3，CD＝4，AC＝5，动点M在线段AC上运动(不与端点重合)，点M关于边AD，DC的对称点分别为E，F，连接EF，点D在EF上，则在点M的运动过程中，线段EF长度的最小值是( ) A.eq \f(24,5) B．eq \f(12,5) C．10 D．eq \f(36,5) $$4．3　角的平分线 1．如图所示，△ABC是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( ) A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三边的垂直平分线的交点 2．如图，在△ABC中，∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P，若点P到直线AC的距离为4，则点P到直线AB的距离为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 3．[2024·德州期中]如图，一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”这样说的依据是( ) A．全等三角形的对应角相等 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形的角平分线相交于一点 D．角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 4．[2024·德州期中]如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是( ) A．I到A，B，C三点的距离相等 B．I是△ABC三条角平分线的交点 C．CI平分∠ACB D．I到AB，BC边的距离相等 5．[2024·潍坊期中]在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，以A 为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别D， E为圆心，大于 DE的长为半径画弧，两弧交于点M.作射线AM交 BC于点F，S△ABF＝15.则线段CF的长为( ) A．5 B．4 C．3 D．1.5 6．[2024·烟台期中]如图，已知△ABC的周长是30，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积为( ) A．30 B．35 C．40 D．45 7．(多选)如图，在∠AOB中，尺规作图如下：在射线OA，OB上， 分别截取OD，OE，使OD＝OE；分别以点D和点E为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧相交于点C；作射线OC，连接CE，CD.下 列结论一定成立的是( ) A．OE＝EC B．CE＝CD C．∠OEC＝∠ODC D．∠ECO＝∠DCO 8．[2024·临沂期中]如图，BD平分∠ABC交AC于点D，E为AB的 中点，已知AB＝4，BC＝3，S△BDE＝2，则S△ABC＝__． 7 9．[2024·菏泽期中]如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为 圆心，任意长为半径作弧，分别交边AC，AB于点M，N，分别以 点M，N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧交于点P，射 线AP交BC于点D，若CD＝2，S△ABD＝5，则AB＝__． 5 10．[2024·青岛期中]如图所示，在长方形ABCD中进行尺规作 图，依据尺规作图的痕迹，则∠α的余角等于_____． 34° 11．△ABC中，BP平分∠ABC，PC平分∠ACB.连接AP，AB＝6， BC＝8，AC＝5，则S△PAB∶S△PBC∶S△PAC＝________． 6∶8∶5 12.[一线三垂直][2024·东莞期中]如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E在BC边上，DE平分∠ADC，∠AED＝90°. 求证：(1)AE是∠DAB的平分线； (2)BE＝CE. 所以△CDE≌△FDE(AAS)， 所以∠CED＝∠FED， 因为∠AED＝90°， 所以∠CED＋∠AEB＝90°，∠FED＋∠AEF＝90°， 所以∠AEB＝∠AEF， 因为∠EFA＝∠B＝90°， 所以∠FAE＝∠BAE， 所以AE是∠DAB的平分线； (2)由(1)知△CDE≌△FDE， 所以CE＝EF， 因为AE是∠DAB的平分线，EF⊥AD，EB⊥AB， 所以EB＝EF， 所以CE＝EB. 13.[分类讨论][2025·邯郸期中]【问题提出】工人师傅常用角 尺平分一个任意角．做法：如图1，∠AOB是一个任意角，在边 OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分 别与点M，N重合，即PM＝PN.过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的 平分线，已知角尺的夹角∠MPN＝90°. 【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理； 【变式判断】张明同学认为当∠AOB＝90°时，工人师傅就不需要先在边OA，OB上分别取OM＝ON，直接移动角尺，使角尺的两边分别与OA，OB相交于点M，N，且满足PM＝PN，如图2所示，便可以得到OP平分∠AOB，你觉得张明的观点对吗？并说明理由； 【拓展探究】如图3，∠AOB＝90°，OQ平分∠AOB，P是射线OQ上的一点，点C在射线OA上运动，过点P作PD⊥PC，与直线OB交于点D，过点P作PE⊥OB于点E.若OE＝3，OD＝1，请直接写出OC的长． 【变式判断】 张明的观点正确，理由如下， 过点P作PD⊥OA于点D，作PE⊥OB于点E，如图1， 所以∠AOB＝∠PDO＝∠PEO＝90°， 所以∠DPE＝90°， 因为∠MPN＝90°， 所以∠DPM＝∠EPN＝90°－∠MPE， 因为PD⊥OA，PE⊥OB， 所以∠PDM＝∠PEN＝90°， 因为PM＝PN， 所以△PDM≌△PEN(AAS)， 所以PD＝PE， 因为PD⊥OA，PE⊥OB， 所以OP平分∠AOB， 所以张明的观点正确； 【拓展探究】 当点D在点O右侧时，过点P作PF⊥OA于点F，如图2， 因为PE⊥OB，OQ平分∠AOB， 所以PF＝PE，∠PFC＝∠PED＝∠PFO＝90°， 同上可得， ∠CPD＝∠FPE＝90°， 所以∠FPC＝∠EPD＝90°－∠FPD， 所以△FPC≌△EPD(ASA)， 所以CF＝DE＝OE－OD＝2， 因为∠PFO＝∠PEO＝90°，PF＝PE，PO＝PO， 所以Rt△PFO≌Rt△PEO(HL)， 所以OF＝OE＝3， 所以OC＝OF＋FC＝5； 当点D在点O左侧时，过点P作PF⊥OA于点F，如图3， 同理可得△FPC≌△EPD(ASA)， 所以CF＝DE＝OE＋OD＝4， 同上可得OF＝OE＝3， 所以OC＝OF＋FC＝7， 综上所述，OC长为5或7. 14.[规律探究题·双角平分线模型][2024·潍坊期末]乐于学习的小亮同学借助某数学软件做了以下探究．如图1，已知∠ABC与∠ACB的角平分线BP与CD相交于点D，并且CP平分△ABC的外角∠ACQ.设∠A＝x°，∠BDC＝y°，∠P＝z°.若不断变化∠A的度数，y与z的数值大小也发生变化，得到下面几组对应值： (1)直接写出上表中α＝ ；β＝ ； (2)写出数值y与x的函数关系 ；写出数值z与x的函数关系 ；并对其中的一种函数关系解释理由； ∠A＝x° 50 60 70 80 90 ∠BDC＝y° 115 120 α 130 135 ∠BPC＝z° 25 30 β 40 45 (3)如图2，用剪刀剪下∠A，剪痕交AB，AC分别于F，E两点，得 到四边形BCEF，若∠E＋∠F＝238°，求∠BDC的度数； (4)如图3，在图1的情况下再作∠PBC与外角∠PCQ的角平分线相 交于点P1，继续作∠P1BC与外角∠P1CQ的角平分线相交于点P2…… 以此类推，作∠P2 023BC与外角∠P2 023CQ的角平分线相交于点P2 024. 直接写出∠P2 024度数的大小(用x的关系式表示)． 15.[半角模型]已知∠MON＝60°，点A是∠MON角平分线上一点，AB⊥OM于点B，AC⊥ON于点C，∠PAQ＝60°. (1)如图1，AP交OM于点D，AQ交ON于点E，连接DE，求证：BD＋CE＝DE； (2)如图2，当∠PAQ绕点A旋转一定的角度，AP交OM的反向延长线于点D，AQ交ON于点E时，连接DE，线段BD，CE，DE有怎样的数量关系？写出你的结论，不需证明． 所以∠BAD＝∠CAF， AD＝AF， 在四边形ABOC中，∠MON＝60°， ∠ABO＝∠ACO＝90°， 所以∠BAC＝360°－60°－90°－90°＝120°， 因为∠PAQ＝60°， 所以∠BAD＋∠EAC＝60°， 所以∠FAE＝∠EAC＋∠CAF＝60°＝∠PAQ， 因为∠MON＝60°，∠ABO＝∠ACO＝90°， 所以∠BAC＝120°， 因为∠PAQ＝60°， 所以∠PAC＋∠CAE＝∠PAC＋∠BAG＝∠PAQ＝60°， 所以∠PAG＝∠BAC－(∠PAC＋∠BAG)＝120°－60°＝60°＝∠PAQ， eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) 证明：(1)过点E作EF⊥DA于点F，则∠B＝∠C＝∠DFE＝∠EFA＝90°， 因为DE平分∠ADC， 所以∠CDE＝∠FDE， 在△CDE和△FDE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠C＝∠DFE，,∠CDE＝∠FDE，,ED＝ED，)) 解：【初步思考】 在△OPM和△OPN中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OM＝ON，,OP＝OP，,PM＝PN，)) 所以△OPM≌△OPN(SSS)， 所以∠POM＝∠PON， 即OP平分∠AOB； 解：(1)125，35； (2)因为∠A＝x°，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°， 所以∠ABC＋∠ACB＝180°－x°， 因为BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB， 所以∠CBD＝eq \f(1,2)∠ABC，∠BCD＝eq \f(1,2)∠ACB， 所以∠CBD＋∠BCD＝eq \f(1,2)(∠ABC＋∠ACB)＝90°－eq \f(1,2)x°， 所以∠BDC＝y°＝180°－(∠CBD＋∠BCD)＝90°＋eq \f(1,2)x°，即y＝eq \f(1,2)x＋90； 因为∠ACQ是△ABC的外角， 所以∠ACQ＝∠A＋∠ABC＝x°＋∠ABC， 因为∠PCQ是△BCP的外角， 所以∠PCQ＝∠PBC＋∠P＝eq \f(1,2)∠ABC＋z°， 因为CP平分∠ACQ， 所以∠ACQ＝2∠PCQ， 所以x°＋∠ABC＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)∠ABC＋z°))， 所以z°＝eq \f(1,2)x°，即z＝eq \f(1,2)x； 故答案为：y＝eq \f(1,2)x＋90，z＝eq \f(1,2)x； (3)因为四边形BCEF的内角和为360°，且∠E＋∠F＝238°， 所以∠FBC＋∠ECB＝360°－238°＝122°， 因为BD，CD分别平分∠FBC，∠ECB， 所以∠CBD＝eq \f(1,2)∠FBC，∠BCD＝eq \f(1,2)∠ECB， 所以∠CBD＋∠BCD＝eq \f(1,2)(∠FBC＋∠ECB)＝61°， 所以∠BDC＝180°－(∠CBD＋∠BCD)＝180°－61°＝119°； (4)由(2)可知，∠P＝eq \f(1,2)∠A， ∠P1＝eq \f(1,2)∠P＝eq \f(1,22)∠A， ∠P2＝eq \f(1,2)∠P1＝eq \f(1,22)∠P＝eq \f(1,23)∠A， …， 则∠Pn＝eq \f(1,2n＋1)∠A， 因为∠A＝x°，所以∠P2 024＝eq \f(1,22 025)∠A＝eq \f(x°,22 025). 解：(1)证明：因为点A是∠MON角平分线上一点，AB⊥OM，AC⊥ON， 所以AB＝AC， 如图1，在CN上截取CF＝BD，连接AF， 在△ABD和△ACF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠ABD＝∠ACF＝90°，,BD＝CF，)) 所以△ABD≌△ACF(SAS)， 在△ADE和△AFE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AF，,∠PAE＝∠FAE，,AE＝AE，)) 所以△ADE≌△AFE(SAS)， 所以DE＝FE， 因为DE＝FE＝EC＋CF＝EC＋BD， 所以BD＋CE＝DE； (2)DE＝BD－CE.如图2，在线段BO上取BG＝CE， 因为点A是∠MON的平分线上一点，AB⊥OM，AC⊥ON，所以AB＝AC， 在Rt△ABG和Rt△ACE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠ABG＝∠ACE，,BG＝CE，)) 所以Rt△ABG≌Rt△ACE(SAS)， 所以AG＝AE，∠BAG＝∠CAE， 在△DAG和△DAE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AG＝AE，,∠GAD＝∠EAD，,AD＝AD，)) 所以△DAG≌△DAE(SAS)， 所以DG＝DE， 因为DG＝BD－BG，BG＝CE， 所以DE＝BD－CE. $$第4章 图形的轴对称 4.1　图形的轴对称 第1课时　轴对称 1．下列各组图形中，成轴对称的两个图形是( ) 2．[2024·宁波期中]如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠B＝35°，∠C′＝50°，则∠A＝( ) A．90° B．85° C．95° D．105° 3．[2024·沧州期中]如图，△ABC与△DEF关于直线l成轴对称，下列结论正确的是( ) A．AC＝DE B．∠B＝∠F C．AB＝DE D．AD＝3AP 4．[2024·德州期中]如图，桌面上有M，N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是( ) A．点A B．点B C．点C D．点D 5．[2024·驻马店期末]如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，∠1＝∠2＝50°，则∠3的度数为( ) A．80° B．90° C．100° D．120° 6．(多选)图中序号①②③④对应的四个三角形，都是由△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中不是通过轴对称得到的是( ) A．① B．② C．③ D．④ 7．[2025·南京期中]如图，线段AB与A′B′关于直线l对称， 连接AB′，A′B.下列结论：①AB′与A′B的交点在直线l上 ②AB′＝A′B　③AB′与A′B互相平分．其中所有正确结论 的序号是_____． ①② 8．[2024·聊城期中]数学在我们的生活中无处不在，就连小小 的台球桌上都有数学问题，如图所示，∠1＝∠2，若∠3＝35°， 为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时， 必须保证∠1为_____． 55° 9．[2024·济宁期中]如图，△AOC和△AOB关于直线AO对称， △DOB和△AOB关于直线BO对称，OC与BD相交于点E，若∠C＝ 15°，∠D＝25°，则∠BEC的度数为_____． 95° 10．[2024·吉林期中]如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称， BC与DE的交点F在直线MN上． (1)图中点D的对应点是点 ，AE的对应边是 ； (2)若∠DAE＝108°，∠EAF＝39°，求∠DAC的度数． 解：(1)B，AC；(2)∠DAC＝ 30°. 11．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落到点C′处，折痕为EF. (1)若∠EFC′＝115°，求∠ABE的度数； (2)求证：AE＝C′F. 解：(1)因为∠EFC′＝115°， 所以由折叠，得∠EFC＝∠EFC′＝115°，∠DEF＝∠BEF， 所以∠EFB＝180°－∠EFC＝65°. 因为四边形ABCD是长方形， 所以AD∥BC， 所以∠DEF＝∠BEF＝∠BFE＝65°， 所以∠AEB＝180°－∠BEF－∠DEF＝180°－65°－65°＝50°. 因为四边形ABCD是长方形， 所以∠A＝90°， 所以∠ABE＝90°－∠AEB＝40°； (2)证明：易证△ABE ≌△C′BF(ASA)， 所以AE＝C′F. 12．在△ABC中，点M，N分别在AC，BC上，连接MN，将△MNC沿MN折叠得到△MNC′. (1)如图1，当点C落在边BC上，且∠A＝50°，∠B＝65°，∠CMC′的度数为 ； (2)如图2，当点C落在△ABC的内部时． ①若∠C＝63°，则∠C′MN＋∠C′NM的度数为 ； ②求证：∠1＋∠2＝2∠C. 解：(1)50°；(2)①117°；②证明略. $$第2课时　线段的垂直平分线的判定 1．[2024·潍坊期末]如图，点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD＋AD，则点D在哪个线段的垂直平分线上( ) A．AB B．AC C．BC D．不能确定 2．[2024·河北]观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的( ) A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 3．[2024·菏泽期中]如图，在△ABC中，分别以顶点B，C为圆 心，以大于 BC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，作直 线MN，分别交AC，BC于点D，E，连接BD，AC＝8 cm，BD＝5 cm， 则AD的长为( ) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 4．[2024·德州期中]如图，在△ABC中，作边AB的垂直平分线，交边BC于点D，连接AD.若BC＝12，AB＝10，△ADC的周长为20，则△ABC的周长为( ) A．22 B．32 C．30 D．35 5．[2024·烟台期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，分别以点A，B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM＋MD长度的最小值为( ) A．4 B．5 C．6 D．7 6．[2024·青岛期中]如图所示，在正方形网格中，△ABC的顶点 在格点上，在△ABC内部有E，F，G，H四个格点，到△ABC三个顶 点距离相等的点是__． F 7．[2024·泰安期中]如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆 心，大于 AB的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直 线MN交CB于点D，连接AD.若AC＝8，BC＝15，则△ACD的周长 为___． 23 8．[2024·青岛二模]已知：△ABC. 求作：点D，使得点D到点B和点C的距离相等，且到点A的距离 最小．(不写作法，保留作图痕迹) 解：如图，作线段BC的垂直平分线MN，过点A作AT⊥MN于点D， 点D即为所求， 9．[2024·菏泽期中]如图，已知BC＝DC，AB＝AD，E为线段AC 上一点，试说明：EB＝ED. 解：略． 10．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E，MD，NE的延长线交于点O. (1)试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由； (2)若∠BAC＝110°，求∠BOC的度数． 解：(1)点O在BC的垂直平分线上，理由如下： 如图所示，连接AO，BO，CO， 因为DM，EN分别是AB，AC的垂直平分线， 所以OA＝OB，OA＝OC， 所以OB＝OC， 所以点O在BC的垂直平分线上； (2)因为DM，EN分别是AB，AC的垂直平分线， 所以OA＝OB，OA＝OC， 所以∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA. 所以∠AOB＝180°－2∠OAB，∠AOC＝180°－2∠OAC. 所以∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝180°－2∠OAB＋180°－2∠OAC＝360°－2(∠OAB＋∠OAC)＝360°－2∠BAC＝140°. 11．[2024·威海期中]如图，已知△ABC，P为边BC上一点， (1)请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E，使EC＋EP＝AC；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，已知AP＝6，△APC周长为24，求△PCE的周长． 解：(1)作AP的垂直平分线，交AC于点E，则点E即为所求作； (2)因为AP＝6，△APC周长为24， 所以AC＋CP＝24－6＝18， 因为EC＋EP＝AC， 所以△PCE的周长＝PC＋CE＋PE＝PC＋AC＝18. 12．[2024·德州期中]已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为点E，BF∥AC交CE的延长线于点F. (1)求证：AC＝2BF； (2)连接DF，求证：AB垂直平分DF. 所以△ACD≌△CBF(AAS)， 所以CD＝BF， 因为点D是BC的中点， 所以AC＝BC＝2CD， 所以AC＝2BF； (2)连接DF交AB于G点， 因为点D是BC的中点， 所以AC＝2BD， 因为AC＝2BF， 所以BD＝BF. 因为AC＝BC，∠ACB＝90°， 所以∠ABC＝45°. 因为△ACD≌△CBF， 所以∠CBF＝∠ACD＝90°， 所以∠ABF＝45°. 因为BD＝BF， 所以∠BFD＝∠BDF＝ (180°－90°)＝45°， 所以∠BGF＝180°－45°－45°＝90°. 所以AB⊥DF，因为BD＝BF， 所以AB垂直平分DF. 13.[中华传统文化][2025·厦门期末]风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2 000多年的历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”． 风筝骨架模型图 数据说明 AB＝AD CB＝CD ∠BAD＝108° ∠BCD＝36° (1)从图1所示的风筝中可以抽象出几何图形，如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD.求证：AC⊥BD； (2)李明根据图纸(如表)扎制风筝骨架．当他根据图纸要求截取6根竹条时发现：竹条AB，BD的长度之和恰好与竹条BC长度相等．请你用所学的数学知识解释说明． 解：(1)证明：因为AB＝AD， 所以点A在BD的垂直平分线上， 因为CB＝CD， 所以点C在BD的垂直平分线上， 所以AC是BD的垂直平分线， 所以AC⊥BD； (2)在BC上截取BE＝BA，连接AE， 因为AB＝AD，∠BAD＝108°， 所以∠ABD＝∠ADB＝36°. 同理可得∠CBD＝72°， 所以∠ABC＝108°， 因为BE＝BA， 所以∠BAE＝∠BEA＝36°， 因为∠EAC＝∠BEA－∠ECA＝18°， 所以∠ACE＝∠EAC， 过点E作EF⊥AC，易证△AEF≌△CEF(AAS)， 所以AE＝CE＝BD， 所以BC＝BE＋CE＝AB＋BD. eq \f(1,2) eq \f(1,2) 证明：(1)因为BF∥AC，∠ACB＝90°， 所以BC⊥BF， 因为∠DCE＋∠F＝90°，∠DCE＋∠CDA＝90°， 所以∠CDA＝∠F. 在△ACD和△CBF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CDA＝∠F，,∠ACD＝∠CBF＝90°，,AC＝BC，)) eq \f(1,2) 在△ABD和△BEA中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADB＝∠BAE，,∠ABD＝∠BEA，,AB＝BE，)) 所以△ABD≌△BEA(AAS)， 所以BD＝AE， 因为AC⊥BD， 所以∠ACE＝90°－∠CBD＝18°， $$