第6章 一元一次不等式课件 2025-2026学年 青岛版（2024）八年级数学上册

第2课时　不等式的解集 知识点1 不等式的解与解集 1．不等式的解与解集 (1)能使不等式成立的_______的值，叫作这个不等式的解．例 如：x＝2，3，4分别是不等式2x＋3<12的一个解． (2)一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解组成这个不等 式的解集． 未知数 【注意】 不等式的解一定在不等式的解集的范围之内，不等式的解有多个，是一个具体的数值，而解集是一个范围． 2．解不等式 求不等式的解集的过程叫作解不等式． 知识点2 用数轴表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集的步骤： 1．画数轴； 2．定界点：当解集中有“<”或“>”时，画空心圆，当解集中 有“≤”或“≥”时，画实心圆； 3．定方向：大于向右画，小于向左画． 考点1 不等式的解与解集 典例1 下列结论中，正确的是( ) A．x＝2是不等式x＋3<4的解 B．不等式x>－3有无数个负整数解 C．不等式x≤－2的解集中，－2是最大的整数解 D．不等式x<2有2个正整数解 思路导析 根据不等式的解及解集的概念进行逐一判断即可． 变式1 [2024·揭阳期中]请写出一个关于x的不等式，使－2， 3都是它的解：________________． 变式2 在－4，－2，－1，0，1，3中，是不等式x＋5>3的解的 有_____________，是不等式3x<5的解的有___________________ __． x<4(答案不唯一) －1，0，1，3 －4，－2，－1，0， 1 考点2 用数轴表示不等式的解集 典例2 [2025·黔东南一模]不等式x>－1的解集在数轴上表示正确的是( ) 思路导析 本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，大于号，要向数轴右边画，且表示－1的点画空心圆圈，据此可得答案． 变式1 [2025·北京期中]如图，在数轴上表示的x的取值范围是( ) A．－3<x≤1 B．－3<x<1 C．－3≤x<1 D．x<1或x>－3 变式2 x的取值范围在数轴上的表示如图所示，则x的取值范围 为_______． 0≤x<1 $$第6章 一元一次不等式 6.1　不等式 第1课时　不等式及一元一次不等式 知识点1 不等式的概念 1．用“>”“≥”“<”“≤”“≠”连接的式子，叫作不等式． 2．常用的不等号及其对应的实际意义 符号 实际意义 读法 ＜ 小于、低于、少于、不足 小于 ＞ 大于、高于、多于、超过 大于 ≤ 不大于、不高于、至多、不超过 小于或等于 ≥ 不小于、不低于、至少、不少于 大于或等于 ≠ 不相等 不等于 知识点2 一元一次不等式的概念 不等式的两边都是_____，只含有_____未知数，并且未知数的 次数都是__的不等式叫作一元一次不等式． 整式 一个 1 考点1 不等式的概念 典例1 下列式子中，不等式有( ) ①4>－3　②5a≤－1　③3x－2　④|x|≠3 ⑤s＝vt　⑥2x<x－3　⑦2a2－a＝2　⑧x2＋4≥0　 ⑨a2＋b2≠c2. A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 思路导析 根据不等式的定义判断即可． 变式 下列式子：①－2<0　②4x＋2y>0 ③x＝1　④x2－xy　⑤x≠3　⑥x－1<y＋2.其中不等式有( ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 思路导析 根据一元一次不等式的定义逐项判断即可求解． 变式 [2025·重庆期中]若(a－2)x|a－1|＋3>0是关于x的一元一 次不等式，则a的值为__． 0 考点3 列不等式 典例3 下列不等关系中，正确的是( ) A．a不是正数可表示为a<0 B．x不大于4可表示为x<4 C．x与2的和是非负数可表示为x＋2>0 D．m与5的差是负数可表示为m－5<0 思路导析 根据不等量关系的表示方法逐项分析即可． 解析：A．a不是正数可表示为a≤0，故不正确；B.x不大于4可 表示为x≤4，故不正确；C．x与2的和是非负数可表示为x＋2 ≥0，故不正确；D.m与5的差是负数可表示为m－5<0，故正确． 变式 用不等式表示下列数量之间的关系： (1)哥哥存款x元，弟弟存款y元，兄弟二人的存款总数少于 2 000元； (2)长为a＋5，宽为a－3的长方形的面积小于边长为a＋2的正 方形的面积； (3)一列动车有n节车厢，每节车厢有100个座位．在五一期间， 这列动车上有m个人，其中有一些人没有座位． 解：(1)根据题意可知x＋y<2 000； (2)根据题意可知(a＋5)(a－3)<(a＋2)2； (3)根据题意可知100n<m. 考点2 一元一次不等式的概念 典例2 [2025·内江期中]下列各式中，是一元一次不等式的 是( ) A．2x－1<3 B．x－1＝0 C．5－4>0 D．x－eq \f(2,x)>3 解析：A．2x－1<3是一元一次不等式，该选项符合题意；B.x－1＝0不是一元一次不等式，该选项不符题意；C．5－4>0不是一元一次不等式，该选项不符题意；D.x－eq \f(2,x)>3不是一元一次不等式，该选项不符题意． $$第2课时　一元一次不等式的实际应用 知识点 列一元一次不等式解决实际问题的步骤 列一元一次不等式解决实际问题的步骤与列一元一次方程解决 实际问题的步骤类似． 1．审：认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的 _________； 2．设：设出适当的_______； 3．列：根据题中的_________列出不等式； 不等关系 未知数 不等关系 4．解：解不等式，求出其解集； 5．验：检验所求出的不等式的解集是否符合题意； 6．答：写出答案． 考点1 竞赛问题 典例1 [2025·聊城期中]某学校组织开展了环保知识竞赛初赛，共有20道题，答对一题加6分，答错或不答每题倒扣3分，小辉在初赛得分超过80分顺利进入决赛，设他答对x道题，根据题意，可列出关于x的不等式为( ) A．6x－(20－x)>80 B．6x－(20－x)≥80 C．6x－3(20－x)>80 D．6x－3(20－x)≥80 思路导析 利用小辉的得分＝6×答对题目数－3×答错或不答题目数，结合小辉的得分超过80分，可列出关于x的一元一次不等式，此题得解． 变式 [2025·蚌埠期中]甲、乙两队进行篮球对抗赛，现规定每队胜一场得4分，负一场得2分，双方比赛10场且每一场都赛出胜负(没有平场)，甲队至少要胜多少场才能使得分不少于30分？( ) A．4场 B．5场 C．6场 D．7场 考点2 销售利润问题 典例2 [2025·吴忠二模]某商店将进价为80元的某种商品，以 120元的标价出售，商店准备回馈客户进行打折促销，但要保证 利润不低于10元，则至多可打_____折． 七五 思路导析 先设可打x折，根据题意列出不等式，求出解集即可得出答案． 变式 某市自行车专用车道自2021年5月1日投入使用以来，已成为市民骑行健身的打卡地，使自行车销量大增．今年春天，某自行车专营店购进A，B两种品牌的自行车共50辆，A，B两种品牌的自行车进价分别为1 000元/辆和750元/辆．在销售过程中发现，A品牌自行车的利润率为80%，B品牌自行车的利润率为60%.若将所购进的自行车全部销售完毕后其 利润不少于29 500元，那么此次最少购进多少 辆A品牌自行车？(提示：利润率＝利润÷进价 ×100%) 解：设购进A品牌自行车x辆，则购进B品牌自行车(50－x)辆， 根据题意，得1 000×80%x＋750×60%(50－x)≥29 500， 解得x≥20， 所以x的最小值为20， 答：此次最少购进20辆A品牌自行车． 考点3 方案选择问题 典例3 [2025·延安期中]为了提高节日仪式感，三八妇女节期间，甲乙两家花店以同样的价格出售同样的玫瑰花束，并且又各自推出不同促销方案： 甲花店的优惠方案：购花价格累计超过200元后，超出200元的部分按70%付费； 乙花店的优惠方案：购花价格累计超过100元后，超出100元的部分按80%付费； 某公司想在三八妇女节为公司的女性送上玫瑰花束，若该公司准备购买总价为x(x>200)元的玫瑰花束． (1)在甲花店购买的优惠价为y甲＝ 元，在乙花店购买的优惠价为y乙＝ 元；(均用含x的式子表示)； (2)请问该公司到哪家花店购花更优惠？写出解答过程． 思路导析 (1)直接根据优惠方案列代数式即可； (2)根据题意，分三种情况，分别列出式子进行求解即可． 解：(1)(0.7x＋60)，(0.8x＋20)； (2)当y甲<y乙时，0.7x＋60<0.8x＋20，解得x>400，即当x>400时，在甲花店购花更优惠； 当y甲>y乙时，0.7x＋60>0.8x＋20，解得x<400，即当200<x<400时，在乙花店购花更优惠； 当y甲＝y乙时，0.7x＋60＝0.8x＋20，解得x＝400，即当x＝400时，在甲，乙花店购花一样优惠． 变式 [2025·合肥期中]某公司为了节约能源，决定购买节能性能更好的10台新设备．现有A，B两种型号的新设备供选择，其中每台的价格、产量如表： A型 B型 价格(万元/台) 24 20 产量(吨/月) 720 540 (1)经预算：该公司购买节能新设备的总资金不超过220万元，请求出有几种购买方案(每一种新设备至少买1台)； (2)在(1)的条件下，若要求每月产量不低于6 120吨，请你设计一种最省钱的购买方案． 解：(1)设购买A型设备x台，B型设备(10－x)台， 根据题意，得24x＋20(10－x)≤220， 解得x≤5， 因为每一种新设备至少买1台， 所以x＝1，2，3，4，5， 所以有5种购买方案； (2)根据题意，得 720x＋540(10－x)≥6 120， 解得x≥4， 则x为4或5， 当x＝4时，购买资金为24×4＋20×6＝216(万元)， 当x＝5时，购买资金为24×5＋20×5＝220 (万元)， 因为216<220， 所以最省钱的购买方案为购买A型设备4台，B型设备6台． 变式 在长跑比赛中，张华跑在前边，在离终点100 m时他以 4 m/s的速度向终点冲刺，在张华身后10 m的李明想要赶在张 华之前到达终点，则李明的速度要超过____m/s. 4.4 解析：设可打x折，根据题意，得120×eq \f(x,10)－80≥10， 解得x≥7.5， 所以至多可打七五折． 考点4 行程问题 典例4 [2025·太原期中]小华同学早上7：40前要到达学校，出家门时是7：20，已知他家离学校距离为2 600 m，他跑步的速度为180 m/min，走路的速度为80 m/min，小华同学至少跑步多长时间才能保证不迟到？设小华同学跑步时间为x min，则x满足的不等式为( ) A．180x＋80(20－x)<2 600 B．180x＋80(x－20)>2 600 C．eq \f(2 600－80x,180)＋x<20 D.eq \f(2 600－180x,80)＋x<20 思路导析 小明同学跑步时间为x min，则剩余的路程为(2 600－180x)，则走路的时间为eq \f(2 600－180x,80)，根据到校时间应小于20分钟列出不等式即可． $$6.2　不等式的基本性质 知识点 不等式的基本性质 1．不等式的基本性质1： 不等式的两边都_____________同一个整式，不等号的方向_____． 即如果a>b，那么a＋c___b＋c，a－c___b－c. 加上(或减去) 不变 ＞ ＞ 2．不等式的基本性质2： 不等式的两边都乘(或除以)同一个___数，不等号的方向_____． 即如果a>b，c>0，那么ac___bc， __ . 3．不等式的基本性质3： 不等式的两边都乘(或除以)同一个___数，不等号的方向_____． 即如果a>b，c<0，那么ac___bc， __ . 正 不变 ＞ ＞ 负 改变 ＜ ＜ 思路导析 根据不等式的性质逐一判断． 考点2 不等式的基本性质的应用 典例2 如果关于x的不等式(m－2)x>n的解集是x>1，那么m，n满 足的等量关系是________，m的取值范围是____． m＝n＋2 m>2 a<－2 变式3 比较大小，用“>”或“<”填空：若x<y，且(a－b)x> (a－b)y，则a__b. < eq \f(a,c) eq \f(b,c) eq \f(a,c) eq \f(b,c) 考点1 不等式的基本性质 典例1 [2025·通州期中]如果a<b，那么下列不等式正确的是( ) A．－2＋a<－2＋b B．－2a<－2b C．eq \f(a,2)>eq \f(b,2) D．a2>b2 解析：A．由a<b可得－2＋a<－2＋b，原不等式正确，符合题意；B.由a<b可得－2a>－2b，原不等式不正确，不符合题意；C．由a<b可得eq \f(a,2)<eq \f(b,2)，原不等式不正确，不符合题意；D.由a<b不一定得到a2>b2，例如1<2，12<22，原不等式不正确，不符合题意． 变式1 [2025·重庆期中]下列关于不等式的变化中，叙述不正确的是( ) A．若a>b，则a－3>b－3 B．若eq \f(a,2)>0，则a>2 C．若a>b，则－3a<－3b D．若a>b，则a－b>0 变式2 将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式，并说明是如何变形得到的． (1)eq \f(2,3)x>－eq \f(1,3)x－1； (2)－x－2<7； (3)－eq \f(1,2)x>－1； (4)x>eq \f(1,2)x－6. 解：(1)eq \f(2,3)x>－eq \f(1,3)x－1， eq \f(2,3)x＋eq \f(1,3)x>－eq \f(1,3)x＋eq \f(1,3)x－1， x>－1， 不等式的两边同时加上eq \f(1,3)x，不等号方向不变，得到x>－1； (2)－x－2<7， －x－2＋2<7＋2， －x<9， (－1)×(－x)>9×(－1)， x>－9， 不等式的两边同时加上2，不等号方向不变，得到－x<9，不等式的两边同时乘－1，不等号方向改变，得到x>－9； (3)－eq \f(1,2)x>－1，(－2)×(－eq \f(1,2)x)<－1×(－2)，x<2， 不等式的两边同时乘－2，不等号方向改变，得到x<2； (4)x>eq \f(1,2)x－6，x－eq \f(1,2)x>eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)x－6，eq \f(1,2)x>－6，2×eq \f(1,2)x>－6×2， x>－12， 不等式的两边同时减去eq \f(1,2)x，不等号方向不变，得到eq \f(1,2)x>－6，不等式的两边同时乘2，不等号方向不变，得到x>－12. 思路导析 根据题意得出m－2>0，eq \f(n,m－2)＝1，即可求解． 解析：因为不等式(m－2)x>n的解集是x>1， 所以m－2>0，eq \f(n,m－2)＝1， 所以m>2，m＝n＋2. 变式1 [2025·合肥二模]已知实数a，b满足b＝－a＋2，－1<2a－b<1，则下列结论不正确的是( ) A．eq \f(1,3)<a<1 B．1<b<eq \f(5,3) C．b－a<0 D．2b－a<3 变式2 [2024·无锡三模]已知关于x的不等式(a＋2)x<1的解集为x>eq \f(1,a＋2)，则a的取值范围为 ． $$6.4　一元一次不等式组 第1课时　一元一次不等式组的解法 知识点1 一元一次不等式组的概念 1．不等式组 将几个不等式联立起来，便组成了一个不等式组． 2．一元一次不等式组 一般地，由几个含有同一未知数的一元一次不等式所组成的不 等式组，叫作一元一次不等式组． 基本特征：(1)所含未知数相同；(2)每个不等式都是一元一次 不等式；(3)不等式的个数必须不小于2. 知识点2 一元一次不等式组的解集 一般地，一元一次不等式组中各个不等式的解集的_________叫 作这个一元一次不等式组的解集．求不等式组解集的过程叫解 不等式组． 公共部分 【注意】 公共部分是指数轴上被两个不等式的解集区域都覆盖的部分，若无公共部分，则说明这个不等式组无解． 一元一次不等式组的解集的四种示例情况 知识点3 一元一次不等式组的解法 1．分别求出不等式组中各个不等式的解集； 2．在同一数轴上将它们的解集表示出来，利用数轴确定解集的 公共部分； 3．写出不等式组的解集． 思路导析 本题考查的是一元一次不等式组的解法，先解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，再确定公共部分即可． 考点1 一元一次不等式组的概念 典例1 下列不等式组： ①eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞－2，,x＜3))　②eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞0，,x＋2＞4))　③eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＞0，,y－4＜0)) ④eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3＞0，,x＜－7))　⑤eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1＞x，,x3＋2＞4.)) 其中是一元一次不等式组的有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式 下列各式是一元一次不等式组的是( ) A．eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋4＝0，,\f(1,x)－5>0)) B．eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x>0，,\f(2,x)>4)) C．eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>2，,x<－7)) D．eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＋2>0，,x＋y<0)) 考点2 解一元一次不等式组 典例2 [2025·岳阳一模]解不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－6≤0，,x<\f(3x－1,2)，))并在数轴上表示它的解集． 解：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－6≤0①，,x<\f(3x－1,2)②，)) 由①，得2x≤6，解得x≤3； 由②，得2x<3x－1，解得x>1， 在数轴上表示两个不等式的解集为 所以原不等式组的解集为1<x≤3. 变式1 [2025·河南三模]不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<2x－1，,3x≤6))的解集在数轴上表示正确的是( ) 变式2 [2025·咸阳三模]解不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－1>2（x－1），,\f(x＋1,3)≤x－1，))并把解集表示在如图所示的数轴上． 解：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－1>2（x－1）①，,\f(x＋1,3)≤x－1②，)) 解不等式①，得x>－1， 解不等式②，得x≥2， 故原不等式组的解集为x≥2. 解集在数轴上表示如图所示． $$第2课时　一元一次不等式组的应用 知识点1 一元一次不等式组的特殊解及字母参数问题 1．分别求出不等式组中各个不等式的解集； 2．利用_____求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解 集； 3．判断含字母参数的解集在哪两个数值之间； 4．判断两端能不能取等号． 数轴 知识点2 列一元一次不等式组解应用题的步骤 列一元一次不等式组解决实际问题的步骤与列方程组解决实际 问题的步骤类似． 1．审：认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的 _________； 2．设：设出适当的_______； 3．列：根据题中的_________列出不等式组； 不等关系 未知数 不等关系 4．解：解不等式组，求出其解集； 5．验：检验所求出的不等式组的解集是否符合题意； 6．答：写出答案． 思路导析 利用求一元一次不等式组的解集的步骤进行计算得出解集，并在解集里面找出符合题意的解，求和即可． 思路导析 首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组有4个整数解得到关于a的不等式，从而求解即可． 考点3 一元一次不等式组的应用 典例3 有一家人参加登山活动，他们要将矿泉水分装在旅行包 内带上山．若每人带2瓶，则剩余5瓶；若每人带4瓶，则有1个 人带了矿泉水，但不足3瓶．这家人参加登山的人数为__． 4 思路导析 设登山人数为x人，则矿泉水有(2x＋5)瓶，根据题意列出不等式组，解不等式组后确定整数解即可． 变式1 [2025·重庆期中]某中学组织学生参与校园手工制作与义卖实 践活动，同学们负责制作并售卖手工艺品纸艺花和手工编织挂件，已 知纸艺花每个成本15元，每个售价20元，手工编织挂件每个成本8元， 每个售价14元．在第一次义卖活动中，学生共卖出了150件手工艺品， 总收入为2 496元． (1)请求出纸艺花和手工编织挂件各销售了多少个？ (2)学校计划筹备第二次义卖活动，需制作纸艺花和手工编织挂件共80 件，要求总成本不超过885元，且纸艺花的数量不低于手工编织挂件数 量的 .请为第二次义卖活动设计一种利润最大的方案． 因为m是整数，所以m＝34，35. 当m＝34时，80－m＝46，利润是34×(20－15)＋46×(14－8)＝446(元)； 当m＝35时，80－m＝45，利润是35×(20－15)＋45×(14－8)＝445(元)． 因为445<446， 选择方案：制作纸艺花34件，手工编织挂件46件； 答：制作纸艺花34件，手工编织挂件46件，利润最大． 变式2 [内江中考]某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1 000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同． (1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米？ (2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种？请你帮助设计出来． 所以分配方案有3种． 方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米； 方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米； 方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米. 考点1 一元一次不等式组的特殊解 典例1 [2025·淄博二模]解不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－1<8，,\f(x－1,3)≤\f(x,2)，))请把解集在下面的数轴上表示出来，并求所有整数解的和． 解：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－1<8①，,\f(x－1,3)≤\f(x,2)②，)) 解不等式①，得x<3，解不等式②，得x≥－2， 所以，原不等式组的解集为－2≤x<3， 该不等式组的解集在数轴上可表示为 该不等式组所有整数解的和为－2＋(－1)＋0＋1＋2＝0. 变式 解不等式：3<eq \f(2x－1,3)≤5，请把解集在数轴上表示出来，并求所有整数解． 解：原不等式化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2x－1,3)>3①，,\f(2x－1,3)≤5②，)) 解不等式①，得x>5，解不等式②，得x≤8， 所以不等式组的解集为5<x≤8， 在数轴上表示解集如图： 整数解为x＝6，7，8. 考点2 一元一次不等式组中的字母参数问题 典例2 [2025·深圳期中]关于x的不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－2x≥0，,3x>3a－6))恰有4个整数解，则a的取值范围是( ) A．0<a<1 B．0≤a<1 C．0<a≤1 D．0≤a≤1 解析：解不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－2x≥0，,3x>3a－6，))得a－2<x≤2， 因为恰有4个整数解，所以整数解是2，1，0，－1， 所以－2≤a－2<－1所以0≤a<1. 变式1 [2025·驻马店期中]如果不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋8<4x－1，,x>m))的解集是x>3，那么m的取值范围是( ) A．m≤3 B．m≥3 C．m＝3 D．m<3 变式2 [2025·临汾期中]若不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋5≥9，,x＋k>1))无解，则k的取值范围为( ) A．k≤3 B．k<3 C．k≥3 D．k>3 解析：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋5≥9①，,x＋k>1②，)) 由①得x≤－2，由②得x>－k＋1， 因为原不等式组无解，所以－k＋1≥－2， 解得k≤3. 解析：设登山人数为x人，则矿泉水有(2x＋5)瓶， 依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2x＋5）－4（x－1）>0，,（2x＋5）－4（x－1）<3，)) 解得3<x<eq \f(9,2)， 因为人数应为整数，所以x＝4， 即这家人参加登山的人数为4人． eq \f(5,7) 解：(1)设纸艺花销售了x个，手工编织挂件销售了y个， 由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝150，,20x＋14y＝2 496，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝66，,y＝84，)) 答：纸艺花销售了66个，手工编织挂件销售了84个； (2)设制作纸艺花m件，则制作手工编织挂件(80－m)件， 由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(15m＋8（80－m）≤885，,m≥\f(5,7)（80－m），)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≤35，,m≥\f(100,3)，)) 所以eq \f(100,3)≤m≤35. 解：(1)设甲工程队每天能铺设x米，则乙工程队每天能铺设 (x－20)米． 根据题意，得eq \f(350,x)＝eq \f(250,x－20).解得x＝70. 经检验，x＝70是原分式方程的解，且符合题意． x－20＝50. 答：甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米； (2)设分配给甲工程队y米，则分配给乙工程队(1 000－y)米． 由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y,70)≤10，,\f(1 000－y,50)≤10，)) 解得500≤y≤700. $$6.3　一元一次不等式的解法 第1课时　一元一次不等式的解法 知识点 一元一次不等式的解法 1．依据：解一元一次不等式，就是根据_________________，将 不等式逐步化为x<a(x≤a)或x>a(x≥a)的形式． 2．解一元一次不等式的步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移 项；(4)合并同类项；(5)系数化为1. 不等式的基本性质 【注意】 (1)去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项． (2)去括号时，若括号前面有负号，括号里的每一项都要变号． (3)移项时不要忘记变号． (4)在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向 要改变． 考点1 解一元一次不等式 典例1 [2025·台州二模]解不等式3x－5≤x＋1，并把解集在数轴上表示出来． 思路导析 本题考查了解一元一次不等式．先去括号，再移项，然后合并同类项，最后系数化为1即可求解，再用数轴表示解集． 解：3x－5≤x＋1， 移项，得3x－x≤1＋5， 合并同类项，得2x≤6， 系数化为1，得x≤3， 用数轴表示为 解：去分母，得15x－9－42≤6－4x， 移项，得15x＋4x≤6＋9＋42， 合并同类项，得19x≤57， 两边同除以19，得x≤3， 把不等式的解集在数轴上表示出来如图： 思路导析 首先解这个不等式，然后在数轴上表示出解集，最后找出正整数解即可． 解：2(7－x)≥3(x－2)－6， 14－2x≥3x－6－6， －2x－3x≥－6－6－14， －5x≥－26，x≤， 将解集在数轴上表示如图： 所以原不等式的正整数解为x＝1，2，3，4，5. 思路导析 方程组中的两个方程相加得到x＋y＝k－1，然后根据题意得到k－1>3，进而求解即可． 变式 [2024·河池期末]已知m是非负整数，关于x，y的方程 x＋y＝－1与5x＋2y＝6m＋7的公共解满足不等式2x－y<19， 求非负整数m的值． 变式 [2025·榆林三模]解不等式eq \f(5x－3,2)－7≤1－eq \f(2,3)x，并将其解集在数轴上表示出来． 考点2 一元一次不等式的特殊解 典例2 [2025·西安二模]解不等式eq \f(7－x,3)≥eq \f(x－2,2)－1，把解集在数轴上表示出来，并求出它的正整数解． 变式 当x取哪些正整数时，代数式4－eq \f(3x,2)的值不小于代数式 eq \f(5,8)－eq \f(4x－3,6)的值？ 解：因为代数式4－eq \f(3x,2)的值不小于代数式eq \f(5,8)－eq \f(4x－3,6)的值， 所以4－eq \f(3x,2)≥eq \f(5,8)－eq \f(4x－3,6)， 所以96－36x≥15－4(4x－3)， 所以96－36x≥15－16x＋12， 所以－36x＋16x≥15＋12－96， 所以－20x≥－69， 所以x≤eq \f(69,20)， 所以x可以取的正整数有1，2，3. 考点3 不等式与方程的综合应用 典例3 已知关于x，y的二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝3k－1，,x＋2y＝－2，))的解满足x＋y>3.求k的取值范围． 解：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝3k－1①，,x＋2y＝－2②，)) ①＋②得3x＋3y＝3k－3， 所以x＋y＝k－1， 因为关于x，y的二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝3k－1，,x＋2y＝－2，))的解满足x＋y>3， 所以k－1>3， 所以k的取值范围是k>4. 解：依题意可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝－1①，,5x＋2y＝6m＋7②，)) ②－①×3，得2x－y＝6m＋10， 因为2x－y＜19， 所以6m＋10<19，解得m<eq \f(3,2). 又因为m是非负整数， 所以实数m的值为0或1. $$