第4章 图形的轴对称课件 2025-2026学年 青岛版（2024）八年级数学上册

4.3　角的平分线 知识点1 角的对称性 角是___________，角的_________________是它的对称轴． 轴对称图形 平分线所在的直线 【注意】 角的平分线是射线，对称轴是直线． 知识点2 用尺规作角的平分线 步骤：(1)以点O为圆心，适当的长为半径作弧，分别交角的两 边于M，N两点． (2)分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧交于 点C． (3)作射线OC，射线OC即为所求作． 图示： 知识点3 角平分线的性质定理 角平分线上的点到_______的距离相等． 几何语言：因为OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD＝PE. 角两边 【注意】 可根据角平分线的性质来说明两条线段相等． 图示： 知识点4 角平分线的判定 角的_____到角两边_________的点在___________上． 几何语言：因为PD⊥OA，PE⊥OB，且PD＝PE，所以点P在∠AOB 的平分线上． 内部 距离相等 角的平分线 考点1 用尺规作角平分线 典例1 [2024·青岛期末]如图，车站O位于两条公路OA，OB的交汇处，在公路OB上还有一个车站C，现要在两条公路之间修一个中转站P，使它到两条公路的距离相等，且到两个车站的距离也相等．请你在图中作出点P的位置．(不写作法，保留作图痕迹) 思路导析 直接利用角平分线的作法及线段垂直平分线的作法得出答案． 解：如图所示，分别作线段OC的垂直平分线和∠AOB的平分线，二者的交点P即为所求． 变式 [2024·聊城期中]两个城镇A，B与两条公路ME，MF的位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中用尺规作图找出符合条件的点C．(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹) 解：如图所示，分别作AB的垂直平分线和∠FME的平分线，二者的交点C即为所求作． 考点2 角的对称性和角平分线的性质 典例2 [2025·聊城期末]在△ABC中，DE垂直平分AC，连接CE，CE平分∠ACB. (1)若∠CEB＝46°，求∠B的度数； (2)若BC＝4，△ABC的周长比△EBC的周长 多8，△EBC的面积为6，则三角形AEC的面 积为多少？ 思路导析 (1)利用垂直平分线的性质得到∠A＝23°，再由角平分线的定义得到∠ACB＝46°，利用三角形内角和定理即可解答；(2)利用三角形面积公式和角平分线性质定理可求得DE，利用线段垂直平分线性质定理可求得AC，进而可求S△AEC． 解：(1)因为DE垂直平分AC， 所以EA＝EC， 所以∠A＝∠ACE， 因为∠BEC＝46°， 所以∠A＝∠ACE＝46°× ＝23°， 因为CE平分∠ACB， 所以∠ACB＝2∠ACE＝46°， 所以∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－23°－46°＝111°； (2)如图，过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F， 因为EF⊥BC，DE⊥AC，CE为角分平线， 所以EF＝DE， 因为S△EBC＝ ×BC·EF＝ ×4·EF＝6， 所以EF＝DE＝3， 因为C△ABC＝AB＋AC＋BC，C△EBC＝EB＋EC＋BC＝AB＋BC， 且C△ABC－C△EBC＝8， 所以AC＝8， 所以S△AEC＝ AC·ED＝12， 所以△AEC的面积为12. 变式　[2024·泰安期中]如图，已知在△ABC中，∠B＝52°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E. (1)求∠EAD的度数； (2)AB＝6，AC＝4，DE＝2，求S△ABC． 考点3 角平分线的判定 典例3 [2024·聊城期中]如图，在△ABC中，D是BC 的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝ ∠CDF.那么AD平分∠BAC吗？为什么？ 思路导析 先证明△BED≌△CFD(AAS)，从而得到DE＝DF，再利用角平分线的判定定理即可得证． 所以△BED≌△CFD(AAS)， 所以DE＝DF， 又因为DE⊥AB，DF⊥AC， 所以点D在∠BAC的平分线上， 所以AD平分∠BAC． 变式 [2025·上饶期中]如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在边BC，AC上，DE＝DB，∠DEC＝∠B. (1)求证：AD平分∠BAC； (2)写出AE＋AB与AC的数量关系，并说明理由． 所以△DCE≌△DFB(AAS)， 所以DC＝DF， 因为DF⊥AB，DC⊥AC， 所以点D在∠BAC的平分线上， 所以AD平分∠BAC； 所以AC＝AF. 由(1)知△DCE≌△DFB， 所以CE＝FB， 所以AE＋AB＝AE＋FB＋AF＝AE＋CE＋AF＝AC＋AF＝2AC． eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) 解：(1)∠EAD＝eq \f(1,2)∠BAC＝29°； (2)如图，过点D作DF⊥AC于点F， 因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB, 所以DF＝DE＝2， 又因为AB＝6， AC＝4， 所以S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝eq \f(1,2)AB·DE＋eq \f(1,2)AC·DF＝eq \f(1,2)×6×2＋eq \f(1,2)×4×2＝10. 解：AD平分∠BAC，理由： 因为DE⊥AB，DF⊥AC， 所以∠DEB＝∠DFC＝90°， 因为D是BC的中点， 所以BD＝CD， 在△BED和△CFD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BED＝∠CFD，,∠BDE＝∠CDF，,BD＝CD，)) 解：(1)证明：如图，过点D作DF⊥AB于点F， 所以∠DFB＝90°， 因为∠ACB＝90°， 所以∠DFB＝∠DCE. 在△DCE和△DFB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DCE＝∠DFB，,∠DEC＝∠B，,DE＝DB，)) (2)AE＋AB＝2AC，理由如下： 由(1)知，AD平分∠BAC， 所以∠DAC＝∠DAF. 在△ACD和△AFD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACD＝∠AFD＝90°，,∠DAC＝∠DAF，,DC＝DF，)) 所以△ACD≌△AFD(AAS)， $$第3课时　等腰三角形(3) 知识点1 等边三角形的判定 有一个角为_____的_____三角形是等边三角形．这个内角可以 是底角，也可以是顶角． 60° 等腰 知识点2 含30 °角的直角三角形的性质 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．如图， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则BC＝ AB. 考点1 等边三角形的判定2 典例1 [2024·威海期末]如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上一点，CE＝CA． (1)求∠CDE的度数； (2)点F在DE上，若DC＝DF， 写出EF与BD相等的理由． 思路导析 (1)由等腰直角三角形的性质及角的和差可得∠DAB＝∠DBA＝30°，可得AD＝BD，由“SAS”可证△ADC≌△BDC，可得∠ACD＝∠BCD＝45°，由外角的性质可求解；(2)连接CF，易证△CDF为等边三角形，可证明△CFE≌△CDB，即可解题． 所以△ACD≌△BCD(SAS)， 所以∠ACD＝∠BCD＝45°， 所以∠CDE＝∠CAD＋∠ACD＝15°＋45°＝60°； (2)连接CF， 因为∠EDC＝60°，DC＝DF， 所以△DCF为等边三角形， 所以CD＝CF. 因为∠CDB＝∠EDC＋∠EDB＝∠EDC＋∠DAB＋∠DBA＝120°，∠CFE＝∠CDF＋∠DCF＝120°， 所以∠CFE＝∠CDB. 因为CE＝CA， 变式 [2024·东营期中]如图，已知AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，BE⊥AE，垂足为E. (1)求证：AD＝AE； (2)若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由． 考点2 含30 °角的直角三角形 典例2 [2024·济宁期中]如图，在等边△ABC中，点D，点E分别在AB，AC上，BD＝AE，连接BE，CD，交于点P，作EH⊥CD于点H.求证： (1)△CAD≌△BCE； (2)PE＝2PH. 思路导析 (1)根据“SAS”证明△CAD≌△BCE即可；(2)利用直角三角形30°角的性质即可解决． (2)因为△CAD≌△BCE， 所以∠ACD＝∠CBE， 因为∠EPH是△BPC的一个外角， 所以∠EPH＝∠CBP＋∠BCP＝∠ACD＋∠BCP＝∠ACB＝60°. 因为EH⊥CD， 所以∠PEH＝90°－∠EPH＝30°， 所以PE＝2PH. 变式 [2024·泰安期中]如图，等边三角形ABC中，D是AB的中 点，DE⊥AC于点E，EF∥AB，EF交BC于点F，AB＝4 cm，则△EFC 的周长为__ cm. 9 eq \f(1,2) 解：(1)因为△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°， 所以∠BAC＝∠ABC＝45°. 因为∠CAD＝∠CBD＝15°， 所以∠DAB＝∠DBA＝45°－15°＝30°， 所以AD＝BD. 在△ACD与△BCD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝BD，,∠CAD＝∠CBD，,AC＝BC，)) 所以∠CAE＝∠CEA＝15°， 因为∠CAD＝∠CBD＝15°， 所以∠CEA＝∠CBD＝15°. 在△CFE和△CDB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CEF＝∠CBD，,∠CFE＝∠CDB，,CF＝CD，)) 所以△CFE≌△CDB(AAS)； 所以EF＝BD. 解：(1)证明：因为AB＝AC，点D是BC的中点， 所以∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，即∠ADB＝90°. 因为AB平分∠DAE，BE⊥AE， 所以∠BAD＝∠BAE，∠AEB＝90°， 在△ADB与△AEB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADB＝∠AEB，,∠BAD＝∠BAE，,AB＝AB，)) 所以△ADB≌△AEB(AAS)，所以AD＝AE； (2)△ABC是等边三角形，理由： 因为BE∥AC， 所以∠EAC＝180°－∠AEB＝90°， 由(1)，得∠BAD＝∠CAD＝∠BAE＝eq \f(1,3)∠EAC＝30°， 所以∠BAC＝2∠BAD＝60°， 因为AB＝AC， 所以△ABC是等边三角形． 证明：(1)因为△ABC是等边三角形， 所以AB＝BC＝AC，∠A＝∠ACB＝∠ABC＝60°. 因为BD＝AE， 所以AB－BD＝AC－AE，即AD＝CE. 在△CAD和△BCE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝BC，,∠A＝∠ACB，,AD＝CE，)) 所以△CAD≌△BCE(SAS)； $$第3课时　轴对称图形 知识点1 轴对称图形的定义 一个图形的一部分，以某一条直线为_______，经过轴对称能与 图形的_________重合，这样的图形叫作轴对称图形． 图形： 对称轴 另一部分 【注意】 轴对称图形的三个条件：①一个整体图形；②一条直线——对称轴；③直线两旁的部分完全重合． 知识点2 轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系 区别 (1)两个图形关于某条直线成轴对称，是指两个图形的位置关系，涉及两个图形；轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言． (2)成轴对称的两个图形只有一条对称轴；轴对称图形至少有一条对称轴. 联系 (1)都沿对称轴折叠重合． (2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形关于这条直线成轴对称. 考点1 轴对称图形的识别 典例1 [2024·徐州]古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是( ) 思路导析 根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可． 变式1 [中华传统文化][2024·临沂期中]“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，下列图案是轴对称图形的是( ) 变式2 [2025·上饶期中]请在下面的这一组图形符号中找出它 们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处，填上适当的图 形____． 考点2 轴对称图形的设计 典例2 在下列各图的正方形网格中，已有两个正方形涂灰，请再将其中的一个空白正方形涂灰，使涂灰部分是一个轴对称图形．(最少三种不同方法) 思路导析 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 解：如图，共有5种方法： 变式 [2024·威海期中]如图，在4×3的正方形网格中，已有三个小正方形被涂灰，再将其余的小正方形涂灰一个，使四个被涂灰部分构成的图案为轴对称图形．能满足条件的涂法有( ) A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 $$第2课时　线段的垂直平分线的判定 知识点1 线段垂直平分线的判定 到___________________点在这条线段的垂直平分线上． 图示： 几何语言：因为PA＝PB，所以点P在线段AB的垂直平分线上． 线段两端距离相等的 【注意】 可以用来说明线段垂直、相等． 知识点2 用尺规作线段的垂直平分线 步骤1：分别以点A与点B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧， 两弧分别交于C，D两点． 步骤2：过C，D两点作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平 分线． 图示： 知识点3 过一点作已知 直线的垂线 考点1 线段垂直平分线的判定 典例1 [2024·德州期中]三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的( ) A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 思路导析 因为到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以这个公园应建的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点． 变式1 如图，∠AOB内一点P，点P1，P2分别是点P关于OA，OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N，若P1P2＝5，则△PMN的周长是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 变式2 [2024·日照期中]如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E，MD，NE的延长线交于点O. (1)若BC＝12，求△ADE的周长； (2)试判断点O是否在BC的垂直 平分线上，并说明理由． 解：(1)因为AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E， 所以AD＝BD，AE＝CE， △ADE的周长＝AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋CE＝BC＝12； (2)点O在BC的垂直平分线上，理由： 连接AO，BO，CO，如图， 因为DM，EN分别是AB，AC的垂直平分线， 所以OA＝OB， OA＝OC， 所以OB＝OC， 所以点O在BC的垂直平分线上． 考点2 用尺规作线段的垂直平分线 典例2 阅读下面的材料： 已知△ABC中，AC>BC，在AC上确定一点P， 使得AC＝PB＋PC． 下面是小方设计的尺规作图过程： 作法：如图， ①分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点M，点N，作直线MN，直线MN交AC于点P； ②连接PB. 所以点P即为所求． 根据小方设计的尺规作图过程． (1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹) (2)完成下面的证明． 证明：因为MN是线段AB的垂直平分线，直线MN交AC于点P， 所以PA＝ ( )(填推理的依据)． 因为AC＝PA＋PC， 所以AC＝PB＋PC． 所以点P即为所求． 思路导析 (1)根据线段垂直平分线的作法作出图形即可； (2)根据线段垂直平分线的性质可得出答案． 解：(1)如图所示： (2)PB　线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 变式 [2024·嘉兴一模]如图，已知平行四边形ABCD，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列做法正确的是( ) eq \f(1,2) eq \f(1,2) $$第2课时　等腰三角形(2) 知识点1 等腰三角形的判定 1．判定1：有两条边相等的三角形是等腰三角形．(定义) 几何语言：如图，在△ABC中，因为AB＝AC，所以△ABC是等腰 三角形． 2．判定2：有_______相等的三角形是等腰三角形．(简称“等 角对等边”) 几何语言：如图，在△ABC中，因为∠B＝∠C，所以△ABC是等 腰三角形． 两个角 知识点2 等边三角形的判定 三个角都相等的三角形是等边三角形． 考点1 等角对等边 典例1 如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，点Q是OA上一点，且PQ∥OB，若PQ＝2，则线段OQ的长是( ) A．1.8 B．2.5 C．3 D．2 思路导析 利用角平分线的定义以及平行线的性质推出∠QPO＝∠QOP，再根据等角对等边求解即可． 【拓展】 由“角平分线＋平行”两个条件一定能推出“等腰”，即“角平分线、平行、等腰”任意两个作为条件，都可以推出第三个． 变式 [2024·济南期末]如图，在△ABC中，BE，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，ED∥AC，交BC于点D，EF⊥AB于点F.若BC＝35，EF＝5，DE＝13，则△EBD的面积为( ) A．50 B．55 C．60 D．65 考点2 等腰三角形的相关计算 典例2 [2024·滨州期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E.若F是DE上的一点，且BF＝DE，求证：AD＝AF. 思路导析 根据角平分线的定义和平行线的性质得出∠ABD＝∠E，则AB＝AE，根据“SAS”证明△ABD≌△AEF，则可证AD＝AF. 证明：因为BD平分∠ABC， 所以∠ABE＝∠CBE. 因为AE∥BC， 所以∠E＝∠CBE， 所以∠E＝∠ABE， 所以AB＝AE. 因为BF＝DE， 所以BD＋DF＝EF＋DF，即BD＝EF， 变式 [2024·泰安期中]如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，AB＝7，BC＝9，AC＝4. (1)求△AEF的周长； (2)若DO＝2，试求△ABC的面积． 解：(1)在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， 所以∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF. 因为EF∥BC， 所以∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC， 所以∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF， 所以BE＝OE，CF＝OF， 所以EF＝OE＋OF＝BE＋CF， 所以△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AE＋BE＋AF＋CF＝AB＋AC＝11； 考点3 等边三角形的判定1 典例3 [2025·延安期中]如图，在△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，ED的延长线与CB的延长线交于点F，BD＝BF，∠ABC＝∠A，试判断△ABC的形状，并说明理由． 思路导析 由角的互余关系、等腰三角形的性质以及对顶角相等证出∠A＝∠C，再由∠ABC＝∠A，得出∠ABC＝∠A＝∠C，即可得出结论． 解：△ABC是等边三角形．理由如下： 因为DE⊥AC， 所以∠AED＝∠CEF＝90°， ∠A＋∠ADE＝90°，∠C＋∠F＝90°， 因为BD＝BF， 所以∠BDF＝∠F， 因为∠ADE＝∠BDF， 所以∠ADE＝∠F， 所以∠A＝∠C， 又因为∠ABC＝∠A， 所以∠ABC＝∠A＝∠C， 所以△ABC是等边三角形． 变式 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，CD的垂直平分线MF交AC于点F，交BC于点M. (1)求∠BDE的度数； (2)求证：△ADF是等边三角形． 在△ABD和△AEF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝EF，,∠ABE＝∠E，,AB＝AE，)) 所以△ABD≌△AEF(SAS)， 所以AD＝AF. (2)过点O作OM⊥AB于点M，作ON⊥BC于点N，连接OA， 在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， 所以ON＝OD＝OM＝2. 因为AB＝7，BC＝9，AC＝4， 所以S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝eq \f(1,2)AB·OM＋eq \f(1,2)BC·ON＋eq \f(1,2)AC·OD ＝eq \f(1,2)×2×(AB＋BC＋AC)＝eq \f(1,2)×2×(7＋9＋4)＝20. 解：(1)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°， 所以∠B＝∠C＝eq \f(1,2)×(180°－∠BAC)＝30°， 在△BDE中，BD＝BE， 所以∠BDE＝∠BED＝eq \f(1,2)×(180°－∠B)＝75°； (2)证明：因为CD的垂直平分线MF交AC于点F，交BC于点M， 所以DF＝CF，∠FMC＝90°， 所以∠FDC＝∠C＝30°， 所以∠AFD＝∠FDC＋∠C＝60°， 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线， 所以∠BAD＝∠CAD＝eq \f(1,2)∠BAC＝60°， 所以∠CAD＝∠AFD＝60°， 所以△ADF是等边三角形． $$第4章 图形的轴对称 4.1　图形的轴对称 第1课时　轴对称 知识点1 轴对称的定义 把一个平面图形沿某条直线折叠后，得到另一个与它_______图 形，图形的这种变化叫作_______．这条直线叫作_______． 全等的 轴对称 对称轴 【注意】 轴对称图形是一种全等变化． 知识点2 两个图形关于某条直线成轴对称的有关概念 1．一个图形以某条直线为对称轴，经过轴对称后，能够与_____ _______重合，那么称这两个图形关于这条直线_________，重合 的点叫作_______． 2．如果两个点关于一条直线_________，那么其中一个点叫作另 一个点关于这条直线的对称点． 另一 个图形 成轴对称 对应点 成轴对称 【注意】 成轴对称的两个图形是全等形，但全等的两个图形不一定成轴对称．成轴对称的两个图形的对应点不一定在对称轴两侧，也可能在对称轴上． 知识点3 成轴对称的两个图形的性质 两个图形关于某条直线成轴对称，则这两个图形_____，_______ 相等，_______相等． 全等 对应角 对应边 【注意】 图形的轴对称是图形位置的变换，变换后图形的大小、形状都没改变． 考点1 两个图形关于某条直线成轴对称 典例1 [2024·泰安期中]下列图形中，△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是( ) 思路导析 认真观察各选项给出的图形，根据轴对称的定义，直线两侧的两个图形是否关于直线成轴对称进行判断． 【方法技巧】 确定一个图形是不是另一个图形通过轴对称得到的，关键看是否存在一条直线，沿直线折叠后，两个图形能够重合．如果两个图形成轴对称，那么这两个图形全等． 变式 [2024·安阳期中]下列各组图形中，两个图案是轴对称的有( ) A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①②③④ 考点2 成轴对称的两个图形的性质 典例2 [2024·吉林期中]如图，这两个四边形关于某直线对称，根据图形的条件求x，y. 思路导析 根据成轴对称的两个图形的性质进行求解． 解：x＝70°，y＝4. 变式 如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称，其中∠C＝90°，AC＝4 cm，DE＝5 cm，BC＝3 cm. (1)你认为点A与点D有何关系？ (2)求∠F的度数； (3)求△DEF的周长和面积． 解：(1)点A与点D关于直线MN成轴对称； (2)∠F＝∠C＝90°； (3)因为△ABC与△DEF关于直线MN成轴对称， 所以DF＝AC＝4 cm，EF＝BC＝3 cm， 所以△DEF的周长＝5＋3＋4＝12(cm)． 因为∠F＝90°， 所以△DEF的面积＝3×4× ＝6(cm2)． 考点3 折叠问题 典例3 [2024·泰安期末]如图，在Rt△ABC纸片中，AB＝4， AC＝3，BC＝5，将Rt△ABC纸片按图示方式折叠，使点A恰好落 在斜边BC上的点E处，BD为折痕，则下列四个结论：①BD平分 ∠ABC ②AD＝DE　③DE＝EC　④△DEC的周长为4.其中正确 的有_______．(填序号) ①②④ 思路导析 根据翻折的性质可证得①②；由翻折的性质得BE＝AB＝4，即可得CE＝1，若DE＝EC＝1，则DC＝2，构不成三角形可判断③；由AD＝DE，结合三角形的周长公式可判断④. 变式 [2024·日照期中]如图，将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A′处，若∠1＝80°，∠2＝16°，则∠A为( ) A．25° B．28° C．32° D．36° 考点4 利用成轴对称的性质在网格中作图 典例4 如图，在4×4的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，例如图1中的△ABC，△DEF为格点三角形，且两个三角形关于直线l成轴对称，请在图2网格内画出另外两种与△ABC关于直线l成轴对称的格点三角形． 思路导析 依据轴对称的性质得到△ABC各顶点关于直线l的对称点，再顺次连接各点即可． 解：如图所示，△DEF即为所求作． 变式 在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．在图中画出与△ABC成轴对称的格点三角形．(画出4个即可) 解：如图所示，△ABC1，△DEF，△A′BC，△MBN即为所求作．(答案不唯一) eq \f(1,2) $$4.2　线段的垂直平分线 第1课时　线段的垂直平分线的性质及应用 知识点1 线段的垂直平分线的定义 _____并且_____一条线段的_____叫作这条线段的垂直平分线， 比如：直线MN_______线段AB，并且_____线段AB，我们把直线 MN叫作线段AB的垂直平分线． 垂直 平分 直线 垂直于 平分 知识点2 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到_________的距离相等． 图示： 几何语言：因为点P在线段AB的垂直平分线上，所以PA＝PB. 线段两端 知识点3 利用轴对称的知识解决最短路径问题 求作直线l上一点P到两定点A，B(A，B不在直线l上)的距离之和 最短时，可任取一点(A或B)作其关于直线l的对称点，与另一点 (B或A)相连． 图示： 考点1 线段垂直平分线的定义与性质 典例1 [2024·威海期末]如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，若△ABD的周长为12，AB＝5，则AC＝( ) A．4 B．5 C．6 D．7 思路导析 根据线段的垂直平分线的性质得到DC＝DB，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 变式1 [2024·商洛期末]如图，在△ABC中，∠A＝40°，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接CE，则∠BEC的大小为( ) A．40° B．50° C．80° D．100° 变式2 [2024·淄博期末]如图，在△ABC中，AB＝2.5，AC＝6，CB＝6.5，EF垂直平分AC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是( ) A．8.5 B．9 C．12.5 D．15 考点2“ 将军饮马”问题 典例2 如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站，分别向A，B两个开发区运货． 若要求货物中转站到A，B两个开发区的距离和最小，那么货物中转站Q应建在哪里？(保留作图痕迹，不写作法) 思路导析 利用轴对称求最短路线的方法得出答案． 解：如图所示，点Q即为所求作． 变式1 [2025·东莞期末]如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝115°， ∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一个点M，N，使△AMN的周 长最小，则∠AMN＋∠ANM＝( ) A．110° B．120° C．130° D．100° 变式2 如图，在△ABC中，AC＝11 cm，BC＝9 cm，AB的垂直平 分线交AB于点M，交AC于点N，在直线MN上存在一点P，使P，B， C三点构成的△PBC的周长最小，则△PBC的周长最小值为______． 20 cm $$4.4　等腰三角形 第1课时　等腰三角形(1) 知识点1 等腰三角形的轴对称性 等腰三角形是___________，等腰三角形的对称轴是_________ _________． 轴对称图形 底边的垂 直平分线 知识点2 等腰三角形的性质定理1 等腰三角形的_________相等(简写成“等边对等角”)． 两个底角 知识点3 等腰三角形的性质定理2 等腰三角形_____________、_____________及___________重 合．(简写成“三线合一”) 顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高 【注意】 1．等腰三角形两腰上的中线相等，两底角的平分线也相等． 2．等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 3．等腰三角形底边上的高(或底边上的中线或顶角的平分线)上任意一点到两腰的距离相等． 4．顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形，等腰直角三角形的底角均为45°. 知识点4 等边三角形的性质定理 等边三角形的各角都等于_____． 【注意】 等边三角形是特殊的等腰三角形． 60° 考点1 等边对等角 典例1 [2024·菏泽期中]如图，△ABC中，D是BC边上一点，AC＝AD＝BD，∠BAC＝105°，则∠C的 度数为( ) A．35° B．40° C．45° D．50° 思路导析 根据AC＝AD＝BD，可知∠ADC＝∠C＝2∠B；再根据三角形内角和定理可求得∠C的度数． 变式 [2024·郑州期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠DBC的度数是( ) A．30° B．36° C．45° D．54° 考点2 “ 三线合一” 典例2 [2024·平凉期末]如图，点D，E在 △ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE， 求证：BD＝CE. 思路导析 本题主要考查了“三线合一”定理．过点A作AP⊥BC于点P，由“三线合一”，得点P为DE及BC的中点，再根据线段之间的关系即可得证． 证明：如图，过点A作AP⊥BC于点P. 因为AB＝AC， 所以BP＝PC； 因为AD＝AE， 所以DP＝PE， 所以BP－DP＝PC－PE， 所以BD＝CE. 变式 [2024·淄博期中]等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是21，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则BM＋DM的最小值为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 考点3 等边三角形的性质 典例3 [2024·临沂期中]如图，△ABC和△BDE 都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边 上． (1)求证：AE＝CD； (2)用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由． 思路导析 (1)利用“SAS”可证△ABE≌△CBD，则可证得AE＝CD； (2)由DF和DC关于AD对称，可得DF＝DC，证明AE＝DF，从而可得 结论． 解：(1)证明：因为△ABC和△BDE都是等边三角形， 所以AB＝BC，BE＝BD＝DE，∠ABC＝∠EBD＝60°， 所以∠ABC－∠CBE＝∠EBD－∠CBE， 所以∠ABE＝∠CBD， 所以△ABE≌△CBD(SAS)． 所以AE＝CD； (2)AD＝DF＋BD.理由如下： 因为点F，C关于AD对称， 所以DF＝DC． 因为AE＝CD， 所以AE＝DF. 因为BD＝DE， 所以AD＝AE＋DE＝DF＋BD. 变式 [2024·济南期中]如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F. (1)试判断AD与BE是否相等，并说明理由； (2)求∠AFE的度数． 解：(1)AD＝BE，理由： 因为△ABC是等边三角形， 所以AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°， 在△ABD和△BCE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝BC，,∠ABD＝∠C，,BD＝CE，)) 所以△ABD≌△BCE(SAS)，所以AD＝BE； (2)∠AFE＝60°. $$第2课时　轴对称的基本性质 知识点1 轴对称的基本性质 成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴_________． 垂直平分 【注意】 ①成轴对称的两个图形的对应线段所在直线平行，或为同一条直线，或相交于一点，且交点在对称轴上；②成轴对称的两个图形的对应点(重合的对应点，即在对称轴上的对应点除外)的连线平行或在同一条直线上． 知识点2 作一个图形关于某条直线成轴对称的图形 步骤：(1)找—在原图形上找特殊点； (2)作—作各个特殊点关于已知直线的对称点； (3)连—连接各对称点． 考点1 轴对称的基本性质 典例1 如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法不一定正确的是( ) A．AC＝A′C′ B．BO＝B′O C．AA′⊥MN D．AB＝B′C′ 思路导析 根据成轴对称的两个图形的性质和轴对称的基本性质作答． 变式 [2024·南充期末]如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，连接AA′，BB′，CC′，其中BB′分别交AC，A′C′于点D，D′，下列结论：①AA′∥BB′　②∠ADB＝∠A′D′B′　③直线l垂直平分AA′　④直线AB与A′B′的交点不一定在直线l上．其中正确的是( ) A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 考点2 利用轴对称的基本性质作成轴对称的图形 典例2 如图，画出△ABC关于直线MN成轴对称的图形△A′B′C′. 思路导析 根据成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分作图． 解：如图所示，△A′B′C′ 即为所求作． 变式 如图，已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′成轴对称． (1)请画出它们的对称轴l； (2)若CM⊥AB，垂足为M，试画出点M关于直线l的对称点M′. 解：(1)根据轴对称图形的性质作图如图； (2)如图所示，点M′即为所求点的位置． $$