教考衔接1 排列组合问题的两类思维模型(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

教考衔接1　 排列组合问题的两类思维模型 第三章　排列、组合与二项式定理 第三章　排列、组合与二项式定理 1 第三章　排列、组合与二项式定理 1 第三章　排列、组合与二项式定理 1 第三章　排列、组合与二项式定理 1 第三章　排列、组合与二项式定理 1 第三章　排列、组合与二项式定理 1 第三章　排列、组合与二项式定理 1 第三章　排列、组合与二项式定理 1 第三章　排列、组合与二项式定理 1 第三章　排列、组合与二项式定理 1 第三章　排列、组合与二项式定理 1 第三章　排列、组合与二项式定理 1 第三章　排列、组合与二项式定理 1 第三章　排列、组合与二项式定理 1 第三章　排列、组合与二项式定理 1 第三章　排列、组合与二项式定理 1 第三章　排列、组合与二项式定理 1 第三章　排列、组合与二项式定理 1 第三章　排列、组合与二项式定理 1 第三章　排列、组合与二项式定理 1 第三章　排列、组合与二项式定理 1 第三章　排列、组合与二项式定理 1 第三章　排列、组合与二项式定理 1 第三章　排列、组合与二项式定理 1 第三章　排列、组合与二项式定理 1 第三章　排列、组合与二项式定理 1 第三章　排列、组合与二项式定理 1 谢谢观看 第三章　排列、组合与二项式定理 1 一、真题展示 1．(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A．30种　　　　　　　 B．60种 C．120种 D．240种 2．(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答). 二、真题溯源 [教材P20例5] [例5]　要把9本不同的课外书分给甲、乙、丙3名同学： (1)如果每个人都得3本，则共有不同的分法多少种？ (2)如果要求一人得4本，一人得3本，一人得2本，则共有不同的分法多少种？ [教材P38复习题A组第7题] 7．从10名学生中选出3人担任课代表，则甲、乙两人中至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法共有多少种？ 三、类法探究 排列和组合是高考的常考内容，高考往往以实际问题为背景，考查排列、组合与概率相关知识的综合应用，突出分类讨论思想、转化与化归思想，聚焦逻辑推理、数学建模、数学运算核心素养． 类型一　不同元素的分组、分配问题 分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要对象个数相同就不区分，而后者即使两组对象个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的．分配问题必须先分组后排列．另外，均匀分组与非均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是非均匀分组，是无序分组还是有序分组． 9本不同的书，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)分给甲、乙、丙三人，每人3本； (2)分为三组，每组3本； (3)分为三组，一组2本，一组3本，一组4本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人2本，一人3本，一人4本； (5)分为三组，一组5本，另外两组每组2本； (6)分给甲、乙、丙三人，其中甲2本，乙3本，丙4本； (7)分给甲、乙、丙三人，其中甲4本，另外两人中有一人2本，一人3本； (8)分给甲、乙、丙三人，其中甲得5本，另外两人每人得2本； (9)分给甲、乙、丙三人，其中一人得5本，另外两人每人得2本． [解析]　(1)这是均匀编号分组问题． 第一步：从9本书中选3本给甲，有C种选法． 第二步：再从其余的6本书中选3本给乙，有C种选法． 第三步：从余下的3本书中选3本给丙，有C种选法． 根据分步乘法计数原理得，不同的分配方法共有CCC＝1680(种). (2)这是均匀不编号分组问题． 先将9本书平均放入1号箱、2号箱、3号箱． 先放1号箱，有C种放法； 再放2号箱，有C种放法； 最后把剩下的3本放入3号箱，有C种放法． 因此共有CCC种放法． 由于这3个箱子现在是有序的，而装的书本数是一样的，因此会出现重复的分法，应用缩倍法，重复的是3个箱子的排列顺序，应除以箱子的全排列数，即CCC÷A＝280. 故共有280种不同的分配方法． (3)这是非均匀不编号分组问题． 同(2)中思路，第一步共CCC种放法． 由于这次不是平均分配，每个箱子里装的书都不同，因此不会出现重复的分法，因此共有1260种不同的分配方法． (4)这是非均匀编号问题．在(3)的基础上再进行全排列，所以不同的分配方法共有CCC·A＝7560(种). (5)这是部分均匀不编号分组问题． 同(2)中思路，第一步共CCC种放法． 这次同样不是平均分配，但恰有2个箱子装的书本数一样，因此是“局部平均”，也会出现重复的分法，重复的是同样装着2本书的2个箱子的排列顺序，因此应除以这2个箱子的全排列数，即CCC÷A＝378. 故共有378种不同的分配方法． (6)这是直接分配问题． 由于甲的书本数已知，先给甲选书，有C种选法，再给乙选书，有C种选法，剩下的3本给丙， 故不同的分配方法共有CC＝1260(种). (7)这是直接分配问题． 由于甲的书本数已知，先给甲选书，有C种选法． 再把剩下的5本书分成本数分别为2，3的两份，有CC种分法，把分好后的两份书分给乙、丙两个人，有A种分法． 根据分步乘法计数原理，可得不同的分配方法共有CCCA＝2520(种). (8)这是直接分配问题． 由于甲的书本数已知，先给甲选书，有C种选法． 再把剩下的4本书平均分给乙、丙，有CC种方法． 故不同的分配方法共有CCC＝756(种). (9)这是部分均匀编号分组问题． 在(5)的基础上再分配给甲、乙、丙三人， 不同的分配方法共有·A＝2268(种). [反思感悟] 分组、分配问题的常见形式及处理方法 按n个不同对象分成m组，且每组的对象个数分别为m1，m2，m3，…，mm，记 (1)非均匀不编号分组：n个不同对象分成m组，每组对象数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，其分法种数为N. (2)均匀不编号分组：将n个不同对象分成不编号(即无序)的m组，其分法种数为. (3)部分均匀不编号分组：将n个不同对象分成不编号的m组，其中有r组对象个数相等，其分法种数为.如果再有k组均匀分组，应再除以A. (4)非均匀编号分组：n个不同对象分成m组，各组对象数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为N·A. (5)均匀编号分组：将n个不同对象均匀分成有编号(即有序)的m组，其分法种数为N. (6)部分均匀编号分组：n个不同对象分成有编号的m组，其中有r组对象个数相等，其分法种数为·A. 类型二　相同元素的分配问题 1．相同元素分配问题，常用隔板分配法，用隔板分成若干份，不同分法对应着不同的分配数量． 2．使用这种方法需要注意两个方面的问题：一是要根据题意确定能否转化为“每组至少一个”的问题，以便确定能否利用隔板法；二是要注意确定空位数以及需要的隔板数，一般来说，排成一排的相同元素两端不能插隔板． 有10个运动员名额，分给班号分别为1，2，3的3个班． (1)每班至少1个名额，有多少种分配方案？ (2)每班至少2个名额，有多少种分配方案？ (3)可以允许某些班级没有名额，有多少种分配方案？ [解析]　(1)因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成9个空，在9个空中选2个位置插入“隔板”，可把名额分成3份，对应地分给3个班级，每一种插入隔板的方法对应一种分法，共有C＝36(种)分法．图1是其中一种分法，表示分给1班、2班、3班的名额分别是2个、5个、3个． 图1 (2)要求每班至少2个名额，可以先从10个名额中拿出3个，分别给各班1个名额，还剩下7个名额，此时题目转化为将7个名额分给3个班级且每个班级至少1个名额，应用“隔板法”，可得有C＝15(种)分法，图2是其中一种分法．故分给1班、2班、3班的名额分别是3＋1＝4(个)，2＋1＝3(个)，2＋1＝3(个). 图2 (3)因为允许某些班级没有名额，所以“隔板”可以相邻，可以把10个名额和2个“隔板”共12个元素进行排序，只要在12个位置中选好2个位置安排“隔板”，就可把名额分成3份，然后对应地分给3个班级，(比如“隔板”相邻了，说明2班名额为0个)这样每一种安置“隔板”的方法对应一种分法，分配方案共有C＝66(种). [反思感悟] 运用隔板法求解组合问题的解题策略 “将n个相同对象分成m组(每组的任务不同)”的问题一般可用隔板法求解． (1)当每组至少含有一个对象时，其不同的分组方式有C种，即在n个对象中间形成的(n－1)个空中插入(m－1)个“隔板”． (2)任意分组，可出现某些组所含对象个数为0的情况，不符合隔板法的适用条件，但可人为增加m个对象，使每组至少含有一个对象，此时问题就转化为(n＋m)个相同对象分成m组，且每组至少含有一个对象，则不同的分组方式有C种． (3)若某一小组至少含有a(a≥2，a∈N＋)个对象，可先取a－1个对象给这一小组，此时问题就转化为将n－a＋1个相同对象分成m组，每组至少含有一个对象，则不同的分组方式有C种． $$