4.2.5 正态分布(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

4.2.5　正态分布 第四章　概率与统计 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 E(X) 栏目导航 第四章　概率与统计 1 x＝μ 1 越大 集中程度越弱 “胖” 越小 集中程度越强 “瘦” 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 面积 正态分布 概率密度 栏目导航 第四章　概率与统计 1 50% 68.3% 95.4% 99.7% 栏目导航 第四章　概率与统计 1 99.7% 0.3% 栏目导航 第四章　概率与统计 1 μ＝0且σ＝1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 P(X<a) 面积 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第四章　概率与统计 1 谢谢观看 栏目导航 第四章　概率与统计 1 学业标准 素养目标 1．利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义．(重点) 2．能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义.(重点) 3．会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率.(难点) 1．通过学习正态分布，发展数学抽象、直观想象等核心素养． 2．通过正态分布的实际应用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． 导学1　二项分布与正态曲线 已知X服从参数为100，0.5的二项分布，即X～B(100，0.5)，你能手工计算出P(X＝50)的值吗？ [提示]　几乎不可能． 如果随机变量X～B(n，p)，那么n较大时能直接计算P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k吗？有没有其他方法？ [提示]　十分困难，我们可以得到其近似值． ◎结论形成 1．正态曲线 (1)函数φ(x)＝_____________________．函数φ(x)的解析式中含有μ和σ两个参数，其中：μ＝________，即X的均值；σ＝________，即X的标准差． (2)φ(x)对应的图象称为正态曲线(也因为形状而被称为“钟形曲线”)，φ(x)也常常记为φμ，σ(x). 2．正态曲线的性质 (1)正态曲线关于________对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点； (2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为___； (3)σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差______，数据的__________________，所以曲线越______；σ越小，说明标准差______，数据的__________________，所以曲线越______． [提示]　密度曲线和X轴之间的面积表示频率． 导学2　正态分布 在频率分布直方图中，每个小矩形的面积表示什么？ [提示]　频率． 由频率分布折线图得到密度曲线，在密度曲线中怎样表示频率？ ◎结论形成 1．正态分布：如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与X轴在区间[a，b]内围成的______，则称X服从参数为μ与σ的____________，记作X～N(μ，σ2).此时φμ，σ(x)称为X的____________函数．μ是X的均值，而σ是X的标准差，σ2是X的方差． 2．正态分布在四个特殊区间内取值的概率 (1)P(X≤μ)＝P(X≥μ)＝_______． (2)P(|X－μ|≤σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈_______． (3)P(|X－μ|≤2σ)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________． (4)P(|X－μ|≤3σ)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈________． 3．“3σ原则”：X约有________的可能会落在距均值3个标准差的范围之内，也就是说只有约_______的可能落入这一范围之外(这样的事件可看成小概率事件)，这一结论通常称为正态分布的“3σ原则”． 4．标准正态分布 (1) ________________的正态分布称为标准正态分布，其在正态分布中扮演着核心角色，这是因为如果Y～N(μ，σ2)，那么令X＝________，则可以证明X～N(0，1)，即任意正态分布通过变换都可以化为标准正态分布． (2)①如果X～N(0，1)，那么对任意实数a，通常记Φ(a)＝________，也就说Φ(a)表示N(0，1)对应的正态曲线与x轴在区间(－∞，a)内所围成的________，如图． ②Φ(a)具有的性质：Φ(－a)＋Φ(a)＝____． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．(　　) (2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．(　　) (3)正态曲线是一条钟形曲线．(　　) (4)正态曲线关于直线x＝μ对称，且当X＝μ时，位于最高点．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．设随机变量X的正态密度函数为f(x)＝·，x∈(－∞，＋∞)，则参数μ，σ的值分别是(　　) A．μ＝3，σ＝2　　　　 B．μ＝－3，σ＝2 C．μ＝3，σ＝ D．μ＝－3，σ＝ 解析　由正态密度函数表达式知μ＝－3，σ＝. 答案　D 3．设随机变量ξ服从正态分布N(2，32)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，则c＝________． 解析　正态分布曲线关于x＝2对称， ∴＝2得c＝2. 答案　2 4．随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝________． 解析　∵随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)， ∴正态曲线关于x＝0对称， ∵P(ξ>2)＝0.023，∴P(ξ<－2)＝0.023， ∴P(－2≤ξ≤2)＝1－0.023－0.023＝0.954， 故答案为0.954. 答案　0.954 题型一　正态曲线及其性质 (多选题)如图，三条曲线分别是甲、乙、丙三个模具厂家生产某种零件尺寸误差的正态分布密度曲线，则下列说法正确的是(　　) A．三个模具厂家生产这种零件尺寸误差的均值相等 B．P(x乙≥1)<P(x丙≥1) C．三个模具厂家生产这种零件尺寸误差的方差从小到大依次为丙、乙、甲 D．生产这种零件时，甲厂的生产质量最好 [解析]　对于A，由题图可知，三个模具厂生产某种零件尺寸误差分布的正态密度曲线都关于y轴对称，则三个模具厂家生产这种零件尺寸误差的均值相等，A正确． 对于B，乙厂对应的正态密度曲线在区间[1，＋∞)上与x轴之间的区域的面积小于丙厂对应的正态密度曲线在区间[1，＋∞)上与x轴之间的区域的面积，故P(x乙≥1)<P(x丙≥1)，B正确． 对于C，由正态曲线的形状可知，三个模具厂家生产这种零件尺寸误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙，C错误． 对于D，三个模具厂家生产这种零件尺寸误差的均值相等，但甲厂的方差最小，故甲厂的生产质量最好，D正确． [答案]　ABD 正态曲线中的均值μ表示曲线的对称轴，标准差σ表示曲线形状的“胖”与“瘦”，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”．表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． [触类旁通] 1．(多选题)已知三个正态分布对应的概率密度函数fi(x)＝· (x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．σ1＝σ2＝σ3　　　 B．σ1＝σ2＜σ3 C．μ1＝μ2＞μ3 D．μ1＜μ2＝μ3 解析　正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大，图象越靠右，σ越小，图象越“瘦高”．因此，μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3.故选BD. 答案　BD 题型二　利用正态分布的性质求概率　一题多变 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝(　　) A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 (2)随机变量ξ服从正态分布N(1，22)，若P(2<ξ<3)＝a，则P(ξ<－1)＋P(1<ξ<2)＝(　　) A． B．－a C．a＋0.003a D．＋a [解析]　(1)因为随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，μ＝2， 即对称轴是x＝2，P(ξ<4)＝0.8， 所以P(ξ≥4)＝P(≤0)＝0.2， 所以P(0<ξ<4)＝0.6， 所以p(0<ξ<2)＝0.3. (2)因为随机变量ξ服从正态分布N(1，22)，所以正态曲线关于x＝1对称，因为P(2<ξ<3)＝a， 所以P(－1<ξ<0)＝a，P(1<ξ<2)＝P(0<ξ<1)， P(ξ<－1)＋P(1<ξ<2)＝－a. [答案]　(1)B　(2)B [母题变式] 1．(变结论)若本例(1)的条件不变，则P(2<ξ<4)＝________． 解析　由ξ服从正态分布N(22，σ)，可知μ＝2， 即对称轴是x＝2， ∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2 ∴P(0<ξ<4)＝0.6， ∴P(2<ξ<4)＝×0.6＝0.3. 答案　0.3 2．(变条件、变结论)把本例(1)改为：随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，P(ξ<4)＝0.84，则P(ξ<－2)＝________． 解析　因为随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，μ＝1， 所以P(ξ<－2)＝P(ξ>4)＝1－P(ξ<4)＝0.16. 答案　0.16 正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. (2)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的值． (3)注意概率值的求解转化 ①P(X<a)＝1－P(X≥a)； ②P(X<μ－σ)＝P(X≥μ＋σ)； ③若b<μ，则P(X＜b)＝. [触类旁通] 2．(1)(2021·新高考全国卷Ⅱ)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中不正确的是(　　) A．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大 B．该物理量一次测量结果大于10的概率是0.5 C．该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等 D．该物理量一次测量结果落在(9.9，10.2)内的概率与落在(10，10.3)内的概率相等 (2)(2022·新高考全国卷Ⅱ)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________． 解析　(1)对于A，σ越小，代表正态曲线越陡，故A正确；对于B，测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则正态曲线的对称轴为直线x＝10，故B正确；对于C，结合正态曲线可知x＝10.01与x＝9.99关于对称轴(直线x＝10)对称，故C正确；对于D，结合正态曲线可知，区间(9.9，10.2)与(10，10.3)不关于对称轴(直线x＝10)对称，故D错误，故选D. (2)因为X～N(2，σ2)，所以P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14. 答案　(1)D　(2)0.14 题型三　正态分布的应用 某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布N(500，52)(单位：g). (1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485 g的概率约为多少？ (2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485 g，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由． [解析]　(1)设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为X g， 由题意可知X～N(500，52). 由于485＝500－3×5， 所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知， P(X<485)＝[1－P(500－3×5≤X≤500＋3×5)]≈×0.003 ＝0.001 5. (2)检测员的判断是合理的． 因为如果生产线不出现异常的话，由(1)可知，随机抽取两包检查，质量都小于485 g的概率约为0.001 5×0.001 5＝0.000 002 25＝2.25× 10-6，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的． [素养聚焦] 通过正态分布的实际应用，把数学运算、数据分析等核心素养体现在解题过程中． 正态曲线的应用及求解策略 解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想． [触类旁通] 3．(多选题)(2024·新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单 位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z<μ＋σ)≈0.841 3)(　　) A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5 C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8 解析　由题意可知，X～N(1.8，0.12)，所以P(X>2)<P(X>1.8)＝0.5，P(X<1.9)≈0.841 3，所以P(X>2)<P(X≥1.9)＝1－P(X<1.9)≈1－0.841 3＝0.158 7<0.2，所以A错误，B正确．因为Y～N(2.1，0.12)，所以P(Y<2.2)≈0.841 3，P(Y>2)>P(Y>2.1)＝0.5，所以P(2<Y<2.1)＝P(2.1<Y<2.2)＝P(Y<2.2)－P(Y≤2.1)≈0.841 3－0.5＝0.341 3，所以P(Y>2)＝P(2<Y<2.1)＋P(Y≥2.1)≈0.341 3＋0.5＝0.841 3 >0.8，所以C正确，D错误． 综上，选BC. 答案　BC [缜密思维提能区]　易错辨析 正态密度函数的理解 设ξ～N(0，1)，相应的密度函数为f(x)，给出下列四个命题： ①P(ξ<a)＝f(a)； ②Φ(－x0)＝Φ(x0)； ③P(a<ξ≤b)＝Φ(b)－Φ(a)； ④P(ξ>a)＝Φ(a). 正确的是________． [错解]　①②③ [正解]　选①的错误在于将密度函数理解为关于ξ取值的概率函数表达式，P(ξ<a)是指x轴上方、正态曲线下方、直线x＝a左侧围成图形的面积．而f(a)是指x＝a时，密度函数的值．选②的错误在于将函数f(x)的性质当成函数Φ(x)的性质，实际上由P(ξ<x0)＝Φ(x0)及对称性知Φ(－x0)＝1－Φ(x0). ③正确，P(a<ξ≤b)等于曲线与x轴与直线x＝a和x＝b围成的面积正好等于Φ(b)－Φ(a). ④P(ξ<a)等于正态曲线与x轴在(－∞，a)围成的面积Φ(a)，故④错误． [答案]　③ [纠错心得] 1．错误的原因是对标准正态分布的随机变量的概率理解不准确而导致错误． 2．随机变量X服从X～N(0，1)时，Φ(a)表示，N(0，1)对应的正态曲线与x轴在区间(－∞，a)内所围的面积，在解决相关的题目时一定利用准确． 知识落实 技法强化 1．正态曲线及性质． 2．正态分布标准正态分布及“3σ原则”． 利用正态曲线的对称性求概率是正态分布的重要题型，解题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形判断． $$