4.2.4 第2课时 离散型随机变量的方差(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

4.2.4　随机变量的数字特征 第四章　概率与统计 第2课时　 离散型随机变量的方差 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 离散程度(或波动大小) 栏目导航 第四章　概率与统计 1 离散型随机变量的离散程度(或波动大小) 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 p(1－p) np(1－p) a2D(X) 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第四章　概率与统计 1 谢谢观看 栏目导航 第四章　概率与统计 1 学业标准 素养目标 1．理解离散型随机变量的方差和标准差的意义和性质，会求离散型随机变量的方差．(重点) 2．掌握两点分布、二项分布的方差． (重点) 3．会利用离散型随机变量的方差解决一些相关实际问题．(难点) 1．通过学习离散型随机变量的方差和标准差的概念，培养数学抽象等核心素养． 2．通过随机变量的方差的应用，提升数学运算、数据分析等核心素养． 导学　离散型随机变量的方差 从甲、乙两名运动员中选一人参加冬季大学生运动会，以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为： X1(甲得分) 0 1 2 P(X1＝xi) 0.2 0.5 0.3 X2(乙得分) 0 1 2 P(X2＝xi) 0.3 0.3 0.4 (1)试根据分布列求出X1，X2的均值，并探究用均值比较两运动员的成绩优劣； (2)除平均得分外，联想样本的数字特征，还有其他刻画甲、乙运动员得分特点的指标吗？ [提示]　(1)由均值公式可得E(X1)＝0×0.2＋1×0.5＋2×0.3＝1.1，E(X2)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1.所以E(X1)＝E(X2)，均值相等，无法利用均值比较两运动员的成绩优劣． (2)可以用两名运动员得分的稳定性(方差)来刻画两名运动员的比赛得分． ◎结论形成 1．离散随机变量的方差和标准差 (1)方差的定义：如果离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 因为X的均值为E(X)，所以D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝______________能够刻画X相对于均值的_______________________，这称为离散型随机变量X的方差． [xi－E(X)]2pi (2)标准差的定义：离散型随机变量X的方差D(X)也可以用DX表示，_________称为离散型随机变量X的标准差，它也刻画一个_______________________________________． [点睛]　 (1)方差越大，随机变量取值偏离于均值的平均程度越大；方差越小，随机变量取值偏离于均值的平均程度越小．通常在均值相等的情况下要比较方差的大小． (2)随机变量的方差与样本方差的关系 随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量，对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差，因此，我们常用样本的方差来估计总体的方差． 2．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 (1)X服从参数为p的两点分布，则D(X)＝__________． (2)若X服从参数为n，P的二项分布即X～B(n，p)，则D(X)＝__________． 3．离散型随机变量方差的性质 若X与Y都是离散型随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则D(Y)＝a2[xi－E(X)]2pi＝__________． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值．(　　) (2)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平．(　　) (3)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平．(　　) (4)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知X的分布列为 X －1 0 1 P 0.5 0.3 0.2 则D(X)等于(　　) A．0.7　　　　　　　 B．0.61 C．－0.3 D．0 解析　E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3， D(X)＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61. 答案　B 3．若随机变量ξ～B，则D(ξ)的值为(　　) A．2　　　　　　 B．1 C． D． 解析　D(ξ)＝np(1－p)＝4××＝1. 答案　B 4．已知随机变量ξ，D(ξ)＝，则3ξ＋1的标准差为________． 解析　D(3ξ＋1)＝9D(ξ)＝9×＝1. ∴标准差为＝1. 答案　1 题型一　求离散型随机变量的方差 已知X的分布列如下： X －1 0 1 P a (1)求X2的分布列； (2)计算X的方差； (3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． [解析]　(1)由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝， 从而X2的分布列为 X2 0 1 P (2)由(1)知a＝， ∴X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－. 故X的方差D(X)＝×＋×＋×＝. (3)∵Y＝4X＋3， ∴E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11. 1．求离散型随机变量X的方差的步骤 2．对于随机变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程． [触类旁通] 1．(1)若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1<x2，若E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为(　　) A．　　　　　　　　　　 B． C．3 D． (2)甲、乙两人对目标各射击一次，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率是，若命中目标的人数为X，则D(X)＝(　　) A． B． C． D． 解析　(1)∵E(X)＝x1＋x2＝， ∴x2＝4－2x1， 又D(X)＝×＋×＝，x1<x2， ∴x1＝1，x2＝2，∴x1＋x2＝3. (2)由题意知，命中目标的人数X的所有可能取值是0，1，2， 则P(X＝0)＝×＝， P(X＝1)＝×＋×＝， P(X＝2)＝×＝， ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝， D(X)＝×＋×＋×＝. 答案　(1)C　(2)B 题型二　两点分布与二项分布的方差　一题多变 (1)(多选题)已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2，若0<p1<p2<，则(　　) A．E(ξ1)<E(ξ2)　　　　 B．E(ξ1)>E(ξ2) C．D(ξ1)<D(ξ2) D．D(ξ1)>D(ξ2) (2)设X的分布列为P(X＝k)＝C(k＝0，1，2，3，4，5)，则D(3X)＝(　　) A．10 B．30 C．15 D．5 [解析]　(1)根据已知得ξi(i＝1，2)服从两点分布，由两点分布的均值和方差知E(ξi)＝pi，D(ξi)＝pi(1－pi)，因为0<p1<p2<，所以E(ξ1)＝p1<p2＝E(ξ2)，D(ξ1)－D(ξ2)＝p1－p－(p2－p)＝(p1－p2)[1－(p1＋p2)]，已知p1<p2，p1＋p2<1，所以D(ξ1)－D(ξ2)<0，即D(ξ1)<D(ξ2).故选AC. (2)由P(X＝k)＝C(k＝0，1，2，3，4，5)可知随机变量服从二项分布X～B，所以D(X)＝5××＝， D(3X)＝9D(X)＝10. [答案]　(1)AC　(2)A [母题变式] 1．(变条件、变结论)本例(2)改为：随机变量X服从二项分布B(n，p)，且E(3X＋2)＝9.2，D(3X＋2)＝12.96，求二项分布的参数n，p的值． 解析　由E(3X＋2)＝9.2，D(3X＋2)＝12.96及X～B(n，p) 知 即解得 所以二项分布的参数n＝6，p＝0.4. 2．(变结论)本例(2)条件不变，求E(3X＋2). 解析　由例题可知X～B， 所以E(X)＝5×＝. 故E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝7. 求常见分布列方差的方法 (1)定模型：二项分布问题与独立性重复试验紧密相关，因此在问题分析时应恰当地将试验化归为独立重复试验，从而将问题转化为二项分布模型问题． (2)超几何分布模型的特征：①不放回抽样；②一个总体(共有N个)内含有两种不同的事物A(有M个)，B(有N－M个)，任取n个，其中恰有X个A.符合以上特征即可断定随机变量服从超几何分布． (3)用公式：当随机变量X服从两点分布、二项分布、超几何分布时，可不用列出分布列，直接由公式求出简化计算． [触类旁通] 2．某校从6名学生会干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者，设所选3人中女生人数为ξ.则E(ξ)＝_______，D(ξ)＝_______． 解析　依题意ξ服从参数为6，3，2的超几何分布， 则E(ξ)＝＝＝1. D(ξ)＝E(ξ)·＝1×＝. 答案　1　 题型三　方差的实际应用 (1)甲、乙两台自动机床各生产同种标准产品1000件，ξ表示甲车床生产1000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经过一段时间的考察ξ，η的分布列分别如表一，表二所示．据此判定(　　) 表一 ξ 0 1 2 3 P 0.7 0 0.2 0.1 表二 η 0 1 2 3 P 0.6 0.2 0.1 0.1 A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好 C．甲与乙质量相同 D．无法判定 (2)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图．(其中“·”表示服药者，“＋”表示未服药者) ①从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率； ②从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)； ③试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．(只需写出结论) [解析]　(1)由分布列可求甲的次品数期望为E(ξ)＝0.7，乙的次品数期望为E(η)＝0.7，进而得D(ξ)＝(0－0.7)2×0.7＋(1－0.7)2×0＋(2－0.7)2×0.2＋(3－0.7)2×0.1＝1.21，D(η)＝(0－0.7)2×0.6＋(1－0.7)2×0.2＋(2－0.7)2×0.1＋(3－0.7)2×0.1＝1.01，故乙的质量要比甲好． (2)①由题图可知，在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，则从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为即. ②由题图，A，C两人指标x的值大于1.7，而B，D两人则小于1.7，可知在四人中随机选出两人，ξ的可能取值为0，1，2， P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1. 即所求数学期望为1. ③由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大． [答案]　(1)B　(2)略 [素养聚焦] 利用均值、方差科学决策，把数学运算、数据分析等核心素养体现在解题过程中． 解答离散型随机变量的实际应用问题的关注点 (1)分析题目背景，根据实际情况抽象出概率模型，特别注意随机变量的取值及其实际意义． (2)弄清实际问题是求均值还是方差，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决实际问题时，两者都要分析． [触类旁通] 3．甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列如下： ξ 1 2 3 P a 0.1 0.6 η 1 2 3 P 0.3 b 0.3 (1)求a，b的值； (2)计算ξ，η的数学期望与方差，并以此分析甲、乙的射击技术状况． 解析　(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1， 所以a＝0.3. 同理，0.3＋b＋0.3＝1，所以b＝0.4. (2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3， E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2. D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81， D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6. 由于E(ξ)>E(η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，说明在平均得分相差不大的情况下，甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人射击技术水平都不够优秀，各有优势与劣势． [缜密思维提能区]　易错辨析 求随机变量的均值与方差 某人有5把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开则除去，求打开此门所需试开次数X的均值和方差． [错解]　5把钥匙中只有一把能打开房门，任取一把打开房门的概率为，故试开次数X～B， 由二项分布均值与方差的定义知E(X)＝5×＝1， D(X)＝5××＝. [正解]　X为打开此门所需的试开次数， 则X的可能取值为1，2，3，4，5. X＝k表示前k－1次没打开此门，第k次才打开了此门． P(X＝1)＝，P(X＝2)＝·＝， P(X＝3)＝·＝，P(X＝4)＝·＝， P(X＝5)＝·1＝， 由随机变量X的概率分布列为 X 1 2 3 4 5 P E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝3. D(X)＝(1－3)2×＋(2－3)2×＋(3－3)2×＋(4－3)2×＋(5－3)2×＝×(22＋12＋02＋12＋22)＝2. [纠错心得] 1．本题错因是把试验类型当成了独立重复试验． 2．在解决离散型随机变量的均值和方差的应用题时，一定准确地理解题意，正确地确定试验类型，否则就会弄混而出现错误． 知识落实 技法强化 1．离散型随机变量的方差的定义及性质． 2．服从两点分布、二项分布的方差计算公式． 1．方差也可以用公式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2计算． 2．若离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则 D(X)＝＝E(X)·. $$