4.2.4 第1课时 离散型随机变量的均值(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

4.2.4　随机变量的数字特征 第四章　概率与统计 第1课时　 离散型随机变量的均值 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 平均取值 aE(X)＋b 栏目导航 第四章　概率与统计 1 P np 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第四章　概率与统计 1 谢谢观看 栏目导航 第四章　概率与统计 1 学业标准 素养目标 1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点) 2．掌握两点分布、二项分布的均值．(重点) 3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．(难点) 1．通过离散型随机变量的均值的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过随机变量均值的应用，提升逻辑推理、数学运算核心素养． 导学　离散型随机变量的均值 某商贩有12个西瓜，其中4个重5 kg，3个重6 kg，5个重7 kg. (1)任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的质量，试想X可以取哪些值？ (2)X取上述值的对应的概率分别是多少？ (3)12个西瓜的平均质量该如何求？ [提示]　(1)X＝5，6，7. (2)，，. (3)＝5×＋6×＋7×＝(kg). ◎结论形成 1．离散型随机变量的均值 (1)定义：一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝____________________________________为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望). x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝xipi (2)意义：离散型随机变量x的均值E(X)也可用EX表示，它刻画了X的____________．在离散型随机变量X的分布列的直观图中，E(X)处于平衡位置． (3)性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则E(Y)＝E(aX＋b)＝___________． 2．两点分布、二项分布、超几何分布的均值 (1)若X服从参数P两点分布，则E(X)＝___． (2)若X服从参数n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝_____． (3)若X服从参数N，n，M的超几何分布，即X～H(N，n，M)，则E(X)＝________． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(　　) (2)随机变量的均值反映样本的平均水平．(　　) (3)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则F(2X)＝4.(　　) (4)随机变量X的均值E(X)＝.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(2025·上海卷)已知随机变量X的分布为 X 5 6 7 P 0.2 0.3 0.5 则期望E(X)＝________． 解析　由题设有E(X)＝5×0.2＋6×0.3＋7×0.5＝1＋1.8＋3.5＝6.3. 故答案为6.3. 答案　6.3 3．已知X～B，则E(2X＋3)＝________． 解析　E(X)＝100×＝50，E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝103. 答案　103 4．设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3个进行检验，若以X表示取出次品的个数．则随机变量X的均值为________． 解析　由题意知，随机变量X服从超几何分布， 其中N＝12，M＝2，n＝3， 则E(X)＝＝＝. 答案　 题型一　离散型随机变量的均值公式及性质　题点多探　一题多解 角度1　离散型随机变量的均值公式及性质 已知随机变量X的分布列如下． X －2 －1 0 1 2 P m (1)求m的值；(2)求E(X)；(3)若Y＝2X－3，求E(Y). [解析]　(1)由随机变量分布列的性质， 得＋＋＋m＋＝1， 解得m＝. (2)E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－. (3)法一(公式法)　由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－. 法二(直接法)　由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下： Y －7 －5 －3 －1 1 P 所以E(Y)＝(－7)×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1× ＝－. 1．该类题目属于已知离散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求解． 2．对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便． 角度2　离散型随机变量的均值意义的应用 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值． [解析]　X的取值分别为1，2，3，4. X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了， 故P(X＝1)＝0.6. X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28. X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了， 故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096. X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过， 故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024. 所以李明一年内参加考试次数X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024 所以X的均值为 E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544. 求离散型随机变量X的均值的步骤 (1)理解X的实际意义，并写出X的全部取值． (2)求出X取每个值的概率． (3)写出X的分布列(有时也可省略). (4)利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值． 其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中要注重运用概率的相关知识． [触类旁通] 1．(1)若随机变量X的概率分布列如下表： X 0 2 4 P 0.3 0.2 0.5 则E(5X＋2012)等于(　　) A．2024　　　　　　 B．2.4 C．5.04 D．12.5 (2)某省电视台举行歌唱大赛，大赛依次设初赛、复赛、决赛三个轮次的比赛，已知某歌手通过初赛、复赛、决赛的概率分别为，，，且各轮次通过与否相互独立．记该歌手参赛的轮次为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 解析　(1)由分布列得E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，所以E(5X＋2012)＝5E(X)＋2012＝5×2.4＋2012＝2024. (2)ξ的所有可能取值为1，2，3. P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝×＝，P(ξ＝3)＝×＝. 所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝. 答案　(1)A　(2)略 题型二　二次分布与超几何分布的均值　一题多变 (1)某运动员投篮命中率为0.6，则重复5次投篮命中次数Y的均值为________． (2)一个盒子中有10个小球，其中3个红球、7个白球，从这10个球中任取3个．若采用无放回抽取，求取出的3个球中红球的个数X的分布列及均值． [解析]　(1)由题意得Y～B(5，0.6). 所以E(Y)＝5×0.6＝3. (2)由题意知，X所有可能的取值为0，1，2，3，且X～H(10，3，3)， ∴P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P 均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝或E(X)＝＝. [答案]　(1)3　(2)略 [母题变式] 1．(变结论)本例(1)条件不变，重复5次投篮时，命中一次得3分，没有命中得0分，则5次投篮得分的均值为________． 解析　设投篮得分为η，则η＝3Y，所以E(η)＝E(3Y)＝3×3＝9. 答案　9 2．(变结论)本例(2)条件不变，若采用有放回抽取，则取出的3个球中红球个数ξ的均值为________． 解析　依题意得ξ～B，所以E(ξ)＝3×＝. 答案　 超几何分布和二项分布是两种重要的分布模型，在求分布列均值时，先判断是不是二项分布、超几何分布．若是，则可以直接有规律地写出分布列，直接用公式求出均值，可大大减少运算量，提高解题速度． [触类旁通] 2．(1)同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是(　　) A．20　　　　　　 B．25 C．30 D．40 (2)某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为________；取出的3件产品中次品的件数X的均值是________． 解析　(1)抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为＝，所以X～B. 故E(X)＝80×＝25. (2)从10件产品中任意抽取3件，则恰有一件次品的概率为＝. X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝， 故均值E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 答案　(1)B　(2)　 题型三　离散型随机变量均值的实际应用 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X. (1)求X的分布列； (2)求1件产品的平均利润(即X的均值)； (3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？ [解析]　(1)X的所有可能取值有6，2，1，－2. P(X＝6)＝＝0.63，P(X＝2)＝＝0.25， P(X＝1)＝＝0.1，P(X＝－2)＝＝0.02. 故X的分布列为 X 6 2 1 －2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34. (3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为 E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01 ＝4.76－x(0≤x≤0.29). 依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73， 解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%. [素养聚焦] 通过均值的实际应用，把数学运算、逻辑推理、数据分析核心与素养体现在解题过程中． 1．实际问题中的均值问题 均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计． 2．概率模型的三个解答步骤 (1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些； (2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值； (3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论． [触类旁通] 3．某人有10万元，有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息．买股票的收益取决于经济形势，假设可分为三种状态：形势好、形势中等、形势不好．若形势好可获利4万元，若形势中等可获利1万元，若形势不好要损失2万元．如果存入银行，假设年利率为8%，可得利息8000元，又假设经济形势好、中、差的概率分别为30%，50%，20%.试问应选择哪一种方案，可使投资的效益较大？ 解析　设购买股票的收益为ξ，则ξ的分布列为 ξ 40 000 10 000 －20 000 P 0.3 0.5 0.2 所以，期望E(ξ)＝40 000×0.3＋10 000×0.5＋(－20 000)×0.2 ＝13 000＞8000.故购买股票的投资效益较大． [缜密思维提能区]　易错辨析 求随机变量的均值 甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，规定有人先胜三局比赛结束，则比赛局数X的均值为________． [错解]　由题意可知，X的所有可能取值为3，4，5. P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝C×××＝， P(X＝5)＝C×××＝， 所以X的分布列为 X 3 4 5 P 所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝. [答案]　 [正解]　由题意可知，X的所有可能取值是3，4，5. P(X＝3)＝C×＋C×＝， P(X＝4)＝C×××＋C××＝， P(X＝5)＝C×××＋C×××＝. 所以X的分布列为 X 3 4 5 P 从而，E(X)＝3×＋4×＋5×＝. [答案]　 [纠错心得] 1．本题错误的原因是误认为X的概率就是甲胜的概率． 2．在解决随机变量的均值时，认清随机变量X的含义，不能判断有误，例如本题X＝3时，包含两层意思：甲连胜三局或乙连胜三局． 知识落实 技法强化 1．离散型随机变量的均值的定义及性质． 2．常见的两点分布、二项分布、超几何分布的均值． 1．由随机变量的均值(数学期望)的定义知，离散型随机变量的均值(数学期望)与它本身有相同的单位． 2．E(X)是一个常数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述的是X取值的平均水平． 3．如果随机变量服从二项分布、超几何分布，可直接利用公式计算均值． $$