4.2.3 二项分布与超几何分布(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

4.2.3　二项分布与超几何分布 第四章　概率与统计 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 伯努利试验 伯努利试验 次数 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 X～B(n，p) 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 t＋1，…，s 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第四章　概率与统计 1 谢谢观看 栏目导航 第四章　概率与统计 1 学业标准 素养目标 1．理解n次独立重复试验的模型． 2．理解二项分布与超几何分布． (难点) 3．能利用独立重复试验的模型、二项分布以及超几何分布解决一些简单的实际问题．(重点) 1．通过学习独立重复试验、二项分布以及超几何分布的概念，培养数学抽象等核心素养． 2．借助独立重复试验的模型、二项分布以及超几何分布的应用，提升逻辑推理、数学运算核心素养． 导学1　n次独立重复试验与二项分布 研究抛掷硬币结果的规律时，需要做大量的掷硬币的试验，在n次重复掷硬币的过程中．各次试验的结果会受其他试验的结果的影响吗？P(A1A2…An)与P(A1)P(A2)…P(An)之间有什么样关系(其中Ai(i＝1，2，3，…，n)是第i次的实验结果)? [提示]　各次试验的结果都不会受其他实验结果的影响，P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An). ◎结论形成 1．n次独立重复试验 (1)在相同条件下重复n次_______________时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次_______________也常称为n次独立重复试验． (2)在n次独立重复试验中，人们经常关心的是“成功”出现的______． 2．二项分布 (1)如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X则X的取值范围是{0，1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝_________________________． Cpkqn－k，k＝0，1，…，n (2)X的分布列： X 0 1 … k … n P Cp0qn Cp1qn-1 … Cpkqn－k … Cpnq0 注意到上述X的分布列第二行的概率值都是(q＋p)n的展开式Cp0qn＋Cp1qn-1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中对应项的值，因此称X服从参数n，p的二项分布，记作____________． 导学2　超几何分布 某校组织一次认识大自然的夏令营活动，有10名同学参加，其中6名男生，4名女生，现要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本． (1)抽取的人中恰好有1名女生的概率是多少？ (2)设抽取的人中女生有X名，写出X的分布列． [提示]　(1)P＝＝. (2)X的取值范围是{0，1，2，3}， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. X的分布列为 X 0 1 2 3 P ◎结论形成 　超几何分布 若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M<N)，从所有的物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(n≤N－M)时取0，否则t取n 减乙类物品件数之差[即t＝n－(N－M)]，而且P(X＝k)＝____________ _____________，这里称X服从参数为N，n，M的超几何分布，记作X～H(N，n，M). ，k＝t， 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有放回地抽样试验是独立重复试验．(　　) (2)在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互没有影响．(　　) (3)在n次独立重复试验中，各次试验中事件发生的概率可以不同．(　　) (4)如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.(　　) 解析　(1)因为有放回的试验是在相同的条件下重复进行的试验，所以它是独立重复实验． (2)由独立重复试验的定义可知：在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互没有影响． (3)由独立重复试验的定义可知：在n次独立重复试验中，各次试验中事件发生的概率是相同的． (4)由独立重复试验的概率公式可知，该命题正确． 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．若X～B(10，0.8)，则P(X＝8)等于(　　) A．C×0.88×0.22　　 B．C×0.82×0.28 C．0.88×0.22 D．0.82×0.28 解析　X服从二项分布，所以P(X＝8)＝C×0.88×0.22. 答案　A 3．某运动员在比赛时罚球命中率为90%，则他在3次罚球中罚失1次的概率是________． 解析　设随机变量X表示“3次罚球，中的次数”，则X～B(3，0.9)，所以他在3次罚球中罚失1次的概率为P(X＝2)＝C0.92×(1－0.9)＝0.243. 答案　0.243 4．在一个口袋中装有20个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同．游戏者一次从中摸出5个球．摸到4个红球就中一等奖，那么中一等奖的概率是多少？ 解析　设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，其中参数N＝20，M＝10，n＝5，于是中一等奖的概率为P(X＝4)＝＝≈0.135. 题型一　求独立重复试验的概率　一题多变 (1)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． (2)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果需用分数作答) ①求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率； ②求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率． [解析]　(1)第四局甲第三次获胜，并且前三局甲获胜两次，所以所求的概率为P＝C××＝. (2)①记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P(A1)＝1－P()＝1－＝. ②记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝C×＝，P(B2)＝C××＝，由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝×＝. [答案]　(1)A　(2)略 [母题变式] 1．(变结论)本例(2)中，条件不变，求甲、乙均击中目标1次的概率． 解析　记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则P(A3)＝C××＝，P(B3)＝C××＝，所以甲、乙均击中目标1次的概率为P(A3B3)＝×＝. 2．(变结论)本例(2)中，条件不变，求甲未击中，乙击中2次的概率． 解析　记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4，则P(A4)＝C＝，P(B4)＝C＝，所以甲未击中，乙击中目标2次的概率为P(A4B4)＝×＝. [素养聚焦] 通过求n重伯努利试验的概率问题，把逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 独立重复试验概率求解的关注点 (1)判断：首先要判断问题中涉及的试验是否为独立重复试验，在独立重复试验中，每次试验结果只有两种可能，即要么A发生，要么A不发生． (2)公式：公式P(X＝k)＝Cpk·(1－p)n－k就是[(1－p)＋p]n展开式中的第k＋1项． (3)关键词：解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”和“不都发生”等词语的意义． [提醒]　解此类题常用到互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．当事件所含情况较多时，常用对立事件的概率进行计算． [触类旁通] 1．甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为，没有平局． (1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率是多少？ (2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？ 解析　(1)甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜，则p＝＋C×××＝. (2)甲前三局胜；或甲第四局胜，而前三局仅胜两局；或甲第五局胜，而前四局仅胜两局，则p＝＋C×××＋C×××＝. 题型二　二项分布问题　一题多解 (1)已知X～B，则P(X＝2)＝________． (2)某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财务培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． ①任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； ②任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列． [解析]　(1)P(X＝2)＝C＝. (2)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B.由题设知，事件A与B相互独立，有P(A)＝0.6，P(B)＝0.75. ①法一　任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是P1＝P(　)＝P()P()＝0.4×0.25＝0.1，所以该人参加过培训的概率是P2＝1－P1＝1－0.1＝0.9. 法二　任选1名下岗人员，该人参加过一项培训的概率是P3＝P(A)＋P(B)＝0.6×0.25＋0.4×0.75＝0.45.该人参加过两项培训的概率是P4＝P(AB)＝0.6×0.75＝0.45.所以该人参加过培训的概率是P5＝P3＋P4＝0.45＋0.45＝0.9. ②因为每个人对培训项目的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布B(3，0.9)，P(ξ＝k)＝C×0.9k×0.13-k，k＝0，1，2，3，即ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 [答案]　(1)　(2)略 解决二项分布问题的两个关注点 (1)对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，必须在满足“独立重复试验”时才能应用，否则不能应用该公式． (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． [触类旁通] 2．一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. (1)设ξ为这名学生在途中遇到的红灯次数，求ξ的分布列； (2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列． 解析　(1)将遇到每个交通岗看作一次实验，遇到红灯的概率都是，且每次试验结果相互独立，故ξ～B. 所以P(ξ＝k)＝C··(k＝0，1，2，…，6). ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 6 P (2)η＝k(k＝0，1，2，…，5)表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k＋1个路口遇上红灯，其概率为P(η＝k)＝·，η＝6表示一路没有遇上红灯，故其概率为P(η＝6)＝，所以η的分布列为 η 0 1 2 3 4 5 6 P 题型三　超几何分布 (1)(多选题)有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量服从超几何分布的是(　　) A．X表示取出的最大号码 B．Y表示取出的最小号码 C．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分 D．η表示取出的黑球个数 (2)某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数． ①请列出X的分布列； ②根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率． [解析]　(1)超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n次的试验次数，由此可知C，D服从超几何分布． (2)①依题意得，随机变量X服从超几何分布， 随机变量X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4. P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3，4. ∴所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P ②由分布列可知至少选3名男生， 即P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝. [答案]　(1)CD　(2)略 解决超几何分布问题的两个关键点 (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆． (2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列． [触类旁通] 3．从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动． (1)求所选3人中恰有一名男生的概率； (2)求所选3人中男生人数ξ的分布列． 解析　(1)所选3人中恰有一名男生的概率P＝＝. (2)ξ的可能取值为0，1，2，3. P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝. ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P [缜密思维提能区]　易错辨析 求独立重复试验的概率 在未来3天中，某气象台预报每天天气的准确率为0.8，则在未来3天中， (1)至少有2天预报准确的概率是多少？ (2)至少有一个连续2天预报都准确的概率是多少？ [错解]　(1)0.8×0.8×0.2＋0.8×0.8×0.8＝0.64.所以至少2天预报准确的概率为0.64； (2)0.8×0.8×0.2＋0.8×0.8×0.8＝0.64， 所以至少有一个连续2天预报都准确的概率为0.64. [正解]　(1)至少有2天预报准确的概率为恰有2天和恰有3天预报准确的概率，即C×0.82×0.2＋C×0.83＝0.896.所以至少有2天预报准确的概率为0.896； (2)至少有一个连续2天预报都准确，即为恰有一个连续2天预报准确或3天预报准确，概率为2×0.82×0.2＋0.83＝0.768.所以至少有一个连续2天预报都准确的概率为0.768. [纠错心得] 1．错因：对“至少有2天预报准确”和“至少有一个连续2天”理解有误，对题意分析不够透彻． 2．解题时准确把握“恰有”“至少有”等含义，根据题意确定事件发生的次数和事件发生的概率，再结合题中条件求解． 知识落实 技法强化 1．n次独立重复试验． 2．二项分布． 3．超几何分布． 1．二项分布与超几何分布的关系 在n次试验中，某事件A发生的次数X服从超几何分布或二项分布． 区别：①当这n次试验是n重伯努利试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；②当n次试验不是n重伯努利试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布． 联系：在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，超几何分布可近似转化成二项分布；超几何分布与二项分布的均值相同． 2．当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p. $$