4.2.2 离散型随机变量的分布列(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

4.2.2　离散型随机变量的分布列 第四章　概率与统计 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 已知的 离散型随机变量X的概率分布或分布列 p1 p2 pk pn 栏目导航 第四章　概率与统计 1 0 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 1－p 栏目导航 第四章　概率与统计 1 两点分布 伯努利分布 成功概率 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第四章　概率与统计 1 谢谢观看 栏目导航 第四章　概率与统计 1 学业标准 素养目标 1．理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质． 2．会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点) 3．理解两点分布及其推导过程，并能简单的运用．(难点) 1．通过离散型随机变量及其分布列的概念与性质的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助分布列的求法，主要提升逻辑推理、数学运算核心素养． 导学1　离散型随机变量的分布列 已知随机变量取值范围是{0，1，2}，而且P(X＝0)＝0.2，P(X＝1)＝0.3，P(X＝2)＝0.5. (1)求出P(－1≤X≤1)与P(1≤X≤2)； (2)如果a，b是给定的实数，则P(a≤X≤b)一定可以算出来吗？ [提示]　(1)－1≤X≤1等价于X＝0或X＝1， 又因为X＝0与X＝1互斥， 所以P(－1≤X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.3＝0.4， 同理P(1≤X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.3＋0.5＝0.8. (2)可以．P(a≤X≤b)等于a≤X≤b内符合条件的概率之和． ◎结论形成 1．离散型随机变量的分布列 若离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是_________，则称X的概率分布是已知的，离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为____________________________________． X x1 x2 … xk … xn P ____ ____ … ____ … ____ 2．离散型随机变量的分布列满足的条件 (1)pk≥___，k＝1，2，…，n； (2)pk＝p1＋p2＋…＋pn＝____． 3．当X与Y都是离散型随机变量而且Y＝aX＋b(a≠0)时，X与Y的分布列如下表． X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn Y＝ax＋b ax1＋b ax2＋b … axk＋b … axn＋b P p1 p2 … pk … pn [点睛]　离散型随机变量的分布列类似于函数，也有三种表示形式，即解析式、表格和图象，但离散型随机变量的分布列多是用表格或解析式表示． 导学2　两点分布 篮球运动员罚球规则：命中的1分，不中的0分，某运动员罚球命中的概率是P，X表示罚球一次得分，则X分布列是什么？ [提示]　 X 1 0 P p 1－p ◎结论形成 1．两点分布 一般地，如果随机变量的分布列能写成表格： X 1 0 P p _______ 则称这个随机变量服从参数为p的两点分布(或0－1分布). 2．伯努利试验：一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验．不难看出，如果将伯努利试验的结果分别看成“成功”与“不成功”，并设“成功”出现的概率为p，一次伯努利试验中“成功”出现的次数为X，X服从参数为p的____________，因此两点分布也常称为_______________，两点分布中的参数p也常称为____________． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(　　) (2)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究．(　　) (3)从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X本，则X服从两点分布．(　　) (4)某个随机变量的分布列是(　　) X －2 0 2 P 0.5 0.2 0.3 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．设离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P p 则p的值为(　　) A．　 　 B． C． D． 解析　p＝1－－－＝. 答案　C 3．若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 2a 3a 则a＝(　　) A． B． C． D． 解析　由离散型随机变量分布列的性质可知， 2a＋3a＝1，所以a＝. 答案　A 4．某人投篮的命中率是不命中概率的3倍，以随机变量X表示1次投篮的命中次数，则P(X＝1)＝________． 解析　设不命中的概率为p，则命中的概率为3p，p＋3p＝1，p＝.所以P(x＝1)＝3P＝. 答案　 题型一　分布列的性质及应用 设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1，2，3，4，5). (1)求常数a的值； (2)求P； (3)求P. [解析]　由题意，得分布列为 X P a 2a 3a 4a 5a (1)由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1， 解得a＝. (2)P＝P＋P＋P＝＋＋＝. (3)∵＜X＜，∴X＝或或. ∴P＝P＋P＋P＝＋＋＝. 1．利用分布列的性质检验分布列的正确性 利用性质1和性质2都可以检验分布列的正确性，例如各个概率值都小于或等于1；所有的概率之和必须等于1. 2．因为离散型随机变量在某一范围内的取值，可能包含有n个值，而它们所对应的事件互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率． [触类旁通] 1．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：(1)2X＋1的分布列； (2)|X－1|的分布列． 解析　由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1， ∴m＝0.3. 首先列表为 X 0 1 2 3 4 2X＋1 1 3 5 7 9 |X－1| 1 0 1 2 3 从而由上表得到以下两个分布列： (1)2X＋1的分布列为 2X＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)|X－1|的分布列为 |X－1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 题型二　随机变量的分布列　一题多变 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码． (1)求X的分布列； (2)求X的取值不小于4的概率． [解析]　(1)随机变量X的可能取值为3，4，5，6， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝， P(X＝6)＝＝， 所以随机变量X的分布列为 X 3 4 5 6 P (2)X的取值不小于4的概率为 P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6) ＝＋＋＝. [母题变式] 1．(变条件)本例中“若X表示取出球的最小号码”，求X的分布列． 解析　随机变量X的可能取值为1，2，3，4. P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， 所以，X的分布列为 X 1 2 3 4 P 2.(变结论)本例条件不变，求X的取值不大于4的概率． 解析　P(X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝＝. [素养聚焦] 通过求离散型的随机变量的分布列，数学运算、逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 求离散型随机变量的分布列的步骤 (1)找出随机变量X的所有可能的取值xi(i＝1，2，…)，并确定X＝xi的意义； (2)借助概率知识求出随机变量X取每一个值时的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)； (3)列成表格的形式． [注意]　在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减小运算量，还可以验证分布列是否正确． [触类旁通] 2．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品． (1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验，求至少有1件是合格品的概率； (2)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定商家从这20件产品中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数ξ的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率． 解析　(1)记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A，用对立事件来算，有P(A)＝1－P()＝1－0.24＝0.998 4； (2)ξ可能的取值为0，1，2， P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率P＝1－P(B)＝1－＝， 所以商家拒收这批产品的概率为. 题型三　两点分布 袋中有红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量X，才能使X满足两点分布，并求分布列． [解析]　从含有10个红球，5个白球的袋中摸出2个球，其结果是随机的，可能是一红一白、两红、两白三种情况，为此我们定义随机变量如下：X＝ 则X显然服从两点分布，且P(X＝1)＝＝， ∴P(X＝0)＝1－＝， ∴X的分布列为 X 0 1 P 两点分布中只有两个对应的结果，因此在解答此类问题时，应先分析变量是否满足两点分布的条件，然后借助概率的知识，给予解决． [触类旁通] 3．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列． 解析　抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况． P(X＝1)＝＝＝， 则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝. 因此X的分布列为 X 0 1 P [缜密思维提能区]　易错辨析 离散型随机变量的性质 设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为 ξ －1 0 1 P 1－2q q2 (1)求q的值； (2)求P(ξ<0)，P(ξ≤0). [错解]　(1)由分布列的性质，得＋(1－2q)＋q2＝1，所以q＝1±. (2)P(ξ<0)＝P(ξ＝－1)＝， P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0) ＝＋1－2＝－或－－. [正解]　(1)由分布列的性质，得 0≤1－2q≤1，0≤q2≤1，＋(1－2q)＋q2＝1， 所以q＝1－. (2)P(ξ<0)＝P(ξ＝－1)＝， P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＝＋1－2＝－. [纠错心得] 1．错因是忽视了Pi≥0(i＝1，2，3，…，n)这一性质． 2．根据分布列的性质求解时，两条性质：Pi≥0(i＝1，2，3，…，n)，pi＝1，缺一不可． 知识落实 技法强化 1．离散型随机变量的分布列及性质． 2．两点分布． 1．离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况． 2．两点分布：两点分布是很简单的一种概率分布，两点分布的试验结果只有两种可能，要注意成功概率的值指的是哪一个量． $$