4.2.1 随机变量及其与事件的联系(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

4.2　随机变量 4.2.1　随机变量及其与事件的联系 第四章　概率与统计 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 每一个样本点 唯一确定 所有可能的取值组成的集合 栏目导航 第四章　概率与统计 1 互斥 P(X≤a)＋P(X>a)＝1 一一列举出来的 一个区间 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 P(Y＝at＋b) 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第四章　概率与统计 1 谢谢观看 栏目导航 第四章　概率与统计 1 学业标准 素养目标 1．理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重点) 2．了解随机变量与事件的联系． (易混点) 3．利用随机变量之间的关系求随机变量表示的事件概率． 1．通过学习随机变量及离散型随机变量的概念，培养数学抽象等核心素养． 2．通过随机变量表示事件及事件概率的应用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． 导学1　随机变量的概念 抛一枚均匀的骰子，样本空间为Ω，设朝上的点数为X. (1)用列举法写出样本空间； (2)写出X的取值范围； (3)X≥5表示什么事件？ [提示]　(1)Ω＝{1，2，3，4，5，6}． (2)X的取值范围{1，2，3，4，5，6}． (3)X≥5表示朝上的点数为5，6中的某一个． ◎结论形成 1．随机变量及表示：如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的__________________，变量X都对应有____________的实数值，就称X为一个随机变量，随机变量一般用大写英文字母X，Y，Z，…或小写的希腊字母ξ，η，ζ，…表示． 2．随机变量的取值范围：随机变量__________________________，称为这个随机变量的取值范围．随机变量的取值由随机试验的结果决定． 3．随机变量表示事件及事件的概率：如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X>b等都表示事件，而且： (1)当a≠b时，事件X＝a与X＝b______； (2)事件X≤a与X>a相互对立，因此___________________． 4．离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值，都是可以_____________________，它们都是离散型的随机变量．与离散型随机变量对应的是连续型随机变量，一般来说，连续型随机变量的取值范围包含____________． [拓展]　 (1)随机变量可将随机试验的结果数量化，有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但也可以用数来表示，如掷一枚硬币，X＝0表示正面向上，X＝1表示反面向上． (2)试验结果和实数之间的对应关系产生了随机变量，随机变量的不同取值对应着试验的不同结果，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数，这些数是预先知道的可能值，但不知道究竟是哪一个值，这便是“随机”的本源． [提示]　{0，10，20，30，…，500}． 导学2　随机变量之间的关系 (1)X是一个随机变量，那么Y＝10X是随机变量吗？ [提示]　是． (2)X的取值范围是{0，1，2，3，…，50}，Y的取值范围是多少？ ◎结论形成 如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量，由于X＝t的充要条件是Y＝at＋b，因此，P(X＝t)＝________________． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的取值是任意的实数．(　　) (2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(　　) (3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．(　　) (4)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．(　　) 解析　(1)错误，离散型随机变量的取值，是指试验结果对应的实数，而不是任意的实数． (2)正确，因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个． (3)错误，由离散型随机变量的定义可知它的取值能够一一列出，因此离散型随机变量的取值是任意的实数的说法错误． (4)正确，因为掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0，1. 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，不放回地从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为(　　) A．1，2，3，…，6　　　 B．1，2，3，4，5，6，7 C．0，1，2，…，5 D．1，2，3，4，5 解析　由于取到白球游戏结束，那么取球次数可以是1，2，3，…，7，故选B. 答案　B 3．下列随机变量不是离散型随机变量的是________． ①某景点一天的游客数X； ②某手机一天内收到呼叫次数X； ③水文站观测到江水的水位数X； ④某收费站一天内通过的汽车车辆数X. 解析　①②④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定的次序一一列出，因此都是离散型随机变量；③中X可以取一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故③不是离散型随机变量． 答案　③ 4．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为________． 解析　甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次． 答案　0，1，2，3 题型一　随机变量的概念 (多选题)下列变量是随机变量的是(　　) A．在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数 B．一台机器在一段时间内出现故障的次数 C．某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数 D．方程x2－2x－3＝0的实根个数 [解析]　随机变量的定义为在一个随机试验中，其结果有多种可能，选项ABC都符合随机变量的定义，故ABC都正确；方程x2－2x－3＝0的实根个数是2，是确定的，不是随机变量，故D错误．故选ABC. [答案]　ABC 对随机变量的理解 随机变量其实是一种映射，是随机试验结果到实数之间的映射，因此我们可以这样理解，随机试验的结果相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域． [触类旁通] 1．(多选题)下列各量是随机变量的是(　　) A．掷两次骰子，两次结果的和 B．2022年高考中，某考生解答Ⅰ卷所用的时间 C．长途客运总站候车厅中一天的旅客数量 D．标准大气压下，水沸腾的温度 解析　A.掷两次骰子，两次结果的和可能是2，3，4，…，12，出现哪一个结果都是随机的，是随机变量．B.解答Ⅰ卷所用时间在(0，120](单位：min)的范围之内，是随机变量．C.候车厅中旅客数量可能是0，1，2，…出现哪个结果是随机的．因此是随机变量．D.标准大气压下，水沸腾的温度是定值，不是随机变量．故选ABC. 答案　ABC 题型二　随机变量的可能取值及试验结果　一题多变 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X； (2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X. [解析]　(1)X＝0表示取5个球全是红球； X＝1表示取1个白球，4个红球； X＝2表示取2个白球，3个红球； X＝3表示取3个白球，2个红球． (2)X＝3表示取出的球编号为1，2，3. X＝4表示取出的球编号为1，2，4；1，3，4或2，3，4. X＝5表示取出的球编号为1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5或3，4，5. [母题变式] 1．(变条件、变结论)在本例(1)条件下，规定取出一个红球赢2元，而每取出一个白球输1元，以ξ表示赢得的钱数，结果如何？ 解析　ξ＝10表示取5个球全是红球； ξ＝7表示取1个白球，4个红球； ξ＝4表示取2个白球，3个红球； ξ＝1表示取3个白球，2个红球． 2．(变结论)本例(2)中，“最大”改为“最小”，其他条件不变，应如何解答？ 解析　X可取1，2，3. X＝3表示取出的3个球的编号为3，4，5； X＝2表示取出的3个球的编号为2，3，4或2，3，5或2，4，5； X＝1表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或1，2，4或1，3，4或1，2，3. [素养聚焦] 通过随机变量表示试验结果，把数学抽象、数据分析等核心素养体现在解题过程中． 用随机变量表示随机试验的结果的关键点和注意点 (1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果． (2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果. [触类旁通] 2．某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分.设该车间在这两天内总得分为ξ，写出ξ的可能取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果． 解析　ξ的可能取值为0，1，2.ξ＝0表示在两天检查中均发现了次品；ξ＝1表示在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品；ξ＝2表示在两天检查中都没有发现次品． 题型三　随机变量之间的关系 某公司的员工是按照下述方式获取税前的月工资：底薪1000元，设工作1 h再获得40元，从该公司员工中任意抽取一名用Y表示所获月工资(单位：元)(x为工作小时数). (1)当X＝90时，求Y的值； (2)写出X与Y之间的关系式； (3)若P(Y>5600)＝0.18，求P(X≤115)的值． [解析]　(1)当X＝90时，表示工作了90小时， 所以Y＝90×40＋1000＝4600. (2)根据题意有Y＝40X＋1000. (3)Y>5600⇔40X＋1000>5600⇔X>115， 所以P(Y>5600)＝P(X>115)＝0.18， 从而P(X≤115)＝1－P(X>115)＝0.82. X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量，因此已知一个量(或范围)就可以利用X与Y的关系求得另一个量(或范围)，再根据事件之间的概率关系利用P(X≤a)＋P(X>a)＝1求得概率． [触类旁通] 3．(1)随机变量X的取值范围是{1，2，3，4，5}，且Y＝2X＋1，则Y的取值范围是________． (2)已知Y＝35X＋500，且P(X>70)＝0.27，则P(Y≤2950)＝________． 解析　(1)因为X的取值范围是{1，2，3，4，5}，且Y＝2X＋1，所以Y的取值范围{3，5，7，9，11}． (2)因为X>70⇔Y＞35×70＋500＝2950， 所以P(Y>2950)＝P(X>70)＝0.27， 所以P(Y≤2950)＝1－P(Y＞2950)＝0.73. 答案　(1){3，5，7，9，11}　(2)0.73 [缜密思维提能区]　易错辨析 求随机变量的范围及概率 袋中有7个球，其中4个红球，3个黑球，从袋中取3个球，X是红球个数，X是个随机变量，写出X的取值范围，并求出相应的概率． [错解]　由已知得X的取值范围是{1，2，3}， P(X＝1)＝＝； P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝. [正解]　由已知得X的取值范围是{0，1，2，3}， P(X＝0)＝＝； P(X＝1)＝＝； P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝. [纠错心得] 1．在错解中因为＋＋＝≠1，可知道解错了，错的原因是把X的取值范围求错了，X的取值没有找全． 2．在解决关于随机变量的取值范围时一定要找全，不能遗漏或者多了，检测可以利用概率的和为1来判断． 知识落实 技法强化 1．随机变量的概念． 2．随机变量之间的关系． 1．随机变量是试验结果和实数之间的一个对应关系，就是将试验的结果数量化，变量的每个取值对应随机试验的某一个随机事件． 2．写随机变量表示的结果，要看三个特征． (1)可用数来表示． (2)试验之前可以判断其可能出现的所有值． (3)试验之前不能确定取值． $$