4.1.2 乘法公式与全概率公式(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

4.1.2　乘法公式与全概率公式 第四章　概率与统计 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 P(A)P(B|A) A与B同时发生 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第四章　概率与统计 1 谢谢观看 栏目导航 第四章　概率与统计 1 学业标准 素养目标 1．理解乘法公式和全概率公式． (重点) 2．了解贝叶斯公式及其简单应用． 3．能利用乘法公式和全概率公式解决简单的实际问题．(重点、难点) 1．通过乘法公式、全概率公式的推导，培养逻辑推理、数学抽象等核心素养． 2．通过乘法公式、全概率公式的实际应用，主要提升数学建模、数学运算、核心素养． 导学1　乘法公式 在P(B|A)，P(BA)，P(A)这三者中，如果已知P(A)与P(B|A)，能不能求出P(BA)? [提示]　能，P(BA)＝P(A)·P(B|A). ◎结论形成 乘法公式：由条件概率的计算公式P(B|A)＝可知P(BA)＝___________． 这就是说，根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出_________________的概率，这个结论称为乘法公式． [拓展]　若Ai表示事件，i＝1，2，3，且P(A1)＞0，P(A1A2)＞0.则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)，其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，而P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率． 导学2　全概率公式 甲乙两人参加抽奖，有50张奖券，其中共有5张写有“中奖”字样，假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，乙中奖的概率是多少？ [提示]　设A表示甲中奖，B表示乙中奖，乙中奖分两种情况：甲中奖且乙中奖，甲没中奖且乙中奖，即B＝BA＋B.P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)＝＋＝. ◎结论形成 1．一般地，如果样本的空间为Ω，而A，B为事件，则BA与B是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋)＝BA＋B，从而P(B)＝P(BA＋B)＝______________． P(BA)＋P(B) 2．全概率公式 (1)特殊：当P(A)>0且P()>0时，由乘法公式有 P(BA)＝P(A)P(B|A)， P(B)＝P()P(B|)， 所以P(B)＝_________________________，这称为全概率公式． P(A)P(B|A)＋P()P(B|) (2)一般：定理1若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，AiAj＝∅，i，j＝1，2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③P(Ai)>0.i＝1，2，…，n. 则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝P(BAi)＝_______________，这个公式也称为全概率公式． P(Ai)P(B|Ai) [点睛]　全概率公式是“由原因推结果”即事件B发生(结果发生)的可能性与各种情形的“作用”大小有关． 导学3　贝叶斯公式 某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率．或者问：该球取自哪号箱的可能性最大？这种问题的实质是什么？ [提示]　这一类问题是“已知结果求原因”．在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小． ◎结论形成 　贝叶斯公式 (1)特殊：一般地，当1>P(A)>0，且P(B)>0时，有P(A|B)＝ ＝_________________________． (2)一般：定理2，若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1，2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③0＜P(Ai)＜1，i＝1，2，…，n. 则对Ω中的任意概率非零的事件B，有 P(Aj|B)＝______________＝_________________． 上述公式也称为贝叶斯公式． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)事件A与B同时发生的概率，等于事件A发生的概率与事件B发生的条件下事件A发生的概率的乘积．(　　) (2)若P(A)＞0，P()＞0，则P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()P(B|).(　　) (3)若A1，A2，A3两两互斥，且P(A1)＞0，P(A2)＞0，P(A3)＞0，则P(B)＝P(Ai)P(B|Ai).(　　) (4)若A1∪A2∪A3＝Ω，且P(A1)＞0，P(A2)＞0，P(A3)＞0，则P(B)＝P(Ai)P(B|Ai).(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．若P(B|A)＝P(B)，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.3，则P(AB)＝(　　) A．0.018　　　　　 B．0.2 C．0.18 D．0.9 解析　由已知得P(B|A)＝P(B)＝0.3， ∵P(B|A)＝，∴P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.3×0.6＝0.18. 答案　C 3．设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)＝(　　) A． B． C． D． 解析　P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝， 由P(A|B)＝，得P(B)＝＝＝. 答案　B 4．某种产品，优质品率为90%，优质品中，包装达标的占95%，非优质品中，包装达标的占80%，随机取一件，发现包装是达标的，则这一件产品是优质品的概率为________． 解析　设A表示优质品，B表示包装达标， 则表示不是优质品，由已知得 P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝. ∴P(AB)＝P(BA)＝P(A)·P(B|A) ＝×＝. P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()P(B|) ＝×＋×＝＋＝. P(A|B)＝＝. 答案　 题型一　乘法公式的应用 一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，先后两次不放回地从中随意各取一球，求两次取到的均为黑球的概率． [解析]　设Ai表示事件“第i次取到的是黑球”(i＝1，2)，则A1A2表示事件“两次取到的均为黑球”．由题设知P(A1)＝， P(A2|A1)＝，于是根据乘法公式， 有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝. 乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的求法，即当直接计算P(AB)不好计算时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解即可． [触类旁通] 1．某学校举办闯关比赛，已知某学生通过第一关的概率为0.8，在已知通过第一关的前提下通过第二关的概率为0.5，则该同学两关均通过的概率为________． 解析　设该学生通过第一关为事件A，通过第二关为事件B， 在通过第一关的前提下通过第二关的概率为P(B|A)， 由已知得P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5. 因为P(B|A)＝， 所以P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.5×0.8＝0.4. 答案　0.4 题型二　全概率公式的应用　一题多变 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为30%，20%，50%，且三家工厂的次品率分别为3%，3%，1%，试求：市场上该品牌产品的次品率． [解析]　假设A：买到一件次品； B1，B2，B3分别表示买到一件甲厂、乙厂、丙厂的产品． P(A)＝P(AB1)＋P(AB2)＋P(AB3) ＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3) ＝0.3×0.03＋0.2×0.03＋0.5×0.01＝0.02. [母题变式] 1．(变条件、变结论)三家工厂的市场占有率分别为15%，80%，5%，且三家工厂的次品率分别为2%，1%，3%，市场的占有率是多少？ 解析　P(B1)＝0.15，P(B2)＝0.80，P(B3)＝0.05， P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01， P(A|B3)＝0.03. P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.012 5. 2．(变结论)本例条件不变，则买到一件次品恰好是甲厂的概率是多少？ 解析　P(B1|A)＝＝＝0.45. [素养聚焦] 通过全概率公式的应用，使数学运算、数学建模等核心素养体现在解题过程中． 全概率公式的基本思想是把一个未知的复杂事件分解为若干个已知的简单事件再求解，而这些简单事件组成一个互不相容事件组，使得某个未知事件A与这组互不相容事件中至少一个同时发生，故在应用此全概率公式时，关键是要找到一个合适的S的一个划分． [触类旁通] 2．设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，由营业员任取一箱，经顾客开箱随机查看4只，若无次品，则买此箱玻璃杯，否则退回．试求顾客买下此箱玻璃杯的概率． 解析　记A：顾客买下所察看的一箱玻璃杯， Bi：箱中有i件次品(i＝0，1，2)， 由题设知，P(B0)＝0.8，P(B1)＝P(B2)＝0.1， P(A|B0)＝1，P(A|B1)＝＝， P(A|B2)＝＝， 由全概率公式知P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝0.8＋＝. 题型三　贝叶斯公式的应用 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率． [解析]　设B＝{中途停车修理}，A1＝{经过的是货车}，A2＝{经过的是客车}，则B＝A1B＋A2B，由贝叶斯公式有 P(A1|B)＝＝＝0.80. 贝叶斯公式是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率．贝叶斯公式在实际中有很多应用．它可以帮助人们确定某结果(事件B)发生的最可能原因． [触类旁通] 3．设验血诊断某种疾病的误诊率仅为5%，即若用A表示验血阳性，B表示受验者患病，则P(|B)＝P(A|)＝5%.若受检人群中仅有0.5%患此病，即P(B)＝0.005，则一个验血阳性的人确患此病的概率为________(结果保留3位小数). 解析　P(B|A)＝ ＝≈0.087. 答案　0.087 [缜密思维提能区]　易错辨析 概率公式的混用 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率是，若前两次未打破，第三次落下打破的概率是，试求透镜落下三次未打破的概率． [错解]　设B1＝{第一次落下未打破}，B2＝{第二次落下未打破}， B3＝{第三次落下未打破}， P(B)＝P(B1B2B3)＝P(B1)P(B2)P(B3)＝＝. [正解]　设Ai＝{透镜第i次落下打破}，i＝1，2，3， B＝{透镜落下三次未打破}，则B＝　　. P(B)＝P(　　) ＝P()P(|)·P(|　) ＝＝. [纠错心得] 1．出错的原因是方法的错误，没有准确理解在于后两次透镜打破是在前几次没有打破的情况下发生的，是有条件的． 2．解决概率的问题时一定要准确审题，不能凭着想象做题，准确分析后，找出适合的公式． 知识落实 技法强化 1．乘法公式． 2．全概率公式． 在利用公式计算概率时，容易错误判断事件之间的关系而导致用错公式． $$