4.1.1 条件概率(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

4.1　条件概率与事件的独立性 4.1.1　条件概率 第四章　概率与统计 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 P(A|B) 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 1 P(B|A)＋P(C|A) 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第四章　概率与统计 1 谢谢观看 栏目导航 第四章　概率与统计 1 学业标准 素养目标 1．了解条件概率的概念．(重点) 2．掌握一些简单的条件概率的计算． 3．能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．(难点) 1．通过对条件概率的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过条件概率公式的实际应用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． 导学　条件概率 三张奖券中有一张能中奖，现在分别有三位同学无放回地抽取： (1)最后一名同学抽到中奖券的概率是多少？ (2)如果知道第一名同学没有抽到中奖的奖券，那么最后一名同学抽到中奖券的概率是多少？ [提示]　(1)；(2). ◎结论形成 1．条件概率的定义 当事件B发生的概率大于0(即P(B)>0)时，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记为________． 2．条件概率公式 (1)当P(B)>0时，有P(A|B)＝__________． (2)当P(A)>0时，有P(B|A)＝__________． (3)P(B|A)与P(A|B)意义不同，由条件概率的定义可知P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率；而P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率． 3．条件概率的性质 设A，B，C都是事件且P(A)>0. (1)0≤P(B|A)≤1； (2)P(A|A)＝___； (3)如果B与C互斥，则P(B∪C|A)＝_______________． [拓展]　从集合角度理解条件概率 如图，用单位矩形来表示样本空间Ω，用矩形内封闭曲线围成的图形表示事件，把图形的面积理解为相应事件的概率，设A，B是Ω的子集． 条件概率P(B|A)＝，实际上是仅局限于A事件这个范围来考查B事件发生的概率．几何直观上，相当于B在A内的那部分AB在A中所占的比例. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)P(B|A)<P(AB).(　　) (2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．(　　) (3)P(A|A)＝0.(　　) (4)P(B|A)＝P(A|B).(　　) 解析　(1)因为P(B|A)＝≥P(AB)，所以P(B|A)<P(AB)是错误的． (2)由P(B|A)＝可知，事件A发生的条件下，事件B发生的概率，是AB发生的概率除以事件A发生的概率，所以事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生是正确的． (3)由条件概率的公式可知：P(A|A)＝＝＝1，所以P(A|A)＝0是错误的． (4)因为P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，而P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率．但两者不一定相等，所以P(B|A)＝P(A|B)是错误的． 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%，已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是(　　) A．0.2　　　　　　　 B．0.33 C．0.5 D．0.6 解析　记“数学不及格”为事件A，“语文不及格”为事件B，P(B|A)＝＝＝0.2，所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2. 答案　A 3．已知P(B|A)＝，P(AB)＝，则P(A)等于(　　) A． B． C． D． 解析　因为P(B|A)＝，所以P(A)＝＝＝. 答案　C 4．袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为________． 解析　记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才能取到黄球”为事件C，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝. 答案　 题型一　条件概率定义的理解及其应用 一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记“第一次抽到黑球”为事件A，“第二次抽到黑球”为事件B. (1)分别求事件A，B，A∩B发生的概率； (2)求P(B|A). [解析]　(1)由古典概型的概率公式可知，P(A)＝＝， P(B)＝＝＝， P(A∩B)＝＝. (2)P(B|A)＝＝＝. 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(A∩B)和P(A). (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中A∩B表示A，B同时发生． [触类旁通] 1．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一小组有学生10人，共青团员4人．从该班任选一人作学生代表． (1)求选到的是共青团员的概率； (2)求选到的既是共青团员又是第一小组学生的概率； (3)已知选到的是共青团员，求他是第一小组学生的概率． 解析　设“选到的是共青团员”为事件A， “选到的是第一小组学生”为事件B， 则“选到的既是共青团员又是第一小组学生”为事件A∩B. (1)P(A)＝＝. (2)P(A∩B)＝＝. (3)P(B|A)＝＝＝. 题型二　缩小样本空间法求条件概率　一题多变 (1)两台机床加工同一种机械零件如表： 合格品 次品 总计 甲机床加工的零件数 35 5 40 乙机床加工的零件数 50 10 60 总计 85 15 100 从这100个零件中任取一个零件，取得的零件是甲机床加工的合格品的概率是________． (2)集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率是________． [解析]　(1)这100个零件中，甲机床加工的有40个，乙机床加工的有60，从这100个零件中任取一个零件是甲机床加工的概率为＝，甲机床加工的合格品的概率为＝，所以取得零件是第一台车床加工的合格品的概率P＝×＝. 故答案为. (2)将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15个，在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9个，所以所求概率P＝＝. [答案]　(1)　(2) [母题变式] 1．(变结论)在本例(2)条件下，求乙抽到偶数的概率． 解析　在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1，2)，(1，4)，(1，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，共9个，所以所求概率P＝＝. 2．(变条件、变结论)在本例(2)中若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A). 解析　甲抽到的数大于4的情形有：(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5，2)，(6，1)，共2个． 所以P(B|A)＝＝. [素养聚焦] 在条件概率的求解过程中，体现了数学运算、逻辑推理核心素养． 缩小样本空间法求条件概率：此方法主要针对的是古典概型，首先明确是求“在谁发生的前提下谁的概率”，其次转换样本空间，即把给定事件A所含的样本点定义为新的样本空间，并找出事件A和事件AB所含的样本点数，最后利用公式P(B|A)＝计算． [触类旁通] 2．有甲、乙、丙、丁4名学生志愿者参加某志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加扫地、抬水、做饭3个项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每名志愿者只能参与其中一个项目，则在甲被安排扫地的条件下，乙也被安排扫地的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　设事件A表示“甲被安排扫地”，B表示“乙被安排扫地”， 在甲被安排扫地的条件下，乙也被安排扫地即在事件A发生的条件下，事件B发生， 故所求概率相当于以A为样本空间事件B发生的概率， 在缩小的样本空间中事件B发生就是积事件AB发生， 包含的样本点数n(AB)＝A＝2， 事件A发生包括两种情况：被安排扫地的志愿者有1人或被安排扫地的志愿者有2人， 所以事件A包含的样本点数n(A)＝CA＋A＝12， 所以在甲被安排扫地的条件下， 乙也被安排扫地的概率P(B|A)＝＝＝.故选A. 答案　A 题型三　条件概率的性质及其应用　一题多解 (1)一个袋中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率为(　　) A．　　　　　　 B． C． D． (2)在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若能答对其中的5道题就能获得优秀．已知某考生能答对其中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率． [解析]　(1)设事件A为“摸出第一个球为红球”，事件B为“摸出第二个球为黄球”，事件C为“摸出第二个球为黑球”． 法一　P(A)＝， P(AB)＝＝， P(AC)＝＝， 所以P(B|A)＝＝＝. P(C|A)＝＝＝. 所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝， 即所求概率为. 法二　n(A)＝1×C＝9，n(B∪C|A)＝C＋C＝5， 所以P(B∪C|A)＝＝. (2)设“该考生6道题全答对”为事件A，“该考生恰好答对了5道题”为事件B，“该考生恰好答对了4道题”为事件C，“该考生在这次考试中通过”为事件D，“该考生在这次考试中获得优秀”为事件E，则D＝A∪B∪C，E＝A∪B，且A，B，C两两互斥，由古典概型的概率公式知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝， 又AD＝A，BD＝B， 所以P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D) ＝＋＝＋＝＋＝. [答案]　(1)C　(2)略 利用条件概率性质的解题策略 (1)分析条件，选择公式：首先看事件B，C是否互斥．若互斥，则选择公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A). (2)分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率．再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率． [触类旁通] 3．若B，C是互斥事件且P(B|A)＝，P(C|A)＝，则P(B∪C|A)＝(　　) A． B． C． D． 解析　因为B，C是互斥事件， 所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝. 答案　D [缜密思维提能区]　易错辨析 条件概率的理解错误 抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，求出现的点数是奇数的概率． [错解]　令点数不超过4为事件A，点数为奇数为事件B， 则P(B|A)＝＝. [正解]　P(A)＝＝，P(AB)＝＝， 所以P(B|A)＝＝＝. [纠错心得] 1．把事件B|A误认为事件A∩B； 2．在解条件概率的问题时，一定要分清事件A∩B，B|A，以及事件A，B的关系，以防出现错误． 知识落实 技法强化 1．条件概率的定义． 2．条件概率公式． 1．条件概率是指在一定条件下发生的概率，是概率的一种，具有概率的一般性质． 2．利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)求解有些条件概率问题较为简捷，但应注意这个性质是在“B与C互斥”这一前提下才具备的，因此不要忽视这一条件而乱用这个公式． $$