3.3 第2课时 二项式系数的性质与杨辉三角(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

3.3　二项式定理与杨辉三角 第三章　排列、组合与二项式定理 第2课时　二项式系数的性质与杨辉三角 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 2n 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 1 两数之和 中间一项 中间两项 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 谢谢观看 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 学业标准 素养目标 1．理解和掌握二项式系数的性质，并能灵活运用性质解决有关问题．(难点) 2．了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力．(重点) 3．会用赋值法求展开式系数的和．(重点) 1．通过二项式系数的性质的学习，培养逻辑推理、数学抽象核心素养． 2．通过二项式系数性质的应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 导学1　二项式系数的性质 已知(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn. (1)当x＝1时，得到什么等式？ (2)当x＝－1时，得到什么等式？ [提示]　(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n. (2)C－C＋C－C＋…＋(－1)nC＝0. ◎结论形成 　二项式系数的性质 (1)C＋C＋…＋C＝____． (2)C＋C＋C＋…＝_______________． C＋C＋C＋… 导学2　杨辉三角 (a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式： (1)你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？ (2)计算每一行的系数和，你又看出什么规律？ [提示]　(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的二项式的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和． (2)2，4，8，16，32，64，…，其系数和为2n. ◎结论形成 　杨辉三角的性质 (1)每一行都是对称的，且两端的数都是___； (2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的____________； (3)二项式系数 C，C，C，…，C，C，C是先逐渐变大，再逐渐变小，当n是偶数时，____________的二项系数最大，当n是奇数时，____________的二项系数相等且最大． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列.(　　) (2)二项展开式的所有二项式系数和为C＋C＋…＋C.(　　) (3)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项).(　　) (4)二项展开式项的系数是先增后减的．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是(　　) A．1　　　　　　　 B．－1 C．215 D．315 解析　令x＝1即得各项系数和，∴各项系数和为－1. 答案　B 3．(1＋x)2n+1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是(　　) A．n，n＋1 B．n－1，n C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3 解析　因为2n＋1是奇数，所以中间两项，即第n＋1，n＋2项二项式系数最大． 答案　C 4．(2x－1)6展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________． 解析　令展开式左、右两边x＝1，得各项系数和为1；各二项式系数之和为26＝64. 答案　1　64 题型一　二项式系数的性质的应用　一题多变 (1)(2024·上海卷)在(x＋1)n的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中x2的系数为________． (2)(2024·天津高二检测)设(3x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4. ①求a0＋a1＋a2＋a3＋a4； ②求a0＋a2＋a4； ③求a1＋a2＋a3＋a4. [解析]　(1)由题意得2n＝32，所以n＝5，则(x＋1)5的通项Tk＋1＝Cx5-k1k，令5－k＝2，得k＝3，所以展开式中x2的系数为C＝10. (2)①令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16. ②令x＝－1得，a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256， 而由①知a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝16，两式相加可得a0＋a2＋a4＝136. ③令x＝0得a0＝(0－1)4＝1，得a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝16－1＝15. [答案]　(1)10　(2)略 [母题变式] (变结论)本例(2)条件不变，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|的值． 解析　 法一　(3x－1)4的展开式中，a0，a2，a4大于零，而a1，a3小于零， 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4| ＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3) ＝136＋120＝256. 法二　 因为|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|是(3x＋1)4展开式中各项的系数和． 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝44＝256. 二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N＋)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1). 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. [触类旁通] 1．(2025·北京卷)已知(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，则a0＝________；a1＋a2＋a3＋a4＝________． 解析　令x＝0，则a0＝1， 又(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4， 故(1－2x)4＝a0＋a1(－2x)＋a2(－2x)2＋a3·(－2x)3＋a4(－2x)4， 令t＝－2x， 则(1＋t)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4， 令t＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝24， 故a1＋a2＋a3＋a4＝15. 故答案为：1，15. 答案　1　15 题型二　杨辉三角形的应用 如图所示，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…记其前n项和为Sn，求S19的值． [解析]　S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C＋C)＝(2＋3＋4＋… ＋10)＋C＝＋220＝274. [素养聚焦] 通过对杨辉三角形的应用，直观想象、数学运算等核心素养在解题过程中得以体现． 解决与“杨辉三角”有关的问题的一般方法 [触类旁通] 2．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规 律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图所示，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第10行第9个数是(　　) A．9　　　　　　　 B．10 C．36 D．45 解析　由杨辉三角的性质得，第10行是由(a＋b)10展开式的二项式系数组成的，第9个数就是第9项的二项式系数C＝45.故选D. 答案　D 题型三　二项式定理的应用　多维探究 角度1　利用二项式定理证明整除(余数)问题 用二项式定理证明1110－1能被100整除． [解析]　1110－1＝(10＋1)10－1 ＝C1010＋C109＋C108＋…＋C·10＋C－1 ＝C·1010＋C·109＋C·108＋…＋102 ＝100(108＋C·107＋C·106＋…＋1)， 显然上式括号内的数是正整数，所以1110－1能被100整除． 利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除．因此，一般先将被除式化为含有相关除式的二项式，再展开，此时常采用“配凑法”“消去 法”，结合整除的有关知识来处理． 角度2　利用二次式定理近似计算 求0.9986的近似值，使误差小于0.001. [解析]　(1)0.9986＝(1－0.002)6 ＝1＋6×(－0.002)1＋15×(－0.002)2＋…＋(－0.002)6. ∵T3＝C×(－0.002)2＝15×(－0.002)2＝0.000 06<0.001，且第3项以后的绝对值都小于0.001，∴从第3项起，以后的项都可以忽略不计． ∴0.9986＝(1－0.002)6≈1－6×0.002＝0.988. 近似计算的处理方法 当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1＋a)n≈1＋na，因为这时展开式的后面部分Ca2＋Ca3＋…＋Can很小，可以忽略不计．但是使用这两个公式时应注意a的条件，以及对精确度的要求．若精确度要求较高，则可使用更精确的近似公式(1＋a)n≈1＋na＋a2等． [触类旁通] 3．(1)233除以9的余数是(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 (2)1.9975精确到0.001的近似值为________． 解析　(1)233＝(9－1)11 ＝911－C·910＋C·99－…＋C·9－1 ＝9×(910－C99＋…＋C－1)＋8， ∴233除以9的余数是8，故选A. (2)1.9975＝(2－0.003)5≈25－C×0.003×24＋C×0.0032×23 ＝32－0.24＋0.000 72≈31.761. 答案　(1)A　(2)31.761 [缜密思维提能区]　易错辨析 二项式系数的性质的综合应用 在(3x－2y)20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项． [解析]　(1)二项式系数最大的项是第11项． T11＝C·310·(－2)10x10y10＝C·610x10y10. (2)设系数绝对值最大的项是第k＋1项，于是 化简得① 解得7≤k≤8. 因为k∈N，所以k＝8，② 即T9＝C·312·28x12y8是系数绝对值最大的项． (3)由于系数为正的项为奇数项， 于是结合(2)可知系数最大的项为第9项． T9＝C·312·28x12y8. [纠错心得] 1．解决二项展开式中系数最大的项或二项式系数最大的项的方法是解不等式(组)或利用结论，在此过程中要提升数学运算等核心素养，保证计算的正确性． 2．区分开二项式系数与项的系数． 3．求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中k∈{0，1，2，…，n}． 知识落实 技法强化 1．二项式系数的性质． 2．杨辉三角的简单性质． 1．赋值法是求展开式系数和的常用方法，一般对字母赋的值为0，1或－1. 2．求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况进行判断．一般采用列不等式、解不等式的方法求解． $$