3.2 数学探究活动：生日悖论的解释与模拟(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

3.2　数学探究活动：生日悖论 的解释与模拟 第三章　排列、组合与二项式定理 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 50% 90% 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 谢谢观看 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 学业标准 素养目标 1．了解生日悖论的解释和意义． 2．通过活动的模拟，强化学生之间的交流和合作意识． 3．利用计算器或计算机等进行模拟实验． 通过了解生日悖论的意义及活动的模拟，提高学生的实际操作能力． 导学　生日悖论 假设你所在的班级共有30人，那么你们班至少有两个人生日相同的概率是多少？ [提示]　利用排列组合的知识可以算出，30个人中，至少有两个人生日相同的概率约为71%. ◎结论形成 当人群的人数达到23时，至少有两个人生日相同的概率就超过_____了！而当人数达到41时，概率就超过______了！这一结论与人们的直觉相差比较远，因此常被称为“生日悖论”． 一、活动任务 1．通过世界杯球员的有关数据或其他数据，验证生日悖论是否属实． 2．得出由n个人组成的人群中至少有两个人生日相同的概率计算公式． 3．利用计算机软件或计算器，分别给出当n＝15，16，…，60时，(2)中的概率值，并用适当的图象表示结果． 4．选定一个特殊的n的值，利用计算机软件模拟验证生日悖论中的概率． 5．得出由m个人组成的人群中至少有一个人生日是指定日期的概率计算公式． 6．利用计算机软件或计算器，分别给出m＝200，201，…，2200时，5中的概率值，并用适当的图象表示结果． 7．选定一个日期和一个特殊的m的值，利用计算机模拟验证6中的概率． 二、活动设计 1．让学生四人一小组利用计算器去编程，去实验．(教师可以先介绍一下基本操作，巡回看一下各个小组的进展情况，可能需要帮助各个小组解决一些程序上的问题．) 2．学生之间交流．可请一些小组派代表来讲一下它们小组的结论，并讲解一下他们获得的方法．(这儿可以采取自由讨论的形式，尽量做到畅所欲言．教师把握好分寸，时间简短．)可以从简单入手，询问学生有无规律进行编程进行提高实验效率的方法，鼓励他们多参与数学实验，要求他们注意实验结果的记录． 3．师生共同探求，揭示实质：通过数学实验验证生日问题，通过一方面说明实验的局限性，鼓励学生从问题出发，利用排列组合的知识来解释说明该定理，也可通过TI计算器做出生日函数图象来说明该悖论的正确性． 4．教师还可把这个问题再深入，提出可以拓展的问题，然后学生课后进行探究、比较、数据模拟和实践，鼓励他们以数学小论文的形式呈现． 三、活动实例 1．提出问题 50个人中，有两个人生日相同的概率是多少？ 2．调查要求 每个同学课外调查本班10个人的生日，从全班的调查结果中随机选取50个被调查人，看看他们中有无两个人生日相同，将全班同学的调查数据集中起来，设计一个方案，估计50个人中有两个人的生日相同的概率． 3．概率公式 n个人组成的人群中至少有两个人生日相同的概率计算公式P(n)＝1－(其中n代表人数，一年按365天计). 4．概率值及图象表示 n＝15，16，…，60时，3中的概率值以及图象表示． (1)概率值 n P n P n P 15 0.252 9 31 0.730 5 47 0.954 8 16 0.283 6 32 0.753 3 48 0.960 6 17 0.315 0 33 0.775 0 49 0.965 8 18 0.346 9 34 0.795 3 50 0.970 4 19 0.379 1 35 0.814 4 51 0.974 4 20 0.411 4 36 0.832 2 52 0.978 0 21 0.443 7 37 0.848 7 53 0.981 1 22 0.475 7 38 0.864 1 54 0.983 9 23 0.507 3 39 0.878 1 55 0.986 3 24 0.538 3 40 0.891 2 56 0.988 3 25 0.568 7 41 0.903 2 57 0.990 1 26 0.598 2 42 0.914 0 58 0.991 7 27 0.626 9 43 0.923 9 59 0.993 0 28 0.654 5 44 0.932 9 60 0.994 1 29 0.681 0 45 0.941 0 30 0.730 5 46 0.948 3 (2)图象表示 5．“生日悖论”模拟的方法与结果 (1)用替代实物模拟 步骤： ①分别在表示“月”和“日”的盒子中各抽出一张纸片，用来表示一个人的生日日期，并将这个结果记录下来，为一次试验．抽完后并分别放回相应的盒子中； ②将上面的操作进行50次，这样我们就可以得出50位同学的模拟生日； ③检查上面的50个模拟生日，其中有没有2个人的生日是相同的． (2)计算机模拟实验 步骤： ①用计算器模拟实验估计50个人中有2个人生日相同的概率； ②两个人组成一个小组，利用计算器产生1～366之间的随机数，并记录下来； ③每产生50个随机数为一次试验； ④每组做5次试验，看看有几次试验中存在2个相同的整数； ⑤将全班的数据集中起来，估计50个1～366之间的整数中有2个数相同的概率． (3)结论 ①50个人中有2个人生日相同的概率约为0.97； ②我们的感觉有时候往往会欺骗我们．经过客观的推理运算，可以得到在23个人的一个团体中，至少有两人生日相同的概率大于50%，而当这个人数增大到100时，至少有两人生日相同的概率竟然接近于1. 6．活动拓展 (1)n个人组成的人群中至少有一个人生日是指定日期的概率计算公式q(n)＝1－. (2)利用(1)中的公式计算n＝200，201，…，2200时的概率值，以及图象表示．(利用计算器来探究作出图象) (3)模拟概率的方法及结果(与5相同的模拟方法) 结论：当n＝22时概率只有大约0.059，约高于十七分之一．如果n个人中有50%概率存在某人跟你有相同生日，n至少要达到253.注意这个数字大大高于＝182.5，究其原因，是因为房间内可能有些人生日相同． 7．活动总结 通过这次模拟活动，我们在实际生活中发现问题，然后用概率的知识去解决问题． 一方面，增强了我们发现问题的能力，另一方面，也增强了我们运用平时所学的理论知识去解决实际问题的能力．如果，我们只是一味的学习课本上的知识，依旧是没有任何用处的．只有把这些知识，融会贯通，才能遇题解题． 除此之外，我们在学习概率论的过程中发现了很多类似的悖论，比如说谎者悖论、理发师悖论、上帝悖论等，我们判断一件事情不能只根据平时的经验，那些所谓的经验可能会对你的判断形成误导，只有经过仔细的推敲、运算所得到的东西才是符合实际的，才是经得起实际检验的． 四、完成生日悖论的解释与模拟活动记录表 (1)成员与分工 姓名 分工 (2)验证生日悖论的实际数据 (3)n个人组成的人群中至少有两个人生日相同的概率计算公式 (4)n＝15，16，…，60时，(3)中的概率值及图象表示 (5)生日悖论模拟的方法和结果 (6)m个人组成的人群中至少有一个人生日是指定日期的概率计算公式 (7)m＝200，201，…时，(6)中的概率值及图象表示 (8)模拟(7)中的概率的方法及结果 (9)活动总结(可包含活动感受等) 五、活动提示 1．除了利用世界杯球员的数据验证生日悖论之外，也可利用学校中各班级的人员信息等． 2．所要计算的概率都可借助古典概型来完成，其中需要借助排列组合的有关知识． 3．计算机模拟可以借助随机函数来完成． 六、生日悖论的解释和模拟的论文参考形成 论文标题 作者：　　　　　　　　　　指导教师： 背景介绍：(论文的提出，即为什么会想到本论文) 问题的提出与分析：(本文所解决的主要问题是什么，通过哪些内容的研究完成这一目标) 活动设计： 实际活动案例 活动的心得和体会： 活动的评价： 指导老师意见： $$