3.1.3 组合与组合数(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

3.1.3　组合与组合数 第三章　排列、组合与二项式定理 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 并成一组 所有组合 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 1 n 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 谢谢观看 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 学业标准 素养目标 1．使学生正确理解组合、组合数的概念． 2．了解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．(重点) 3．能够运用组合数公式解决一些简单的应用问题．(重点) 1．通过组合及组合数概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过组合数公式的探究及其应用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． 导学1　组合与组合数 下面这两个计数问题的答案一样吗？ (1)小李要在3所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小李共有多少种不同的选择方式？ (2)小张要在3所大学中选择2所，作为自己努力的目标，小张共有多少种不同的选择方式？ 选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间的关系． [提示]　问题(1)选出的学校是要排列顺序的，是排列问题，问题(2)选出的学校不需要排列顺序． 问题(1)的答案是A，设问题(2)的答案是x，根据分步乘法计数原理可知A＝xA，从而x＝＝3. ◎结论形成 1．组合的概念 从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象____________，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合． 2．组合数的概念 从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的____________的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号C表示． [注意]　(1)所谓并成一组是指与顺序无关，例如组合a，b与组合b，a是同一组合，可以把一个组合看成一个集合． (2)同符号A一样，在符合C中，总是要求n和m都是自然数，且m≤n. 3．组合数公式 (1)公式：C＝_____＝______________________＝_____________． (2)规定：C＝__；C＝__；C＝__． 导学2　组合数的性质 在了解敬老院可以进行哪些爱心活动的走访中，要将5位同学分成两组，一组2人，另一组3人，有两种不同的做法： (1)选出2人作为一组，另外3人是另一组； (2)选出3人作为一组，另外2人是另一组． 用组合数符号分别表示(1)和(2)所得的分法种数，说明所得结果之间的关系，并将结果推广到一般情况． [提示]　根据组合和组合数公式可知，问题(1)和问题(2)所得的分法种数分别为C和C，而且C＝10，C＝10.因此C＝C.推广到一般情况为C＝C. ◎结论形成 组合数的性质：C＝______，C＋C＝______． C C 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个组合相同的充要条件是组成组合的元素完全相同．(　　) (2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C.(　　) (3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．(　　) (4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法．(　　) 解析　(1)因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合． (2)由组合数的定义可知正确． (3)因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题． (4)因为从甲、乙、丙3人中选两名有：甲乙、甲丙、乙丙，共3个组合，即有3种不同选法． 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．从1，2，3，4，5中任取两数，两数相乘，得到不同的积的个数为(　　) A．5　　　　　　　 B．20 C．10 D．25 解析　由题意知，得到的积的不同个数为C＝10. 答案　C 3．若C＝C，则x＝________． 解析　由题意知x＝2x－7或x＋2x－7＝20， 解得x＝7或x＝9. 答案　7或9 4．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有________种． 解析　每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人，3人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有C＋C＋C＋C＝112种分配方案． 答案　112 题型一　组合数公式及性质的应用 (1)计算：C－C·A； (2)求C＋C的值； (3)证明：mC＝nC. [解析]　(1)原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0. (2)∵∴9.5≤n≤10.5， ∵n∈N＋，∴n＝10，∴C＋C＝C＋C＝C＋C＝466. (3)证明　mC＝m·＝ ＝n·＝nC. [素养聚焦] 通过组合数公式和组合数性质的应用，把数学运算、逻辑推理等核心素养体现在解题过程中. 关于组合数公式的选取技巧 (1)涉及具体数字的可以直接用 C＝进行计算． (2)涉及字母的可以用阶乘式C＝计算. (3)计算时应注意利用组合数的性质C＝C简化运算． [触类旁通] 1．(1)计算：C－C·A； (2)若－<，求n的取值集合． 解析　(1)原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0. (2)由－<， 可得n2－11n－12<0，解得－1<n<12. 又n∈N＋，且n≥5，所以n∈{5，6，7，8，9，10，11}． 所以n的取值集合为{5，6，7，8，9，10，11}． 题型二　“含”与“不含”某些元素的组合应用问题　 一题多解　一题多变 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加； (5)甲、乙、丙三人至少1人参加． [解析]　(1)C＝792种不同的选法； (2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C＝36种不同的选法； (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C＝126种不同的选法； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C＝3种选法．再从另外的9人中选4人有C种选法．共有CC＝378种不同的选法； (5)法一(直接法)　可分为三类： 第一类：甲、乙、丙中有1人参加，共有CC种； 第二类：甲、乙、丙中有2人参加，共有CC种； 第三类：甲、乙、丙3人均参加，共有CC种； 共有CC＋CC＋CC＝666种不同的选法． 法二(间接法)　12人中任意选5人共有C种，甲、乙、丙三人不能参加的有C种． 所以，共有C－C＝666种不同的选法． [母题变式] (变结论)若本例条件不变，如甲参加培训，乙、丙都不能参加，有多少种不同的选法？ 解析　甲参加，乙、丙都不能参加，则只需从另外9人中选4人，不同的选法种数为C＝126. 1．“含……”或“不含……”是组合应用的常见题型，解决这类问题时，一要确切理解题干所表示的含义，二要谨防重复或遗漏． 2．当用直接分步法解决“含……”与“不含……”问题时，其解题策略是：“含”的先取出，“不含”的可把特殊元素去掉再取出，然后分步计算． [触类旁通] 2．从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？ (1)A，B都不当选； (2)A，B不全当选； (3)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任． 解析　(1)从除去A，B两人的10人中选5人即可，∴有C＝252(种). (2)全部选法有C种，A，B全当选有C种，故A，B不全当选有C－C＝672(种). (3)分三步进行：第一步，选1男1女担任指定的两个职务有C·C种．第二步，选2男1女补足5人有C·C种．第三步，为这3人安排工作有A种．由分步乘法计数原理共有CC·CC·A＝12 600种选法． 题型三　“至多”“至少”型组合应用问题　一题多解 在100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查． (1)都不是次品的取法有多少种？ (2)至少有1件次品的取法有多少种？ (3)不都是次品的取法有多少种？ [解析]　(1)都不是次品的取法有C种． (2)法一　至少有1件次品的取法有CC＋CC＋CC＋C种． 法二　至少有1件次品的取法有C－C种． (3)法一　不都是次品的取法有C＋CC＋CC＋CC种． 法二　不都是次品的取法有C－C种． “至多”“至少”型组合问题的常用解题方法 (1)直接法，应坚持“特殊元素优先选取”的原则，注意分类要细要全； (2)间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． [触类旁通] 3．某医院从10名医疗专家中抽调6名去某地义诊，其中这10名医疗专家中有4名是中医专家，问： (1)抽调的6名专家中恰有2名是中医专家的抽调方法有多少种？ (2)至少有2名中医专家的抽调方法有多少种？ (3)至多有2名中医专家的抽调方法有多少种？ 解析　(1)分步：首先从4名中医专家中任选2名，有C种选法，再从除中医专家外的6人中选取4人，有C种选法，所以共有C·C＝90(种)抽调方法． (2)法一(直接法) 按选取的中医专家的人数分类； ①选2名中医专家，共有C·C种选法； ②选3名中医专家，共有C·C种选法； ③选4名中医专家，共有C·C种选法， 根据分类加法计数原理， 共有C·C＋C·C＋C·C＝185(种)抽调方法． 法二(间接法) 不考虑是否有中医专家，共有C种选法，考虑选取1名中医专家参加，有C·C种选法；没有中医专家参加，有C种选法，所以共有C－C·C－C＝185(种)抽调方法． (3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答． ①没有中医专家参加，有C种选法； ②有1名中医专家参加，有C·C种选法； ③有2名中医专家参加，有C·C种选法； 所以共有C＋C·C＋C·C＝115(种)抽调方法． [缜密思维提能区]　易错辨析 忽视字母取值范围而致误 已知－＝，则m＝________． [错解]　由组合数公式得， －＝， 化简得m2－23m＋42＝0，所以m＝21或m＝2. [答案]　21或2 [正解]　依题意，m的取值范围是{m|0≤m≤5，m∈N＋}． 原等式化为－＝ 化简得m2－23m＋42＝0，解得m＝21或m＝2. 因为0≤m≤5，m∈N＋，所以m＝21应舍去， 所以m＝2. [答案]　2 [纠错心得] 1．此题错的原因是忽视了m的取值范围． 2．在解决组合数的有关计算问题时，首先明确组合数C的意义，特别注意0≤m≤n；其次一定保证运算的准确性． 知识落实 技法强化 1．组合、组合数的概念． 2．组合数公式及组合数性质． 3．组合应用问题的常见类型． 在组合问题中容易把同一种组合重复计数，一个位置上有多个元素时，应该一次取多个，而不能分几次取，不然就有了先后顺序，把组合问题变成了排列问题． $$