3.1.2 第2课时 排列数的应用(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

3.1.2　排列与排列数 第三章　排列、组合与二项式定理 第2课时　排列数的应用 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 特殊 特殊 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 捆绑 不相邻 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 谢谢观看 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 学业标准 素养目标 1．进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解决方法．(重点) 2．能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点) 通过运用排列知识解决实际问题，发展逻辑推理和数学运算核心素养，提升分析与解决问题的能力． 导学　解决排列问题常用的方法 甲、乙、丙三人排成一排，你能写出甲必须站在乙左侧的全部排法吗？ [提示]　甲乙丙，甲丙乙，丙甲乙．实际上排法共有＝3种． ◎结论形成 解决排列问题常用的方法 (1)特殊元素优先法：对于有特殊元素的排列问题，一般应先考虑______元素，再考虑其他元素． (2)特殊位置优先法：对于有特殊位置的排列问题，一般先考虑______位置，再考虑其他位置． (3)相邻问题捆绑法：对于要求某几个元素相邻的排列问题，可将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个“大”元素，与其他元素一起排列，然后再对______元素内部进行排列． (4)不相邻问题插空法：对于要求有几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后将_________的元素插入在已排好的元素之间及两端空隙处． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻见乙在甲的右边，那么不同的排法共有24种．(　　) (2)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种．(　　) (3)甲、乙、丙、丁戊五人并排站成一排，甲、乙不相邻的排法共有36种．(　　) (4)甲、乙、丙、丁戊五人并排站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法共有20种．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为(　　) A．36　　　　　　　　　 B．120 C．720 D．240 解析　由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A＝720. 答案　C 3．用1，2，3，4，5，6，7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个． 解析　先排奇数位有A种，再排偶数位有A种， 故共有AA＝144个． 答案　144 4．(2025·上海卷)4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数为________． 解析　先选两位家长排在首尾有A＝12种排法；再排队中的四人有A＝24种排法， 故有12×24＝288种排法． 故答案为288. 答案　288 题型一　无限制条件的排列问题 用具体数字表示下列问题． (1)从10个两两互质的数中取出2个数，其商的个数； (2)由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数； (3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数． [解析]　(1)从10个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有A＝90(个). (2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是0，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有A＝3×2×1＝6(个). (3)可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，共有A＝5×4×3×2＝120个分配方案． 1．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可． 2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解． [触类旁通] 1．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示________种不同的信号． 解析　第1类，挂1面旗表示信号，有A种不同方法； 第2类，挂2面旗表示信号，有A种不同方法； 第3类，挂3面旗表示信号，有A种不同方法． 根据分类加法计数原理，共有A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15种可以表示的信号． 答案　15 题型二　元素“在”与“不在”问题　一题多解　一题多变 (1)有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程，从中选4门安排在上午的4节课中，其中化学不排在第四节，共有________种不同的安排方法．(用数字作答) (2)用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？ ①六位数且是奇数； ②个位上的数字不是5的六位数． [解析]　(1)法一(分类法)分两类 第1类，化学被选上，有AA种不同的安排方法； 第2类，化学不被选上，有A种不同的安排方法． 故共有AA＋A＝300种不同的安排方法． 法二(分步法) 第一步，第四节有A种排法；第二步，其余三节有A种排法，故共有AA＝300种不同的安排方法． 法三(间接法) 从6门课程中选4门安排在上午，有A种排法，而化学排第四节，有A种排法，故共有A－A＝300种不同的安排方法． (2)①法一(直接法)从特殊位置入手 第一步：排个位，从1，3，5三个数字中选1个，有A种排法； 第二步：排十万位，有A种排法； 第三步：排其他位，有A种排法． 故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有AAA＝288(个). 法二(直接法)从特殊元素入手 0不在两端，有A种排法； 从1，3，5中任选一个排在个位上，有A种排法； 其他数字全排列有A种排法． 故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有AAA＝288(个). 法三(排除法) 从整体上排除：6个数字的全排列数为A，0，2，4在个位上的排列数为3A，而1，3，5在个位上，0在十万位上的排列数为3A，故符合题意的六位数奇数共有A－3A－3A＝288(个). ②法一(排除法) 6个数字的全排列有A个，0在十万位上的排列有A个，5在个位上的排列有A个，0在十万位上且5在个位上的排列有A个， 故符合题意的六位数共有A－A－(A－A)＝504(个). 法二(直接法) 个位上不排5，有A种排法．但十万位上数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此，需分两类： 第一类，当个位上排0时，有A种排法； 第二类，当个位上不排0时，有A·A·A种排法． 故符合题意的六位数共有A＋A·A·A＝504(个). [答案]　(1)300　(2)略 [母题变式] 1．(变结论)本例(2)条件不变，能组成多少个能被5整除的五位数？ 解析　个位上的数字必须是0或5.若个位上是0，则有A个；若个位上是5，若不含0，则有A个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A种排法，其余各位有A种排法，故共有A＋A＋AA＝216(个)能被5整除的五位数． 2．(变结论)本例(2)条件不变，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240135是第几项？ 解析　由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A个数，首位数字为2，万位上为0，1，3中的一个有3A个数，所以240135的项数是A＋3A＋1＝193，即240135是数列的第193项． 解排数字问题常见的解题方法 (1)“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”． (2)“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏． (3)“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数． (4)“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好． [触类旁通] 2．(1)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有(　　) A．54种　　　　　　　 B．72种 C．96种 D．120种 (2)6个人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ ①甲不站右端，也不站左端； ②甲、乙站在两端． 解析　(1)根据题意，甲和乙都没有得到冠军，且乙不是最后一名，则分两种情况讨论： ①甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有A种情况，此时有3A＝18(种)名次排列方式； ②甲不是最后一名，则甲和乙需要排在第二、三、四名，有A种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有A种情况，此时有AA＝36(种)名次排列方式．则一共有36＋18＝54(种)不同的名次排列方式． (2)①法一(位置分析法) 因左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有A种；第二步再让剩下的4个人站在中间的四个位置上，有A种，由分步乘法计数原理共有A·A＝480种站法． 法二(元素分析法) 因甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有A种；第二步再让余下的5个人站在其他5个位置上，有A种，故共有A·A＝480种站法． ②甲、乙站在两端共有A种情况剩余4个人进行全排列A种情况，则甲、乙站在两端的情况有A·A＝48种． 答案　(1)A　(2)略 题型三　元素“相邻”与“不相邻”问题　一题多解 (1)(多选题)A，B两公司将进行6个重点项目的洽谈，其中，A公司代表对项目洽谈的顺序提出了如下要求：重点项目甲必须排在前三位，且项目丙、丁必须排在一起，则这六个项目的不同安排方案共有________种(　　) A．4AA＋3AA B．10AA C．2AAA＋AAA＋2AAA D．AA (2)3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数． ①全体站成一排，男、女各站在一起； ②全体站成一排，男生必须站在一起； ③全体站成一排，男生不能站在一起； ④全体站成一排，男、女各不相邻． [解析]　(1)法一(按甲的排列法分类) 甲在第一位，丙丁相邻共有4AA； 甲在第二位，丙丁相邻共有3AA； 甲在第三位，丙丁相邻共有3AA； 所以符合要求共有10AA，故B正确． 法二(按丙、丁的排法分类) 丙、丁在第1，2位，甲在第3位：AAA； 丙、丁在第2，3位，甲只能在第1位：AAA； 丙、丁在第3，4位，甲可在第1位或第2位：AAA； 丙、丁在第4，5位，甲可以前三个位置：AAA； 丙、丁在第5，6位，甲可以在前三个位置：AAA； 所以符合要求的AAA＋AAA＋AAA＋AAA＋AAA＝2AAA＋AAA＋2AAA，故C正确． 法三(间接法) 先不考虑甲的要求，共有AA安排方法． 其中甲排前3位与甲排后3位的可能性相同． 故满足条件的排法共有AA，故D正确． (2)①男生必须站在一起是男生的全排列，有A种排法； 女生必须站在一起是女生的全排列，有A种排法； 全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法． 由分步乘法计数原理知，共有A·A·A＝288种排队方法． ②三个男生全排列有A种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A种排法．故有A·A＝720种排队方法． ③先安排女生，共有A种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A种排法，故共有A·A＝1440种排法． ④排好男生后让女生插空，共有A·A＝144种排法． [答案]　(1)BCD　(2)略 [素养聚焦] 通过求解排列的实际应用题，逻辑推理、数学运算核心素养在解题中得以体现． “相邻”与“不相邻”问题的解决方法 处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素． [触类旁通] 3．(1)中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能：礼、乐、射、御、书、数．某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，每天连排六节，每“艺”一节，排课有如下要求：“礼”和“数”不能相邻，“射”和“乐”必须相邻．则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有(　　) A．24种 B．72种 C．96种 D．144种 (2)5位母亲带领5名儿童站成一排照相，儿童不相邻的站法有________种． 解析　(1)根据题意，分两步进行分析：①“射”和“乐”要相邻，将两者看成一个整体，与“御”“书”全排列，不同的排法有AA＝12(种)，②排好后形成4个空位，在其中任选2个，安排“礼”和“数”，不同的排法有A＝12(种)，则符合题意的排法有12×12＝144(种)， 故选D. (2)第1步，先排5位母亲的位置，有A种排法；第2步，把5名儿童插入5位母亲所形成的6个空位中，共有A种排法．由分步乘法计数原理可知，符合条件的站法共有A·A＝86 400种． 答案　(1)D　(2)86 400 [缜密思维提能区]　规范答题 排列与其他知识综合 (13分)从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有实根的方程有多少个？ [审题指导]　先考虑组成一元二次方程的问题． [规范解答]　首先确定a，只能从1，3，5，7中选一个，有A种，然后从余下的4个数中任选两个作b，c，有A种．(2分) ∴由分步乘法计数原理知，共组成一元二次方程 A·A＝48(个).(4分) 方程要有实根， 必须满足Δ＝b2－4ac≥0.　① 分类讨论如下： 当c＝0时，a，b可在1，3，5，7中任取两个排列，有A个；(6分) 当c≠0时， 分析判别式知b只能取5，7.　② 当b取5时，a，c只能取1，3这两个数，有A种； 当b取7时，a，c可取1，3或1，5这两组数，有2A种． 此时共有A＋2A个．(10分) 由分类加法计数原理知， 有实根的一元二次方程共有A＋A＋2A＝18(个).(13分) 知识落实 排列应用题的常见类型 1．常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置问题． 2．元素“相邻”与“不相邻”问题． 技法强化 解有限制条件的排列问题的基本思路 限制条件 解题策略 特殊元素 通常采用“元素分析”法，即以元素为主，优先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素 特殊位置 通常采用“位置分析”法，即以位置为主，优先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置 元素相邻 通常采用“捆绑”法，即把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列 元素不 相邻 通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素排列的空当中 $$