3.1.2 第1课时 排列与排列数(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

3.1.2　排列与排列数 第三章　排列、组合与二项式定理 第1课时　排列与排列数 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 一定的顺序 一个排列 全排列 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 相同的 顺序也相同 个数 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 n·(n－1)·…·2·1 n(n－1)…(n－m＋1) n！ 1 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 谢谢观看 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 学业标准 素养目标 1．理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．(重点) 2．理解排列数公式，能利用排列数公式进行计算和证明．(难点) 1．通过学习排列的概念及排列数公式，培养数学抽象核心素养． 2．借助排列数公式进行计算，培养逻辑推理、数学运算核心素养． 导学　排列与排列数 小张要从4所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？ [提示]　4×3＝12(种). 班里要在4名同学中选出2名，分别去两个不同的社区做社会实践调查，共有多少种不同的选择方式？ [提示]　4×3＝12(种). ◎结论形成 1．排列：从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照____________排成一列，称为从n个不同的对象中取出m个对象的____________，特别地，m＝n时的排列(即取出所有对象的排列)称为_________． [注意]　在定义中“一定的顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，究竟何时有关，何时无关，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别． 2．相同排列：两个排列，如果组成排列的对象是_________，并且对象的排列_______________，那么就称这两个排列是相同的；否则，就称为是不同的． 3．排列数：从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的______，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号_____表示． [注意]　(1)所谓排成一列，是指与顺序有关，例如，排列AB与排列BA是不同的排列，可以把一个排列看成一个类似点坐标的有序数对． (2)符号A中，总是要求n和m都是自然数，且m≤n. A 4．排列数公式 阶乘的概念 把_______________记作n！，读作：n的阶乘 排列数 公式 A＝_________________ 阶乘式A＝(n，m∈N＋，m≤n) 特殊情况 A＝____，1！＝___，0！＝___ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)排列一定是与顺序有关的．(　　) (2)相同的排列必须是排列的对象相同，对象的排列顺序也相同．(　　) (3)5名同学排成一排照相，那么一共有5＋4＋3＋2＋1＝15种排法．(　　) (4)A＝.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为(　　) A．3种　　 B．4　　 C．6种　　 D．12种 解析　 所有的排列有：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，共6种． 答案　C 3．从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数，则可以组成不同的两位数的个数为________． 解析　可以组成不同的两位数有：12，13，14，23，24，34，21，31，41，32，42，43，共12个． 答案　12 4．A＋A＋A＝________． 解析　A＝4，A＝4×3＝12，A＝4×3×2＝24，A＋A＋A＝4＋12＋24＝40. 答案　40 题型一　排列的概念 (多选题)给出下列问题，属于排列问题的是(　　) A．有10个车站，共需要准备多少种车票？ B．有10个车站，共有多少种不同的票价？ C．平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？ D．有10名同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？ [解析]　A．有10个车站，共需要准备多少种车票？相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；B.有10个车站，共有多少种不同的票价？相当于从10个不同元素中任取2个并成一组，无顺序要求，不属于排列问题；C.平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；D.有10名同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？相当于从10个不同元素中任取2个并成一组，无顺序要求，不属于排列问题，故选AC. [答案]　AC 1．判断一个具体问题是否为排列问题的两个条件 (1)对象的无重复性：即从n个不同对象中取出m(m≤n)个不同对象． (2)对象的有序性：即安排的m个对象是有顺序的，有顺序的就是排列，否则就不是排列． 2．检验对象有序性的方法 [触类旁通] 1．(多选题)下列说法中是排列问题的是(　　) A．选2个小组分别去种树和种菜 B．选2个小组分别去种菜 C．选10人组成一个学习小组 D．从5人中选取2人担任正、副组长 解析　A.种树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；BC.不存在顺序问题，不属于排列问题；D.甲担任组长，乙担任副组长，与甲担任副组长，乙担任组长是不同选法，属于排列问题．所以A，D属于排列问题．故选AD. 答案　AD 题型二　写出简单问题的所有排列　一题多变 四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列出来． [解析]　先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理，有4×3×2×1＝24(种). 画出树形图． 由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA，共24种． [母题变式] 1．(变条件)若在条件中再增加一条“A不坐排头”，则结论如何？ 解析　画出树形图： 由树形图可知，所有坐法为BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA，共18种坐法． 2．(变条件)若在条件中再增加一条“A不坐两头”，则结论如何？ 解析　画出树形图： 故所有坐法为BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12种． 利用树形图法解决简单排列问题的适用范围及策略 (1)适用范围：树形图在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式． (2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列． [触类旁通] 2．若直线Ax＋By＝0的系数A，B可以从2，3，5，7中取不同的数值，可以构成的不同直线的条数是(　　) A．12　　　　　　　 B．9 C．8 D．4 解析　画树形图如下： 故共有12条． 答案　A 题型三　排列数的计算和证明 (1)解不等式：A＜6A； (2)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋且n<55)； (3)证明：A－A＝nA，并用此结论计算A＋2A＋3A＋…＋8A. [解析]　(1)原不等式等价于 整理得 解得5＜x≤6且x∈N＋，所以x＝6. (2)∵55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n， 且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15个数， ∴(55－n)(56－n)…(69－n)＝A. (3)证明　A－A＝(n＋1)！－n!＝(n＋1)n！－n！＝n·n！＝nA. A＋2A＋3A＋…＋8A＝(A－A)＋(A－A)＋…＋(A－A)＋(A－A)＝A－A＝9！－1＝362 879. [素养聚焦] 通过排列数的计算和证明，数学运算、逻辑推理等核心素养在解题过程中得以体现． 排列数的计算方法 (1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时应注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用． (2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量． [触类旁通] 3．(1)已知A＝100A，则x＝(　　) A．11　　　　　　 B．12 C．13 D．14 (2)＝(　　) A． B． C． D． (3)计算：＝________． 解析　(1)由A＝100A得2x(2x－1)(2x－2)＝100x·(x－1)， 整理可得2x－1＝25，解得x＝13，经检验满足题意． (2)＝＝.故选A. (3)法一　＝＝. 法二　＝＝＝＝. 答案　(1)C　(2)A　(3) 知识落实 技法强化 1．排列与全排列的定义． 2．排列数及其公式． 排列数两个公式的选取技巧 (1)排列数的第一个公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式． (2)排列数的第二个公式A＝用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等． $$