3.1.1 基本计数原理(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

3.1　排列与组合 3.1.1　基本计数原理 第三章　排列、组合与二项式定理 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 m1＋m2＋…＋mn 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 m1×m2×…×mn 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 谢谢观看 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 学业标准 素养目标 1．通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理． 2．理解并掌握两个计数原理，并会利用这两个原理分析和解决一些简单的问题．(重点) 1．通过对两个计数原理的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过对两个计数原理应用的探究，发展数学运算、逻辑推理核心素养． 导学1　分类加法计数原理 随着我国人民生活水平的不断提高，“家庭理财”已经成为普通家庭经常关注的问题，理财方式有很多，相对较稳定的有人民币定期储蓄和购买国债两种形式，其中人民币定期储蓄有一年期、二年期、三年期和五年期四种，购买国债有一年期、二年期和三年期三种． 某公司职员史先生正处试用期，收入有限，计划从上述方案中选择一种方法来投资，问：史先生共有多少种不同的理财方法？ [提示]　史先生有两类不同的选择：第一类，从四种人民币定期储蓄中任意选择一种投资方法；第二类，从三种国债中任意选择一种投资方法，以上任选一种方法都能达到理财的目的，因此史先生共有4＋3＝7种不同的理财方法． ◎结论形成 分类加法计数原理 完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_________________种不同的方法． 导学2　分步乘法计数原理 已知某校学生会由高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人组成，试回答以下问题： (1)若想从每年级学生会成员中各选1人为学生会常委，则有多少种不同的选法？ (2)此处的结果与各年级人数间的关系是什么？ [提示]　(1)不妨设高一年级成员为A1，A2，高二年级成员为B1，B2，B3，高三年级成员为C1，C2. 此处需要从各年级分别选出1人来，用列举法为A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A1B3C1，A1B3C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，A2B3C1，A2B3C2共有12种． (2)2×3×2＝12，即年级人数之积为本问题中不同的选法种数． ◎结论形成 分步乘法计数原理 完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_________________种不同的方法． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分类加法计数原理中每种方法都可以独立完成这件事．(　　) (2)分类加法计数原理中每种方法可以重复．(　　) (3)分步计数原理中各步之间是关联的，独立的．(　　) (4)分步计数原理中依次完成各步骤才能完成要做的事件．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．为了准备晚饭，小张找出了3种不同的冷冻蔬菜和4种不同的新鲜蔬菜．如果晚饭时小张只吃1种蔬菜，则选择的种数为(　　) A．3　　　　　　　 B．4 C．7 D．12 解析　选择1种蔬菜有2类办法：选冷冻蔬菜，有3种选法；选新鲜蔬菜，有4种选法，根据加法原理，选择的种数为3＋4＝7. 答案　C 3．现有4件不同款式的上衣和3件不同颜色的长裤，如果一件上衣和一条长裤配成一套，则不同的搭配法种数为(　　) A．7 B．12 C．64 D．81 解析　完成一种搭配有两个步骤，第一步，选上衣有4种不同的选法；第二步，选长裤有3种不同的选法．所以根据分步乘法计数原理共有4×3＝12种不同的搭配法． 答案　B 4．某班有男生26人，女生24人，现从中选一位同学为数学科代表，则不同的选法有________种，如果男女各选一位，则不同的选法有________种． 解析　(1)分两类：第一类，从男生中选，有26种选法；第二类，从女生中选，有24种选法．由分步加法原理知，共有26＋24＝50种选法． (2)男、女各选一位，分两步，从男生中选一位有26种，从女生中选一位有24种，男女各选一位共有26×24＝624种选法． 答案　50　624 题型一　分类加法计数原理　一题多解 (1)(多选题)满足a，b∈{－1，0，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)可取(　　) A．(0，－1)　　　　　 B．(0，2) C．(－1，2) D．(2，1) (2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是(　　) A．18 B．36 C．72 D．48 [解析]　(1)①当a＝0时，2x＋b＝0总有实根， 则(a，b)的取值可以为(0，0)，(0，－1)，(0，2)； ②当a≠0时，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1， a＝－1时，(a，b)的取值可以是(－1，0)，(－1，－1)，(－1，2). a＝2时，(a，b)的取值可以是(2，0)，(2，－1)，故选ABC. (2)法一　按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个． 法二　按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36个． [答案]　(1)ABC　(2)B 使用分类加法计数原理计数的两个条件 (1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类． (2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法．只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理． [提醒]　分类时一定要做到不重不漏，分类对象唯一，分类明确． [触类旁通] 1．(1)图书馆的书架有3层，第1层有3本不同的数学书，第2层有5本不同的语文书，第3层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，不同的取法共有(　　) A．120种 B．16种 C．64种 D．39种 (2)某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有________种． 解析　(1)由于书架上有3＋5＋8＝16本书，则从中任取1本书，共有16种不同的取法． (2)根据分类加法计数原理，担任星期一早晨升旗任务可以是高一年级，也可以是高二年级， ∴安排方法共有8＋6＝14(种). 答案　(1)B　(2)14 题型二　分步乘法计数原理的应用　一题多变 (1)已知a∈{3，4，6}，b∈{1，2，7，8}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数为________． (2)定义集合A与B之间的运算A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B中元素个数为________． [解析]　(1)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2由3个量a，b，r确定，确定a，b，r分别有3种，4种，2种选法． 由分步乘法计数原理，表示不同圆的个数为3×4×2＝24. (2)确定有序数对(x，y)需要两个步骤，第一步，确定x的值，有3种不同的方法；第二步，确定y的值，有4种不同的方法．所以集合A*B中元素个数为3×4＝12. [答案]　(1)24　(2)12 [母题变式] 1．(变结论)若本例(1)中条件不变，方程＋＝1可表示________个焦点在x轴上的椭圆． 解析　方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，需满足a>b>0，即a的取值为3，4，6，b的取值只有1，2.所以方程＋＝1共能表示3×2＝6个焦点在x轴上的椭圆． 答案　6 2．(1)已知a∈{1，2，3}，b∈{4，5，6，7}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示多少个不同的圆？ (2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三个项目的冠军(每项冠军只允许一人获得)，共有多少种可能的结果？ 解析　(1)完成表示不同的圆这件事，可以分三步： 第一步：确定a有3种不同的选取方法； 第二步：确定b有4种不同的选取方法； 第三步：确定r有2种不同的选取方法． ∴表示圆的个数为3×4×2＝24(个). (2)要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得， 三项冠军都有得主，这件事才算完成， 于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步， 而每项冠军是四人中的某一人，有4种可能的情况， 于是共有4×4×4＝64种可能的结果． 1．使用分步乘法计数原理计数的两个注意点 一是要按照事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的； 二是各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事． 2．利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 [触类旁通] 2．(1)已知a∈{1，2，3}，b∈{4，5，6，7}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示多少个不同的圆？ (2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三个项目的冠军(每项冠军只允许一人获得)，共有多少种可能的结果？ 解析　(1)完成表示不同的圆这件事，可以分三步： 第一步：确定a有3种不同的选取方法； 第二步：确定b有4种不同的选取方法； 第三步：确定r有2种不同的选取方法． ∴表示圆的个数为3×4×2＝24(个). (2)要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得， 三项冠军都有得主，这件事才算完成， 于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步， 而每项冠军是四人中的某一人，有4种可能的情况， 于是共有4×4×4＝64种可能的结果． 题型三　两个计数原理的综合应用 (1)现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是(　　) A．120 B．140 C．240 D．260 (2)现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营． ①若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？ ②若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？ ③若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？ [解析]　(1)由题意，先涂A处共有5种涂法，再涂B处有4种涂法，然后涂C处，若C处与A处所涂颜色相同，则C处共有1种涂法，D处有4种涂法；若C处与A处所涂颜色不同，则C处有3种涂法，D处有3种涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种).故选D. (2)①从高一选1人作总负责人有50种选法；从高二选1人作总负责人有42种选法；从高三选1人作总负责人有30种选法．由分类加法计数原理，可知共有50＋42＋30＝122种选法． ②从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法．由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63 000种选法． ③a.从高一和高二各选1人作为中心发言人，有50×42＝2100种选法； b．从高二和高三各选1人作为中心发言人，有42×30＝1260种选法； c．从高一和高三各选1人作为中心发言人，有50×30＝1500种选法． 故共有2100＋1260＋1500＝4860种选法． [答案]　(1)D　(2)略 [素养聚焦] 通过计数原理的应用，数学运算、逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 1．利用两个计数原理的解题策略 用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情．其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准．在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性．有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”． 2．区域涂色问题的解题策略 (1)对于区域涂色问题，可根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理涂色问题的基本方法； (2)可根据供涂色的种类进行分类讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类加法原理求出不同的涂色种数． [触类旁通] 3．(多选题)现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是(　　) A．所有可能的方法有34种 B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种 C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种 D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 解析　对于A，所有可能的方法有43种，A错误． 对于B，方法一：工厂甲必须有同学去，分三种情况：第一种，若有一名同学去工厂甲，则不同的安排方法共有3×3×3＝27(种)；第二种，若有两名同学去工厂甲，则不同的安排方法共有3×3＝9(种)；第三种，若三名同学都去工厂甲，则只有1种安排方法，所以共有27＋9＋1＝37 (种)不同的安排方法，B正确．方法二：由A选项得，若不考虑限制条件，所有可能的方法有43＝64(种)，若没有人去工厂甲，则每名同学都有 3种选择，共有33＝27(种)不同的安排方法，故工厂甲必须有同学去的安排方法共有64－27＝37(种)，B正确．对于C，若同学A必须去工厂甲，则B，C两名同学各有4种选择，所以共有4×4＝16(种)不同的安排方法，C正确．对于D，若三名同学所选工厂各不相同，则共有4×3×2＝24(种)不同的安排方法，D正确．故选BCD. 答案　BCD [缜密思维提能区]　易错辨析 利用两个计数原理时出现重复或遗漏问题 从{－3，－2，－1，0，1，2，3}中任取3个不同的数作为抛物线方程y＝ax2＋bx＋c的系数，如果抛物线经过原点，且顶点在第一象限，则这样的抛物线的条数是________． [错解]　因为抛物线经过原点，所以c＝0，从而c只有一种取值，又抛物线的顶点在第一象限，所以 由c＝0知a<0，b>0，所以a∈{－3，－2，－1}，b∈{1，2，3}． 满足条件的抛物线可由a，b，c确定． a有3种取法，b有3种取法，c只有1种取法． 由分类加法计数原理知，表示不同的抛物线有N＝3＋3＋1＝7条． [答案]　7 [正解]　因为抛物线经过原点，所以c＝0，从而知c只有1种取值． 又抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在第一象限， 所以顶点坐标满足 由c＝0，解得a<0，b>0， 所以a∈{－3，－2，－1}，b∈{1，2，3}， 这样要求的抛物线的条数可由a，b，c的取值来确定． 第一步，确定a的值，有3种方法； 第二步，确定b的值，有3种方法； 第三步，确定c的值，有1种方法． 由分步乘法计数原理知，表示的不同的抛物线有N＝3×3×1＝9条． [答案]　9 [纠错心得] 1．此题错误的根本原因是不能分清对完成一件事的方法分类还是对过程分步． 2．解题时正确理解两个原理，仔细审题，弄清分类还是分步． 知识落实 技法强化 1．分类加法计数原理． 2．分步乘法计数原理． 1．分类加法计数原理 (1)针对的是“分类”问题． (2)每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事． (3)各类办法之间是互斥的、并列的、独立的． 2．分步乘法计数原理 (1)针对的是“分步”问题． (2)每一步完成的只是这件事的一个环节，只有各步骤都完成了才算完成这件事． (3)各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏． $$