专题23.3 中心对称图形及关于原点对称的点的坐标（高效培优讲义）数学人教版九年级上册

专题23.3 中心对称图形及关于原点对称的点的坐标 教学目标 1. 掌握中心对称图形的定义并能够熟练的判定生活中的一些中心对称图形。 2. 掌握中心对称图形的性质，并能够熟练对其应用。 3. 掌握关于原点对称的点的坐标规律特点，能够通过规律特点熟练的求值与作图。 教学重难点 1. 重点 （1） 中心对称图形的定义和性质； （2） 关于原点对称的点的坐标特点。 2. 难点 （1）利用中心对称图形的性质计算； （2）利用中心对称的对称中心平分面积； （3）利用关于原点对称的点的坐标特点求值。 知识点01 中心对称图形的定义 1. 中心对称图形的定义： 一个图形绕某一点旋转 180° 后，如果旋转后的图形能够与旋转前 完全重合 ，那么这个图形就叫做 中心对称图形 ，这个点叫做中心对称图形的 对称中心 。 【即学即练1】 1．在美术字中，有些汉字是中心对称图形．下列美术字中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：选项B、C、D的美术字都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项A的美术字能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：A． 【即学即练2】 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．正方形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．平行四边形 【答案】A 【解答】解：A、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 知识点02 中心对称图形的性质 1. 中心对称图形的性质： 性质1：对应点连线都经过 对称中心 ，且被对称中心 平分 。 性质2：对应线段的数量关系是 相等 的，位置关系为 平行 或 共线 。 性质3：对应角 相等 。 性质4：经过对称中心的直线把中心对称图形分成两个 全等 的图形。 特别提示：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的位置关系，而中心对称图形是指一个图形自身的形状特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同。 【即学即练1】 3．如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点E、F分别是边AB、CD上的点，且BE＝DF，已知矩形ABCD的面积是20，那么图中阴影部分的面积为　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：在矩形ABCD中，OB＝OD、AB∥DC， ∴∠EBO＝∠FDO， 在△BOE与△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（SAS）， ∴S阴影部分＝S△DOC＝S矩形ABCD20＝5， 故答案为：5． 【即学即练2】 4．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB、BC的垂线，交各边于点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：连接BD，AC， ∵四边形ABCD是菱形，∠A＝120°， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BAO＝∠DAO＝60°，BD⊥AC， ∴∠ABO＝∠CBO＝30°， ∴OA1，OB， ∵OE⊥AB，OF⊥BC， ∴∠BEO＝∠BFO＝90°， 在Rt△OBE中，OEOB，BE， 在△BEO和△BFO中， ， ∴△BEO≌△BFO（AAS）， ∴OE＝OF，BE＝BF， ∵∠EBF＝60°， ∴△BEF是等边三角形， ∴EF＝BE， 同法可证，△DGH，△EOH，△OFG都是等边三角形， ∴EF＝GH，EH＝FG＝OE， ∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE＝3． 故答案为：3． 【即学即练3】 5．如图，AB∥CD∥EF，AF∥ED∥BC，若画一条直线MN将这个图形分成面积相等的两个部分，则下列画法不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为平行四边形是中心对称图形， 所以直线经过两个平行四边形的对角线的交点即可， 观察图象可知，选项B，C，D符合题意， 故选：A． 【即学即练4】 6．在一块矩形铁皮上裁去一个小矩形得到了如图所示的直角铁皮．用一条直线l将该直角铁皮分成面积相等的两部分，则符合条件的直线l有（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 【答案】B 【解答】解：如图所示， 符合条件的之间l有3条． 故选：B． 知识点03 关于原点对称的点的坐标 1. 关于原点对称的点的坐标： 关于原点对称的两个点的坐标特点：横纵坐标均互为 相反数 。 即若点与点关于原点对称，则有 ， 。 2. 关于点对称的点坐标： 关于点对称的点的坐标可以利用中点坐标公式进行求解。 【即学即练1】 7．点P（4，﹣3）关于原点的对称点是（　　） A．（4，3） B．（﹣3，4） C．（﹣4，3） D．（3，﹣4） 【答案】C 【解答】解：点P（4，﹣3）关于原点的对称点是（﹣4，3）， 故选：C． 【即学即练2】 8．已知点A（a，﹣3）和点B（2，b）关于原点对称，则ab＝　﹣6　 ． 【答案】﹣6． 【解答】解：由条件可知a＝﹣2，b＝3， 则ab＝﹣2×3＝﹣6． 故答案为：﹣6． 题型01 中心对称图形的判断 【典例1】下列是“美丽贵州”每个字的拼音首字母的大写图形，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A中、不是中心对称图形，不符合题意； B中、不是中心对称图形，不符合题意； C中、不是中心对称图形，不符合题意； D中、是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 【变式1】传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．徐州出土汉代玉器的下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 【变式2】围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 【变式3】在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得40金、27银和24铜共91枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩．以下是巴黎奥运会部分项目的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故本选项符合题意； D、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 题型02 利用中心对称图形的性质计算 【典例1】如图，点O为▱ABCD的对称中心，点F为边AD上一点，连接AO，CO，DO，FO，若▱ABCD的面积为16，DF＝3AF，则图中阴影部分的面积为　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：∵▱ABCD的面积为16，OA＝OC， ∴S△AOD＝S△COD4， ∵DF＝3AF， ∴S△AOD＝1， ∴图中阴影部分的面积为：S△AOF+S△COD＝1+4＝5． 故答案为：5． 【变式1】如图，经过正方形ABCD对称中心O的直线分别交BA的延长线、AD、BC于点E、F、G．已知DC＝4，DF＝3，则AE的长为（　　） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：过点O作OH⊥AD于点H，连接OD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠EAF＝90°，AD＝CD＝4， ∵点O是正方形ABCD的中心， ∴AH＝DHAD＝2，∠ODH＝45°， ∵∠OHD＝90°， ∴∠ODH＝∠HOD＝45°， ∴OH＝HD＝2， ∵DF＝3， ∴FH＝AF＝1， ∵∠EAF＝∠OHF＝90°，∠AFE＝∠OFH， ∴△EAF≌△OHF（ASA）， ∴AE＝OH＝2， 故选：A． 【变式2】如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E，F是边AB上的点，G，H是边BC上的点，且EFAB，GHBC，若S1，S2分别表示△EOF 和△GOH 的面积，则　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，连接AC，OB， ∵点O是平行四边形ABCD的对称中心， ∴点O是线段AC的中点，且S△AOB＝S△BOCS平行四边形ABCD， 令S△AOB＝S△BOC＝S， ∵EFAB，GHBC， ∴S△EOFS，S△GOHS， ∴． 故答案为：． 【变式3】如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点P，Q分别在边AD，BC上，且PQ经过点O，AB＝6，AP＝3，BC＝8，点E是边AB上一动点．则△EPQ周长的最小值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，作P关于AB的对称点P′，连接P′Q，交AB于E，连接PE， ∴P′E＝PE， ∴PE+QE的最小值为P′Q， ∴△EPQ周长的最小值为P′Q+PQ， 作P′F⊥BC于F，PH⊥BC于H， ∵AP＝3， ∴P′A＝3＝FB， ∵点O是矩形ABCD的对称中心，PQ经过点O， ∴AP＝CQ＝3， ∵BC＝8， ∴BQ＝5， ∴FQ＝8， ∵P′F＝AB＝6， ∴P′Q＝10， ∵PH＝AB＝6，HQ＝5﹣3＝2， ∴， ∴△EPQ周长的最小值为． 故答案为：． 题型03 利用中心对称图形的对称中心平分面积 【典例1】如图，ABCD是一块长方形纸板．试画一条直线，将它的面积分成相等的两部分，那么这种直线能画（　　） A．2条 B．4条 C．8条 D．无数条 【答案】D 【解答】解：连接AC、BD交于点O， ∵矩形是中心对称图形， ∴经过点O的任意一条直线都可以将矩形的面积分成相等的两部分， ∴这种直线能画无数条， 故选：D． 【变式1】有一块方角形钢板如图所示，如何用一条直线将其分为面积相等的两部分． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示，有三种思路： 【变式2】如图在平行四边形的纸片上有一个圆洞，请画一条直线把纸片分成分成面积相等的两部分． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，直线l为所作． 【变式3】如图，平行四边形ABCD中作GH∥AD，EF∥AB交AD，GH于E，F，现用一条直线将平行四边形GHBC与DEFG分成面积相等的两部分，并说明理由． 【答案】见解析． 【解答】解：如图所示，直线l将平行四边形GHBC与DEFG分成面积相等的两部分． 找到平行四边形GHBC与平行四边形DEFG的对称中心，并且把对称中心连接即为所求的直线． 因为平行四边形是中心对称图形，根据中心对称图形的性质，经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等形，面积相等． 题型04 关于原点对称的点的坐标 【典例1】在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（2，﹣3） D．（﹣3，﹣2） 【答案】B 【解答】解：点A（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣2）． 故选：B． 【变式1】在平面直角坐标系中，点A与点B关于原点对称，点A坐标为（﹣2，3），则点B坐标为（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣3，2） 【答案】B 【解答】解：∵点A的坐标是（﹣2，3），点B与点A关于原点对称， ∴点B的坐标是（2，﹣3）， 故选：B． 【变式2】已知，，则点P（a，b）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1） 【答案】C 【解答】解：∵， ∴a﹣2＝0，b+1＝0， ∴a＝2，b＝﹣1， ∴点P（2，﹣1）， 则点P（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标为（﹣2，1）． 故选：C． 【变式3】在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，a2+1）关于原点对称的点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解答】解：∵a2+1＞0， ∴点P（﹣2，a2+1）在第二象限， ∴点P（﹣2，a2+1）关于原点对称的点所在的象限是第四象限． 故选：D． 题型05 利用关于原点对称的点的坐标特点求值 【典例1】点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于原点对称，则ab的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣6 【答案】D 【解答】解：∵点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于原点对称， ∴a＝2，b＝﹣3， 故ab＝﹣6． 故选：D． 【变式1】若点M（a﹣2，﹣3）与点N（3，1﹣b）关于原点成中心对称，则a+b的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．5 D．7 【答案】B 【解答】解：∵点M（a﹣2，﹣3）与点N（3，1﹣b）关于原点成中心对称， ∴a﹣2＝﹣3，1﹣b＝3， 解得a＝﹣1，b＝﹣2， ∴a+b＝﹣1﹣2＝﹣3， 故选：B． 【变式2】若点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m﹣n的值是（　　） A．﹣9 B．﹣5 C．5 D．9 【答案】A 【解答】解：根据题意可知，m﹣1＝﹣3，2﹣n＝﹣5， 解得：m＝﹣2，n＝7， ∴m﹣n＝﹣2﹣7＝﹣9． 故选：A． 【变式3】若点A（2，a）与B（b，3）关于原点对称，则P（a，b）在第几象限（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解答】解：∵点A（2，a）与B（b，3）关于原点对称， ∴a＝﹣3，b＝﹣2， ∴P（﹣3，﹣2）， ∴点P（a，b）在第三象限， 故选：C． 1．2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A．图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意 故选：D． 2．下列各图中，四边形ABCD是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据中心对称的定义可知，选项A中阴影部分两个三角形成中心对称． 故选：A． 3．如图，四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，过点O的直线与AD，BC分别交于E，F，则图中相等的线段有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】C 【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD， ∵四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，BC＝AD，OE＝OF，AE＝CF，BF＝DE， 相等的线段共有5对． 故选：C． 4．如图，点O是菱形ABCD的对称中心，连接OA、OB，OA＝4，OB＝6，EF为过点O的一条直线，点E、F分别在AD、BC上，则图中阴影部分的面积为（　　） A．24 B．16 C．18 D．12 【答案】D 【解答】解：连接OC、OD， ， ∵点O是菱形ABCD的对称中心， ∴AC⊥BD，O是AC与BD的交点， ∴CO＝AO＝4，DO＝BO＝6， ∴AC＝8，BD＝12， ∵EF为过点O的一条直线， ∴四边形ABFE的面积＝四边形CDEF的面积菱形ABCD的面积， ∵菱形ABCD的面积AC×BD＝48， ∴四边形ABFE的面积＝24， ∵阴影部分的面积＝四边形ABFE的面积﹣S△ABO，S△ABOAO×BO＝12， ∴阴影部分的面积＝12， 故选：D． 5．点P（2a+1，4）与P′（1，3b﹣1）关于原点对称，则2a+b＝（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2 【答案】A 【解答】解：∵点P（2a+1，4）与P′（1，3b﹣1）关于原点对称， ∴2a+1＝﹣1，3b﹣1＝﹣4， ∴a＝﹣1，b＝﹣1， ∴2a+b＝2×（﹣1）+（﹣1）＝﹣3． 故选：A． 6．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A、B的坐标分别是（﹣1，1）、（2，1），将平行四边形ABCD沿x轴向左平移3个单位长度，则顶点C的对应点C1的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（4，﹣1） C．（1，2） D．（2，1） 【答案】A 【解答】解：∵平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点， ∴顶点C的坐标是（1，﹣1）， ∵将平行四边形ABCD沿x轴向左平移3个单位长度， ∴对应点C1的坐标是（﹣2，﹣1）． 故选：A． 7．若与﹣x3y2n是同类项，则点（m，n）关于原点的对称点所在象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解答】解：根据题意可知，n﹣2m＝3，2n＝4， 解得：， ∴点（m，n）即为：， 点（m，n）关于原点的对称点为：， ∴点在第四象限． 故选：D． 8．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1， ∴AB＝2AC＝2， ∴BB′＝2AB＝4． 故选：A． 9．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，顶点B的坐标为（6，6）．若直线l经过点（﹣1，0），且将正方形OABC分割成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式是（　　） A．y＝x﹣1 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵点B的坐标为（6，6）， ∴正方形的中心坐标为（3，3）， 设直线l的函数解析式为y＝kx+b， 则， 解得， 所以直线l的解析式为y． 故选：C． 10．如图，把Rt△EFG放置在正方形ABCD中，∠EGF＝90°，直角顶点G在正方形的对角线BD上，点E、F分别在AD和BC边上，EF经正方形ABCD的对称中心点O，且点O是EF的中点，下面说法：①若AB＝6，则CF+DE＝6；②若∠FEG＝32°，则∠EFC＝109°；③若BG＝1.5，CD＝5，FG＝3，则EG＝2，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AB＝BC＝6， ∴∠EDO＝∠FBO， 在△EDO和△FBO中， ， ∴△EDO≌△FBO（ASA）， ∴DE＝BF，OE＝OF， ∴CF+DE＝CF+BF＝BC＝6，故①正确， 若∠FEG＝32°，∵∠EGF＝90°， ∴∠OFG＝90°﹣32°＝58°， ∵OG＝OE＝OF， ∴∠OGF＝∠OFG＝58°， ∵∠OGF＝45°+∠GFB， ∴∠GFB＝58°﹣45°＝13°， ∴∠EFC＝180°﹣13°﹣58°＝109°，故②正确， ∵BDCD＝5， ∴OB＝OD， ∴EF＝2OG＝2（）＝53， ∴EG，故③错误， 故选：C． 11．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 　③⑤　 ．（填序号） ①等边三角形； ②直角三角形； ③长方形； ④正五边形； ⑤圆； ⑥平行四边形． 【答案】③⑤． 【解答】解：①等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； ②一般的直角三角形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； ③长方形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； ④正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； ⑤圆既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； ⑥平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． 故答案为：③⑤． 12．若点P（3，b）与点Q（a，﹣2）关于原点对称，则ab的值是　9　 ． 【答案】9． 【解答】解：根据题意可知，3+a＝0，b﹣2＝0， 解得：a＝﹣3，b＝2， ∴ab＝（﹣3）2＝9． 故答案为：9． 13．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为　12　 ． 【答案】12． 【解答】解：如图，过点A′作A′F⊥a于点F，过点A作AE⊥b于点E， ∵A′D⊥b于点D． ∠A′FO＝∠FOD＝∠A′DO＝90°， ∴四边形A′DOF是矩形， ∴A′F＝OD＝3， 同理可知，四边形ABOE是矩形， ∴AE＝OB＝4， ∵曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′， ∴AE＝A′D＝OB＝4，AB＝A′F＝3，图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×4＝12． 故答案为：12． 14．已知点A（﹣2m+4，3m﹣1）关于原点的对称点位于第四象限，则m的取值范围是m＞2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵点A（﹣2m+4，3m﹣1）关于原点的对称点位于第四象限， ∴﹣（﹣2m+4）＞0，﹣（3m﹣1）＜0， 解得：m＞2 则m的取值范围是：m＞2． 故答案为：m＞2． 15．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠C＝120°，E，F分别是BC，AD上的点，且3BE＝AF，连接EF，当EF平分菱形ABCD的面积时，EF的长为　2　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，过点D，F分别作DG⊥BC，FH⊥BC交BC的延长线于点G，H，连接AC，O为AC中点， 由条件可知CD＝BC＝AB＝4，AD∥BC， ∴DG⊥AD，FH⊥AD， ∴四边形DFHG是矩形， ∴HG＝DF，FH＝DG， 由条件可知EF过点O，OE＝OF，且∠AOF＝∠COE，OA＝OC， ∴△AFO≌△CEO（ASA）， ∴CE＝AF， ∵3BE＝AF， ∴， ∴HG＝DF＝1，EC＝3， ∵∠BCD＝120°， ∴∠DCG＝60°， ∴，CG＝2， ∴CH＝1，， ∴EH＝4， ∴在Rt△EFH中，． 16．知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分． （1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB　＝　 S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）； （2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分； （3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB＝S四边形DEFC； （2）如图所示： （3）如图所示： 故答案为：＝． 17．下面是小明同学的数学笔记，笔记中有一道因式分解题，小明在练书法时不小心将笔记中的两个数字沾上了墨水． 因式分解：． （1）分别求出“▲”“■”代表的数字． （2）在平面直角坐标系中，若点A的坐标为（▲，■），点A和点B关于原点对称，则点B的坐标为 　（﹣3，3）　 ． 【答案】（1）3，﹣3； （2）（﹣3，3）． 【解答】解：（1）设“▲”代表的数字为a，“■”代表的数字为b， ∴2x2﹣7x+a＝（2x﹣1）（x+b）． ∵（2x﹣1）（x+b）＝2x2+2bx﹣x﹣b＝2x2+（2b﹣1）x﹣b， ∴ 解得 ∴“▲”代表的数字是3，“■”代表的数字是﹣3； （2）∵点A的坐标为（▲，■）， 由（1）知：“▲”代表的数字是3，“■”代表的数字是﹣3． ∴A（3，﹣3） ∵点A和点B关于原点对称， ∴B（﹣3，3） 故答案为：（﹣3，3）． 18．如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6， （1）画出△BCD关于点D的中心对称图形； （2）根据图形说明线段CD长的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）所画图形如下所示： △ADE就是所作的图形． （2）由（1）知：△ADE≌△BDC， 则CD＝DE，AE＝BC， ∴AE﹣AC＜2CD＜AE+AC，即BC﹣AC＜2CD＜BC+AC， ∴2＜2CD＜10， 解得：1＜CD＜5． 19．如图，点O为平行四边形ABCD的对称中心，经过点O的直线交边AD于点M，交BA的延长线于点E，交边BC于点N，交DC的延长线于点F． （1）若∠BON＝90°，∠DBC＝30°，ON＝1，求BD的长； （2）连接BM、DN，证明四边形BMDN是平行四边形． 【答案】（1）； （2）见解答． 【解答】（1）解：∵∠BON＝90°，∠DBC＝30°，ON＝1， ∴BN＝2ON＝2， ∴， ∵点O为平行四边形ABCD的对称中心， ∴； （2）证明： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ODM＝∠OBN，∠OMD＝∠ONB， ∵BO＝DO， ∴△DOM≌△BON（AAS）， ∴DM＝BN， ∵DM∥BN， ∴四边形BNDM为平行四边形． 20．在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝6cm，BE是∠ABC的角平分线，点M从点E出发，沿ED方向以1cm/s的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线CB方向运动，以4cm/s的速度运动，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t（s）． （1）求AE的长； （2）是否存在以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）当t为何值时，线段NM将平行四边形ABCD面积二等分． 【答案】（1）AE＝3cm； （2）存在，或t＝2； （3）1． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵BE是∠ABC的角平分线， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB， ∵2AB＝6cm， ∴AE＝AB＝3cm； （2）由（1）知，AE＝3， ∵AD＝6， ∴DE＝AD﹣AE＝3， 由运动知，EM＝t，CN＝4t（0≤t≤3）， ∵AD∥BC，要使以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形，只要EM＝BN， 当点N在边BC上时，BN＝BC﹣CN＝6﹣4t， ∴t＝6﹣4t， ∴， 当点N在边CB的延长线上时，BN＝CN﹣BC＝4t﹣6， ∴t＝4t﹣6， ∴t＝2， ∴或t＝2时，以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形； （3）如图， 连接BD交MN于O， ∵线段NM将平行四边形ABCD面积二等分， ∴MN必过BD的中点， ∴OB＝OD， ∵AD∥BC， ∴∠MDO＝∠NBO， 在△MOD和△NOB中， ， ∴△MOD≌△NOB（ASA）， ∴DM＝BN， 由运动知，EM＝t，CN＝4t， ∴DM＝3﹣t，BN＝6﹣4t， ∴3﹣t＝6﹣4t， ∴t＝1， ∴t＝1时，线段MN将平行四边形ABCD面积二等分， 故答案为：1． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23.3 中心对称图形及关于原点对称的点的坐标 教学目标 1. 掌握中心对称图形的定义并能够熟练的判定生活中的一些中心对称图形。 2. 掌握中心对称图形的性质，并能够熟练对其应用。 3. 掌握关于原点对称的点的坐标规律特点，能够通过规律特点熟练的求值与作图。 教学重难点 1. 重点 （1） 中心对称图形的定义和性质； （2） 关于原点对称的点的坐标特点。 2. 难点 （1）利用中心对称图形的性质计算； （2）利用中心对称的对称中心平分面积； （3）利用关于原点对称的点的坐标特点求值。 知识点01 中心对称图形的定义 1. 中心对称图形的定义： 一个图形绕某一点旋转 后，如果旋转后的图形能够与旋转前 ，那么这个图形就叫做 ，这个点叫做中心对称图形的 。 【即学即练1】 1．在美术字中，有些汉字是中心对称图形．下列美术字中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．正方形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．平行四边形 知识点02 中心对称图形的性质 1. 中心对称图形的性质： 性质1：对应点连线都经过 ，且被对称中心 。 性质2：对应线段的数量关系是 的，位置关系为 或 。 性质3：对应角 。 性质4：经过对称中心的直线把中心对称图形分成两个 的图形。 特别提示：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的位置关系，而中心对称图形是指一个图形自身的形状特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同。 【即学即练1】 3．如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点E、F分别是边AB、CD上的点，且BE＝DF，已知矩形ABCD的面积是20，那么图中阴影部分的面积为　 　 ． 【即学即练2】 4．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB、BC的垂线，交各边于点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为 　 ． 【即学即练3】 5．如图，AB∥CD∥EF，AF∥ED∥BC，若画一条直线MN将这个图形分成面积相等的两个部分，则下列画法不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练4】 6．在一块矩形铁皮上裁去一个小矩形得到了如图所示的直角铁皮．用一条直线l将该直角铁皮分成面积相等的两部分，则符合条件的直线l有（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 知识点03 关于原点对称的点的坐标 1. 关于原点对称的点的坐标： 关于原点对称的两个点的坐标特点：横纵坐标均互为 。 即若点与点关于原点对称，则有 。 2. 关于点对称的点坐标： 关于点对称的点的坐标可以利用中点坐标公式进行求解。 【即学即练1】 7．点P（4，﹣3）关于原点的对称点是（　　） A．（4，3） B．（﹣3，4） C．（﹣4，3） D．（3，﹣4） 【即学即练2】 8．已知点A（a，﹣3）和点B（2，b）关于原点对称，则ab＝　 　 ． 题型01 中心对称图形的判断 【典例1】下列是“美丽贵州”每个字的拼音首字母的大写图形，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．徐州出土汉代玉器的下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得40金、27银和24铜共91枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩．以下是巴黎奥运会部分项目的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 题型02 利用中心对称图形的性质计算 【典例1】如图，点O为▱ABCD的对称中心，点F为边AD上一点，连接AO，CO，DO，FO，若▱ABCD的面积为16，DF＝3AF，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 【变式1】如图，经过正方形ABCD对称中心O的直线分别交BA的延长线、AD、BC于点E、F、G．已知DC＝4，DF＝3，则AE的长为（　　） A．2 B． C．3 D．4 【变式2】如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E，F是边AB上的点，G，H是边BC上的点，且EFAB，GHBC，若S1，S2分别表示△EOF 和△GOH 的面积，则　 　 ． 【变式3】如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点P，Q分别在边AD，BC上，且PQ经过点O，AB＝6，AP＝3，BC＝8，点E是边AB上一动点．则△EPQ周长的最小值为 　 　 ． 题型03 利用中心对称图形的对称中心平分面积 【典例1】如图，ABCD是一块长方形纸板．试画一条直线，将它的面积分成相等的两部分，那么这种直线能画（　　） A．2条 B．4条 C．8条 D．无数条 【变式1】有一块方角形钢板如图所示，如何用一条直线将其分为面积相等的两部分． 【变式2】如图在平行四边形的纸片上有一个圆洞，请画一条直线把纸片分成分成面积相等的两部分． 【变式3】如图，平行四边形ABCD中作GH∥AD，EF∥AB交AD，GH于E，F，现用一条直线将平行四边形GHBC与DEFG分成面积相等的两部分，并说明理由． 题型04 关于原点对称的点的坐标 【典例1】在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（2，﹣3） D．（﹣3，﹣2） 【变式1】在平面直角坐标系中，点A与点B关于原点对称，点A坐标为（﹣2，3），则点B坐标为（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣3，2） 【变式2】已知，，则点P（a，b）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1） 【变式3】在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，a2+1）关于原点对称的点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型05 利用关于原点对称的点的坐标特点求值 【典例1】点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于原点对称，则ab的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣6 【变式1】若点M（a﹣2，﹣3）与点N（3，1﹣b）关于原点成中心对称，则a+b的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．5 D．7 【变式2】若点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m﹣n的值是（　　） A．﹣9 B．﹣5 C．5 D．9 【变式3】若点A（2，a）与B（b，3）关于原点对称，则P（a，b）在第几象限（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各图中，四边形ABCD是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，过点O的直线与AD，BC分别交于E，F，则图中相等的线段有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 4．如图，点O是菱形ABCD的对称中心，连接OA、OB，OA＝4，OB＝6，EF为过点O的一条直线，点E、F分别在AD、BC上，则图中阴影部分的面积为（　　） A．24 B．16 C．18 D．12 5．点P（2a+1，4）与P′（1，3b﹣1）关于原点对称，则2a+b＝（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2 6．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A、B的坐标分别是（﹣1，1）、（2，1），将平行四边形ABCD沿x轴向左平移3个单位长度，则顶点C的对应点C1的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（4，﹣1） C．（1，2） D．（2，1） 7．若与﹣x3y2n是同类项，则点（m，n）关于原点的对称点所在象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为（　　） A．4 B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，顶点B的坐标为（6，6）．若直线l经过点（﹣1，0），且将正方形OABC分割成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式是（　　） A．y＝x﹣1 B． C． D． 10．如图，把Rt△EFG放置在正方形ABCD中，∠EGF＝90°，直角顶点G在正方形的对角线BD上，点E、F分别在AD和BC边上，EF经正方形ABCD的对称中心点O，且点O是EF的中点，下面说法：①若AB＝6，则CF+DE＝6；②若∠FEG＝32°，则∠EFC＝109°；③若BG＝1.5，CD＝5，FG＝3，则EG＝2，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 　 　 ．（填序号） ①等边三角形；②直角三角形；③长方形；④正五边形；⑤圆；⑥平行四边形． 12．若点P（3，b）与点Q（a，﹣2）关于原点对称，则ab的值是　 　 ． 13．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为　 　 ． 14．已知点A（﹣2m+4，3m﹣1）关于原点的对称点位于第四象限，则m的取值范围是 ． 15．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠C＝120°，E，F分别是BC，AD上的点，且3BE＝AF，连接EF，当EF平分菱形ABCD的面积时，EF的长为　 ． 16．知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分． （1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB　 　 S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）； （2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分； （3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）． 17．下面是小明同学的数学笔记，笔记中有一道因式分解题，小明在练书法时不小心将笔记中的两个数字沾上了墨水． 因式分解：． （1）分别求出“▲”“■”代表的数字． （2）在平面直角坐标系中，若点A的坐标为（▲，■），点A和点B关于原点对称，则点B的坐标为 　 　 ． 18．如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6， （1）画出△BCD关于点D的中心对称图形； （2）根据图形说明线段CD长的取值范围． 19．如图，点O为平行四边形ABCD的对称中心，经过点O的直线交边AD于点M，交BA的延长线于点E，交边BC于点N，交DC的延长线于点F． （1）若∠BON＝90°，∠DBC＝30°，ON＝1，求BD的长； （2）连接BM、DN，证明四边形BMDN是平行四边形． 20．在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝6cm，BE是∠ABC的角平分线，点M从点E出发，沿ED方向以1cm/s的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线CB方向运动，以4cm/s的速度运动，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t（s）． （1）求AE的长； （2）是否存在以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）当t为何值时，线段NM将平行四边形ABCD面积二等分． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$