单元验收评价数学试题（四）三角函数、解三角形——2026届高三数学一轮复习

秘密★启用前 2026年高考一轮复习单元验收评价试题（四） 数学 本试卷共4页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试范围：三角函数、解三角形。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．角-863°的终边所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知sin α-cosα=，则sin 2α等于(　　) A．- B．- C． D． 3．已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)等于(　　) A．-3m B．- C． D．3m 4．当x∈[0，2π]时，曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 5．在△ABC中，若c+acos C=b+acos B，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 6．已知<θ<，若a=，b=-cos2θ，c=-cosθ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c>a>b B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c 7．如图，有一古塔，在A点测得塔底位于北偏东30°方向上的点D处，在A点测得塔顶C的仰角为30°，在A点的正东方向且距D点75 m的B点测得塔底位于北偏西45°方向上(A，B，D在同一水平面)，则塔的高度CD约为(≈1．414)(　　) A．34．20 m B．35．35 m C．35．75 m D．36．20 m 8．已知α，β是函数f(x)=3sin-2在上的两个零点，则cos(α+β)等于(　　) A． B． C．0 D．1 2、 多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．在△ABC中，若A>B，则(　　) A．sin A>sin B B．cos A<cos B C．sin 2A>sin 2B D．cos 2A<cos 2B 10．已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)图象上相邻两条对称轴之间的距离为，则(　　) A．ω=2 B．函数f(x)为奇函数 C．函数f(x)的图象关于点对称 D．函数f(x)的图象关于直线x=对称 11．已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象过点A(0，1)和B(x0，-2)(x0>0)，且满足|AB|min=，则下列结论正确的是(　　) A．φ= B．ω= C．当x∈时，函数f(x)的值域为 D．函数y=x-f(x)有三个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos C=，a=3，b=4，则cos B=　　　　．  13．已知α∈，且cos=cos 2α，则sin=　　　　　　．  14．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知a=2，2sin B+2sin C=3sin A．则sin A的最大值为　　　　　　．  四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1． (1)求sin∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ACD的面积． 16．（15分） 已知函数f(x)=sin ωxcos ωx+cos2-(ω>0)的最小正周期为π． (1)求ω的值与f(x)的单调递增区间； (2)若x0∈且f(x0)=，求cos 2x0的值． 17．（15分） 在校园美化、改造活动中，要在半径为15 m，圆心角为的扇形空地EOF的内部修建一矩形观赛场地ABCD，如图所示．取CD的中点M，记∠MOC=θ． (1)写出矩形ABCD的面积S与角θ的函数关系式； (2)求当角θ为何值时，矩形ABCD的面积最大，并求出最大面积． 18．（17分） 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin(B－C)·tan A＝sin Bsin C． (1)若A＝B，求sin2A的值； (2)证明为定值． 19．（17分） 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin B+sin C=2sin Acos B． (1)证明：a2-b2=bc； (2)如图，点D在线段AB的延长线上，且AB=3，BD=1，当点C运动时，探究CD-CA是否为定值？ ( 数学试题（四） 第 3 页 共 4 页 数学试题（四） 第 4 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$2026年高考一轮复习单元验收评价测试（四） 数学答题卡 考号： 学校 姓名 班级： 注意事项 场耗表专场造清糖 2 场5件 维政时得像发等十净 上观显象项使用黑色菱字见桂写： 贴条形码区 相出答通区罐科可无效 正确填涂■肤考标记口 第1卷选择圈（共58分） 1国m回m6国国国m 11四m回回 2风国图里 7国图0母0 4团国圆0 9因国国▣ 5团四回国10因国图四 第Ⅱ卷选择题（共92分） 050) 第1沉共2重 ■ ■ ■ 圆 第2风月2宜 ■ 2026年高考一轮复习单元验收评价试题（四）数学答案与解析 1.C 解析　-863°=-2×360°-143°，则-863°和-143°的终边相同，故角-863°的终边在第三象限. 2.A 解析　∵(sin α-cosα)2=sin2α+cos2α-2sin αcosα=1-sin 2α=，∴sin 2α=-. 3.A 解析　由cos(α+β)=m得cosαcosβ-sin αsin β=m.①由tan αtan β=2得=2，②由①②得所以cos(α-β)=cosαcosβ+sin αsin β=-3m. 4.C 解析　因为函数y=sin x的最小正周期T=2π，函数y=2sin的最小正周期T1=，所以在[0，2π]上，函数y=2sin有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示， 由图可知，两函数图象有6个交点. 5. C 解析　已知c+acos C=b+acos B，A，B，C为△ABC的内角，由正弦定理可得sin C+sin Acos C=sin B+sin Acos B，即sin(A+B)+sin Acos C=sin(A+C)+sin Acos B，即sin Acos B+sin Bcos A+sin Acos C=sin Acos C+sin Ccos A+sin Acos B，化简得sin Bcos A=sin Ccos A，即cos A(sin B-sin C)=0，∴cos A=0或sin B=sin C，∴A为直角或B=C，∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形. 6.C 解析　a===sin θcosθ，b=(1-cos2θ)=sin2θ，c=-cosθ==sin θtan θ，又<θ<，则sin θ∈，且tan θ>1>sin θ>>cosθ>，所以c=sin θtan θ>b=sin2θ>a=sin θcosθ. 7.B 解析　由已知可得，在△ABD中，有∠BAD=60°，∠ABD=45°，BD=75，根据正弦定理=，可得AD=·sin∠ABD=×=25.在Rt△ADC中，有∠CAD=30°，AD=25，tan∠CAD=，所以CD=ADtan 30°=25×=25≈35.35. 8.B 解析　令f(x)=0，得3sin=2⇒sin=，∵x∈，∴2x+∈，∵α，β是函数f(x)=3sin-2在上的两个零点，则α，β是sin=在上的两个根，故2α++2β+=π⇒α+β=，cos(α+β)=cos =. 9.ABD 解析　在△ABC中，若A>B，由三角形中大边对大角，可得a>b，又由正弦定理，可知sin A>sin B，故A正确；又由余弦函数在(0，π)上单调递减，可知cos A<cos B，故B正确；由sin 2A＝2sin Acos A，和sin 2B＝2sin Bcos B，当A>时，cos A<0，所以sin 2A<sin 2B，故C错误；由cos 2A＝1－2sin2A，cos 2B＝1－2sin2B，由A可知cos 2A<cos 2B，故D正确. 10.AC 解析　f(x)=sin ωx-cos ωx=2=2sin，因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，所以T=，则T=π，所以T==π，解得ω=2，所以f(x)=2sin，故A正确；显然，函数f(x)为非奇非偶函数，故B错误；对于C选项，f =2sin=2sin(-π)=0，所以函数f(x)的图象关于点对称，故C正确；对于D选项，f =2sin=2sin=-1，所以函数f(x)的图象不关于直线x=对称，故D错误. 11.ABD 解析　点A(0，1)代入解析式得，2sin(ω×0+φ)=1，即sin φ=，又∵<，∴φ=，故A项正确； 由|AB|min==，解得x0=±2，又∵x0>0，∴x0=2，由A项可知f(x)=2sin，则f(2)=2sin=-2， 因此sin=-1，∴2ω+=+2kπ(k∈N)，解得ω=+kπ(k∈N)，又∵A(0，1)，B(2，-2)和|AB|min=，∴<2<，解得<ω<π，∴ω=，故B项正确；由AB选项可知，f(x)=2sin，则当x∈时，x+∈，此时函数f(x)的值域为，故C项错误；由五点作图法作出f(x)=2sin的图象及y=x的图象，如图所示， 通过图象可知f(x)=2sin与y=x的图象有3个交点，因此函数y=x-f(x)有三个零点，故D项正确. 12.　 解析　由余弦定理知，c2=a2+b2-2abcos C=32+42-2×3×4×=9，解得c=3，所以cos B===. 13.　 解析　因为cos=cos 2α，所以cos αcos +sin αsin =(cos2α-sin2α)，所以cos α+sin α=2(cos α-sin α)(cos α+sin α)，又α∈，所以cos α+sin α>0，所以cos α-sin α=，所以cos=， 即cos=，又α+∈，所以sin==. 14.　 解析　因为a=2，2sin B+2sin C=3sin A，所以由正弦定理可得b+c=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A， 得22=(b+c)2-2bc-2bccos A，整理得cos A=-1.因为bc≤=，当且仅当b=c=时，等号成立，所以cos A≥，又sin2A=1-cos2A，所以sin2A≤，又A∈(0，π)，即0<sin A≤. 15.解　(1)由余弦定理可得 BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC =4+1-2×2×1×cos 120°=7， 则BC=， 由正弦定理可得 sin∠ABC===. (2)由三角形面积公式可得 ==4， 则S△ACD=S△ABC =×=. 16.解　(1)f(x)=sin ωxcos ωx+sin2ωx- =sin ωxcos ωx+- =sin 2ωx-=sin， 因为函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0， 所以=π，解得ω=1， 所以f(x)=sin， 令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z)， 得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z). (2)由(1)知f(x)=sin， 则f(x0)=sin=， 因为x0∈，所以2x0-∈， 所以cos=-=-=-， 所以cos 2x0=cos =coscos -sinsin =-×-× =-. 17.解　(1)由题可知，θ∈， 在Rt△MOC中，OM=15cos θ，MC=15sin θ， ∴BN=MC=15sin θ， 在Rt△BON中，ON===5sin θ， ∴MN=OM-ON=15cos θ-5sin θ， ∴S=2·BN·MN=2×15sin θ× =150-75 =150sin-75，θ∈. (2)∵θ∈， ∴2θ+∈. ∴当2θ+=，即θ=时，Smax=75， 故当θ=时，矩形ABCD的面积最大，最大值为75 m2. 18.(1)解　由题得 ＝sin Asin C， ∵0<A<π，∴sin A≠0， 即sin Bcos C－sin Ccos B＝cos Asin C， ∵A＝B， ∴sin Acos C－sin Ccos A＝cos Asin C， ∴sin Acos C＝2cos Asin C. 又∵C＝π－2A， ∴sin Acos(π－2A)＝2cos Asin(π－2A)， 即－sin Acos 2A＝2cos Asin 2A， 即－sin A(1－2sin2A)＝4sin Acos2A， 整理得2sin2A－1＝4－4sin2A， 解得sin2A＝. (2)证明　由已知条件得 ＝sin Bsin C， 则sin Asin Bcos C－sin Asin Ccos B＝ cos Asin Bsin C， 故sin Asin Bcos C＝ sin C(cos Asin B＋sin Acos B)， ∴sin Asin Bcos C＝sin Csin(A＋B)， ∵A＋B＝π－C， ∴sin Asin Bcos C＝sin2C. 由余弦定理得cos C＝， 由正弦定理得ab·＝c2， 整理得＝3，即为定值. 19.(1)证明　sin B+sin C=2sin Acos B， 由正弦定理可得b+c=2acos B， 又∵cos B=， ∴b+c=， ∴bc+c2=a2+c2-b2， ∴a2-b2=bc. (2)解　由(1)知b+c=2acos∠CBA， ∴cos∠CBA==， 在△BCD中，BC=a，BD=1， ∴cos∠CBD=， 又∵cos∠CBD=cos(π-∠CBA)=-cos∠CBA， ∴-=， ∴-b-3=1+a2-CD2，∴CD2=4+a2+b， 又∵a2-b2=bc，c=3， ∴CD2=4+b2+3b+b=b2+4b+4=(b+2)2， ∵CD>0，∴CD=b+2， ∴CD-CA=b+2-b=2. 综上所述，CD-CA为定值2. 数学答案 第 2 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$数学答案 第 1 页 共 6 页 2026 年高考一轮复习单元验收评价试题（四）数学答案与解析 1.C 解析 -863°=-2×360°-143°，则-863°和-143°的终边相同，故角-863°的终边在第三象限. 2.A 解析 ∵(sin α-cosα)2=sin2α+cos2α-2sin αcosα=1-sin 2α=25 16 ，∴sin 2α=- 9 16 . 3.A 解析 由 cos(α+β)=m 得 cosαcosβ-sin αsin β=m.①由 tan αtan β=2 得 sin�sin� cos�cos� =2，②由①②得 cos�cos� =−�， sin�sin� =− 2�， 所以 cos(α-β)=cosαcosβ+sin αsin β=-3m. 4.C 解析 因为函数 y=sin x的最小正周期 T=2π，函数 y=2sin 3� − π 6 的最小正周期 T1= 2π 3 ，所以在[0，2π] 上，函数 y=2sin 3� − π 6 有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示， 由图可知，两函数图象有 6个交点. 5. C 解析 已知 c+acos C=b+acos B，A，B，C为△ABC的内角，由正弦定理可得 sin C+sin Acos C=sin B+sin Acos B，即 sin(A+B)+sin Acos C=sin(A+C)+sin Acos B，即 sin Acos B+sin Bcos A+sin Acos C=sin Acos C+sin Ccos A+sin Acos B，化简得 sin Bcos A=sin Ccos A，即 cos A(sin B-sin C)=0，∴cos A=0或 sin B=sin C，∴A为直角 或 B=C，∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形. 6.C 解析 a= tan� tan2�+1 = sin�cos� sin2�+cos2� =sin θcosθ，b=1 2 (1-cos2θ)=sin2θ，c= 1 cos� -cosθ=sin 2� cos� =sin θtan θ，又π 4 <θ<π 3 ，则 sin θ ∈ 2 2 ， 3 2 ，且 tan θ>1>sin θ> 2 2 >cosθ>1 2 ，所以 c=sin θtan θ>b=sin2θ>a=sin θcosθ. 7.B 解析 由已知可得，在△ABD中，有∠BAD=60°，∠ABD=45°，BD=75，根据正弦定理 �� sin∠��� = �� sin∠��� ， 可得 AD= �� sin∠��� ·sin∠ABD= 753 2 × 2 2 =25 6.在 Rt△ADC 中，有∠CAD=30°，AD=25 6，tan∠CAD=�� �� ，所以 CD=ADtan 30°=25 6× 3 3 =25 2≈35.35. 8.B 解析 令 f(x)=0，得 3sin 2� + π 6 =2⇒sin 2� + π 6 =2 3 ，∵x∈ 0， π 2 ，∴2x+π 6 ∈ π 6 ， 7π 6 ，∵α，β是函数 f(x)=3sin 2� + π 6 -2 在 0， π 2 上的两个零点，则 α， β是 sin 2� + π 6 = 2 3 在 0， π 2 上的两个根，故 2α+π 6 +2β+π 6 =π⇒α+β=π 3 ，cos(α+β)=cos π 3 =1 2 . 9.ABD 解析 在△ABC中，若 A>B，由三角形中大边对大角，可得 a>b，又由正弦定理，可知 sin A>sin B， 数学答案 第 2 页 共 6 页 故 A正确；又由余弦函数在(0，π)上单调递减，可知 cos A<cos B，故 B正确；由 sin 2A＝2sin Acos A，和 sin 2B＝2sin Bcos B，当 A>π 2 时，cos A<0，所以 sin 2A<sin 2B，故 C错误；由 cos 2A＝1－2sin2A，cos 2B＝1－ 2sin2B，由 A可知 cos 2A<cos 2B，故 D正确. 10.AC 解析 f(x)= 3sin ωx-cos ωx=2 3 2 sin�� − 1 2 cos�� =2sin �� − π 6 ，因为函数图象的两条相邻对称轴 之间的距离为 π 2 ，所以 1 2 T=π 2 ，则 T=π，所以 T=2π � =π，解得ω=2，所以 f(x)=2sin 2� − π 6 ，故 A正确；显然， 函数 f(x)为非奇非偶函数，故 B错误；对于 C选项，f − 5π 12 =2sin 2 × − 5π 12 − π 6 =2sin(-π)=0，所以函数 f(x) 的图象关于点 − 5π 12 ，0 对称，故 C正确；对于 D选项，f 2π 3 =2sin 2 × 2π 3 − π 6 =2sin 7π 6 =-1，所以函数 f(x) 的图象不关于直线 x=2π 3 对称，故 D错误. 11.ABD 解析 点 A(0，1)代入解析式得，2sin(ω×0+φ)=1，即 sin φ=1 2 ，又∵ � <π 2 ，∴φ=π 6 ，故 A项正确； 由|AB|min= 13= 32 + �02，解得 x0=±2，又∵x0>0，∴x0=2，由A项可知 f(x)=2sin �� + π 6 ，则 f(2)=2sin 2� + π 6 =-2， 因此 sin 2� + π 6 =-1，∴2ω+π 6 =3π 2 +2kπ(k∈N)，解得ω=2π 3 +kπ(k∈N)，又∵A(0，1)，B(2，-2)和|AB|min= 13， ∴ 2π 4� <2<2π � ，解得 π 4 <ω<π，∴ω=2π 3 ，故 B项正确；由 AB选项可知，f(x)=2sin 2π 3 � + π 6 ，则当 x∈ − 1 4 ，1 时， 2π 3 x+π 6 ∈ 0， 5π 6 ，此时函数 f(x)的值域为 0，2 ，故 C项错误；由五点作图法作出 f(x)=2sin 2π 3 � + π 6 的图象及 y=x的图象，如图所示， 通过图象可知 f(x)=2sin 2π 3 � + π 6 与 y=x的图象有 3个交点，因此函数 y=x-f(x)有三个零点，故 D项正确. 12. 1 9 解析 由余弦定理知，c2=a2+b2-2abcos C=32+42-2×3×4×2 3 =9，解得 c=3，所以 cos B=� 2+�2−�2 2�� =9+9−16 2×3×3 =1 9 . 13. 14 4 解析 因为 cos � − π 4 = 2cos 2α，所以 cos αcos π 4 +sin αsin π 4 = 2(cos2α-sin2α)，所以 cos α+sin α=2(cos α-sin α)(cos α+sin α)，又α∈ 0， π 2 ，所以 cos α+sin α>0，所以 cos α-sin α=1 2 ，所以 2cos � + π 4 =1 2 ， 即 cos � + π 4 = 2 4 ，又α+π 4 ∈ π 4 ， 3π 4 ，所以 sin � + π 4 = 1− cos2 � + π 4 = 14 4 . 14. 4 5 9 解析 因为 a=2，2sin B+2sin C=3sin A，所以由正弦定理可得 b+c=3.由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A， 数学答案 第 3 页 共 6 页 得 22=(b+c)2-2bc-2bccos A，整理得 cos A= 5 2�� -1.因为 bc≤ �+� 2 2 =9 4 ，当且仅当 b=c=3 2 时，等号成立，所以 cos A≥1 9 ， 又 sin2A=1-cos2A，所以 sin2A≤80 81 ，又 A∈(0，π)，即 0<sin A≤4 5 9 . 15.解 (1)由余弦定理可得 BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC =4+1-2×2×1×cos 120°=7， 则 BC= 7， 由正弦定理可得 sin∠ABC=��·sin∠��� �� = 1× 32 7 = 21 14 . (2)由三角形面积公式可得 �△��� �△��� = 1 2��·��sin90° 1 2��·��sin30° =4， 则 S△ACD= 1 5 S△ABC =1 5 × 1 2 × 2 × 1 × sin120° = 3 10 . 16.解 (1)f(x)= 3sin ωxcos ωx+sin2ωx-1 2 = 3sin ωxcos ωx+1−cos2�� 2 -1 2 = 3 2 sin 2ωx-cos2�� 2 =sin 2�� − π 6 ， 因为函数 f(x)的最小正周期为π，且ω>0， 所以 2π 2� =π，解得ω=1， 所以 f(x)=sin 2� − π 6 ， 令 2kπ-π 2 ≤2x-π 6 ≤2kπ+π 2 (k∈Z)， 得 kπ-π 6 ≤x≤kπ+π 3 (k∈Z)， 所以 f(x)的单调递增区间为 �π − π 6 ，�π + π 3 (k∈Z). (2)由(1)知 f(x)=sin 2� − π 6 ， 则 f(x0)=sin 2�0 − π 6 = 3 3 ， 因为 x0∈ π 3 ， 7π 12 ，所以 2x0-π6∈ π 2 ，π ， 数学答案 第 4 页 共 6 页 所以 cos 2�0 − π 6 =- 1− sin2 2�0 − π 6 =- 1− 3 3 2 =- 6 3 ， 所以 cos 2x0=cos 2�0 − π 6 + π 6 =cos 2�0 − π 6 cos π 6 -sin 2�0 − π 6 sin π 6 =- 6 3 × 3 2 - 3 3 ×1 2 =-3 2+ 3 6 . 17.解 (1)由题可知，θ∈ 0， π 3 ， 在 Rt△MOC中，OM=15cos θ，MC=15sin θ， ∴BN=MC=15sin θ， 在 Rt△BON中，ON= �� tan∠��� =15sin� 3 =5 3sin θ， ∴MN=OM-ON=15cos θ-5 3sin θ， ∴S=2·BN·MN=2×15sin θ× 15cos� − 5 3sin� =150 3 3 2 sin2� + 1 2 cos2� -75 3 =150 3sin 2� + π 6 -75 3，θ∈ 0， π 3 . (2)∵θ∈ 0， π 3 ， ∴2θ+π 6 ∈ π 6 ， 5π 6 . ∴当 2θ+π 6 =π 2 ，即θ=π 6 时，Smax=75 3， 故当θ=π 6 时，矩形 ABCD的面积最大，最大值为 75 3 m2. 18.(1)解 由题得 （sin Bcos C－sin Ccos B）sin A cos A ＝sin Asin C， ∵0<A<π，∴sin A≠0， 即 sin Bcos C－sin Ccos B＝cos Asin C， ∵A＝B， ∴sin Acos C－sin Ccos A＝cos Asin C， ∴sin Acos C＝2cos Asin C. 又∵C＝π－2A， 数学答案 第 5 页 共 6 页 ∴sin Acos(π－2A)＝2cos Asin(π－2A)， 即－sin Acos 2A＝2cos Asin 2A， 即－sin A(1－2sin2A)＝4sin Acos2A， 整理得 2sin2A－1＝4－4sin2A， 解得 sin2A＝5 6 . (2)证明 由已知条件得 （sin Bcos C－sin Ccos B）sin A cos A ＝sin Bsin C， 则 sin Asin Bcos C－sin Asin Ccos B＝ cos Asin Bsin C， 故 sin Asin Bcos C＝ sin C(cos Asin B＋sin Acos B)， ∴sin Asin Bcos C＝sin Csin(A＋B)， ∵A＋B＝π－C， ∴sin Asin Bcos C＝sin2C. 由余弦定理得 cos C＝a 2＋b2－c2 2ab ， 由正弦定理得 ab·a 2＋b2－c2 2ab ＝c2， 整理得 a2＋b2 c2 ＝3，即a 2＋b2 c2 为定值. 19.(1)证明 sin B+sin C=2sin Acos B， 由正弦定理可得 b+c=2acos B， 又∵cos B=� 2+�2−�2 2�� ， ∴b+c=� 2+�2−�2 � ， ∴bc+c2=a2+c2-b2， ∴a2-b2=bc. (2)解 由(1)知 b+c=2acos∠CBA， ∴cos∠CBA=�+� 2� =�+3 2� ， 在△BCD中，BC=a，BD=1， ∴cos∠CBD=� 2+1−��2 2� ， 数学答案 第 6 页 共 6 页 又∵cos∠CBD=cos(π-∠CBA)=-cos∠CBA， ∴-�+3 2� =� 2+1−��2 2� ， ∴-b-3=1+a2-CD2，∴CD2=4+a2+b， 又∵a2-b2=bc，c=3， ∴CD2=4+b2+3b+b=b2+4b+4=(b+2)2， ∵CD>0，∴CD=b+2， ∴CD-CA=b+2-b=2. 综上所述，CD-CA为定值 2. 数学试题（四） 第 1 页 共 4 页 数学试题（四） 第 2 页 共 4 页 秘密★启用前 2026 年高考一轮复习单元验收评价试题（四） 数学 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试范围：三角函数、解三角形。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．角-863°的终边所在的象限是( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知 sin α-cosα= ，则 sin 2α等于( ) A．- B．- C． D． 3．已知 cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则 cos(α-β)等于( ) A．-3m B．- C． D．3m 4．当 x∈[0，2π]时，曲线 y=sin x 与 y=2sin π 的交点个数为( ) A．3 B．4 C．6 D．8 5．在△ABC 中，若 c+acos C=b+acos B，则△ABC 的形状是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 6．已知 π <θ< π ，若 a= ，b= - cos2θ，c= -cosθ，则 a，b，c 的大小关系是( ) A．c>a>b B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c 7．如图，有一古塔，在 A 点测得塔底位于北偏东 30°方向上的点 D 处，在 A 点测得塔顶 C 的仰角为 30°，在 A 点的正东方向且距 D 点 75 m 的 B 点测得塔底位于北偏西 45°方向上(A，B，D 在同一水平面)，则塔的高度 CD 约为( ≈1．414)( ) A．34．20 m B．35．35 m C．35．75 m D．36．20 m 8．已知 α，β是函数 f(x)=3sin π -2 在 ， π 上的两个零点，则 cos(α+β)等于( ) A． B． C．0 D．1 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．在△ABC 中，若 A>B，则( ) A．sin A>sin B B．cos A<cos B C．sin 2A>sin 2B D．cos 2A<cos 2B 10．已知函数 f(x)= sin ωx-cos ωx(ω>0)图象上相邻两条对称轴之间的距离为 π ，则( ) A．ω=2 B．函数 f(x)为奇函数 C．函数 f(x)的图象关于点 π ， 对称 D．函数 f(x)的图象关于直线 x= π 对称 数学试题（四） 第 3 页 共 4 页 数学试题（四） 第 4 页 共 4 页 11．已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ) ， π 的图象过点 A(0，1)和 B(x0，-2)(x0>0)，且满足|AB|min= ，则 下列结论正确的是( ) A．φ= π B．ω= π C．当 x∈ ， 时，函数 f(x)的值域为 ， D．函数 y=x-f(x)有三个零点 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos C= ，a=3，b=4，则 cos B= ． 13．已知 α∈ ， π ，且 cos π = cos 2α，则 sin π = ． 14．在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边．已知 a=2，2sin B+2sin C=3sin A．则 sin A 的最大值 为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13 分） 在△ABC 中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1． (1)求 sin∠ABC； (2)若 D 为 BC 上一点，且∠BAD=90°，求△ACD 的面积． 16．（15 分） 已知函数 f(x)= sin ωxcos ωx+cos 2 π - (ω>0)的最小正周期为 π． (1)求 ω的值与 f(x)的单调递增区间； (2)若 x0∈ π ， π 且 f(x0)= ，求 cos 2x0 的值． 17．（15 分） 在校园美化、改造活动中，要在半径为 15 m，圆心角为 π 的扇形空地 EOF 的内部修建一矩形观赛场地 ABCD， 如图所示．取 CD 的中点 M，记∠MOC=θ． (1)写出矩形 ABCD 的面积 S 与角 θ的函数关系式； (2)求当角 θ为何值时，矩形 ABCD 的面积最大，并求出最大面积． 18．（17 分） 已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，sin(B－C)·tan A＝sin Bsin C． (1)若 A＝B，求 sin2A 的值； (2)证明 a 2＋b2 c 2 为定值． 19．（17 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 sin B+sin C=2sin Acos B． (1)证明：a2-b2=bc； (2)如图，点 D 在线段 AB 的延长线上，且 AB=3，BD=1，当点 C 运动时，探究 CD-CA 是否为定值？