第2章 全等三角形课件 2025-2026学年 青岛版（2024）八年级数学上册

第3课时　“边边边” 知识点1 三角形全等的判定方法4[边边边“ SSS”] 基本事实：_____分别相等的两个三角形全等．简写成_______ _____或________． 三边 “边边 边” “SSS” 【注意】 两个三角形的三个角分别相等时，不能判定两个三角形全等． 知识点2 三角形的稳定性 三角形的三条边的长度确定后，它的_____和_____就确定了． 三角形的这种特性叫作三角形的稳定性． 形状 大小 知识点3 n边形(n>3)的不稳定性 多边形的各边的长度确定后，它的_____、_____不能确定．多 边形的这种特性叫作多边形的不稳定性． 形状 大小 知识点4 判定三角形全等的方法的选择 已知对应 相等的元素 可选择的 判定方法 需寻找的条件 两边(SS) SSS或 SAS 可找第三边对应相等或找两边的夹角对应相等 一边及其 邻角(SA) SAS 或ASA 或 AAS 可找已知角的另一邻边对应相等或找已知边的另一邻角对应相等或找已知边的对角对应相等 一边及其 对角(SA) AAS 可找另一角对应相等 两角 (AA) ASA或AAS 可找两角的夹边对应相等或找其中一角的对边对应相等 考点1 全等三角形的判定方法4“ SSS ” 典例1 如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF. (1)试说明：BC∥EF； (2)若∠A＝55°，∠B＝88°， 求∠F的度数． 思路导析 (1)证出AC＝DF，再根据“SSS”推出△ABC≌△DEF，可得∠BCA＝∠EFD，进而可得结论； (2)由△ABC≌△DEF，得∠F＝∠ACB，根据三角形的内角和定理可求∠ACB，由此可得∠F的度数． 所以∠BCA＝∠F， 所以BC∥EF； (2)∠F＝∠ACB＝180°－88°－55°＝37°. 【方法技巧】 用“SSS”判断两个三角形全等时，三边的对应关系是大边对大边，小边对小边． 变式 [2024·温州期中]已知：如图，点E，F在线段BC上，BF＝CE，AB＝DC，AE＝DF. (1)求证：△ABE≌△DCF； (2)若∠AEB＝40°，求∠AOF的度数． 考点2 三角形的稳定性与四边形的不稳定性 典例2 如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形经常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条(即图中的AB和CD)，这样做的依据是( ) A．三角形的稳定性 B．垂线段最短 C．长方形的轴对称性 D．两点之间线段最短 思路导析 根据三角形具有稳定性解答． 【规律总结】 三角形的稳定性在实际生活中有着广泛地应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 变式1 如图所示，在杭州亚运会上一名中国运动员在跪姿射击 时是由左手、左肘、左肩、右肩构成两个三角形．这样做的数 学依据是_________________． 三角形具有稳定性 变式2 要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n边形木架呢？ 解：四边形木架至少要再钉上1根木条，使四边形变成两个三角形；五边形木架至少要再钉上2根木条，使五边形变成3个三角形；六边形木架至少要再钉上3根木条，使六边形变成4个三角形；n边形木架至少要再钉上(n－3)根木条，使n边形变成(n－2)个三角形． 解：(1)因为AD＝CF， 所以AD＋DC＝DC＋CF， 所以AC＝DF. 在△ABC和△DEF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,BC＝EF，,AC＝DF，)) 所以△ABC≌△DEF(SSS)， 解：(1)证明：因为BF＝CE， 所以BE＝CF. 在△ABE和△DCF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝CF，,AB＝DC，,AE＝DF，)) 所以△ABE≌△DCF(SSS)； (2)因为△ABE≌△DCF，所以∠DFC＝∠AEB＝40°，所以∠AOF＝∠AEB＋∠DFC＝80°. $$第2课时　“角边角”和“角角边” 知识点1 三角形全等的判定方法2[角边角“ASA”] 基本事实：_____及其_____分别相等的两个三角形全等．简写 成___________或________． 两角 夹边 “角边角” “ASA” 知识点2 三角形全等的判定方法3[角角边“AAS”] 定理：_____分别相等且其中一组___________相等的两个三角 形全等．简写成___________或________． 两角 等角的对边 “角角边” “AAS” 考点1 全等三角形的判定方法2“ASA” 典例1 [2024·通辽期中]如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F. 求证：△ABC≌△DEF. 思路导析 根据AB∥DE，可得∠B＝∠DEF，由BE＝CF可得BC＝EF，根据“ASA”可证△ABC≌△DEF. 变式 [2024·新乡期中]如图，点E，F在AB上，且AE＝BF，DE∥CF，AC∥BD. 求证：△ACF≌△BDE. 证明：因为AE＝BF， 所以AE＋EF＝BF＋EF， 即AF＝BE. 因为DE∥CF， 所以∠DEB＝∠CFA. 因为AC∥BD， 所以∠CAF＝∠DBE. 考点2 全等三角形的判定方法3“AAS ” 典例2 [2024·菏泽期中]如图，点A在DE上，AB＝ED，∠B＝∠D，∠BCD＝∠ACE，求证：AC＝EC. 思路导析 由∠BCD＝∠ACE，可得∠BCA＝∠DCE，利用“AAS”即可证△ABC≌△EDC，则可得AC＝EC. 证明：因为∠BCD＝∠ACE， 所以∠BCD＋∠ACD＝∠ACE＋∠ACD， 所以∠BCA＝∠DCE. 因为AB＝ED，∠B＝∠D， 所以△ABC≌△EDC(AAS)， 所以AC＝EC. 变式 [2024·济宁期中]如图，C，A，D在同一直线上，已知AB∥CE，∠B＝∠D，BC＝DE. (1)求证：△ABC≌△CDE； (2)若CE＝7，AB＝12，求线段AD的长． 解：(1)证明：因为AB∥CE， 所以∠BAC＝∠DCE. 因为∠B＝∠D，BC＝DE， 所以△ABC≌△CDE(AAS)； (2)由△ABC≌△CDE得AC＝CE＝7，AB＝CD＝12，所以AD＝CD－AC＝5. 证明：因为BE＝CF， 所以BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF. 因为AB∥DE， 所以∠ABC＝∠DEF. 在△ABC和△DEF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABC＝∠DEF，,BC＝EF，,∠ACB＝∠F，)) 所以△ABC≌△DEF(ASA)． 在△ACF与△BDE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CFA＝∠DEB，,AF＝BE，,∠CAF＝∠DBE，)) 所以△ACF≌△BDE(ASA)． $$第4课时　“斜边、直角边” 知识点 斜边、直角边定理 1．_____和___________分别相等的两个直角三角形全等，简写 成“斜边、直角边”或“HL”． 斜边 一条直角边 2．符号语言： 【注意】 1．“HL”定理只适合判定两个直角三角形全等．用“HL”证明两个直角三角形全等时要明确标注“Rt△”． 2．一般三角形的其他四种判定全等的方法在直角三角形判定中同样适用． 考点 利用“ HL”证明三角形全等 典例 [2024·太谷区期中]如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是( ) A．∠ABD＝∠CDB B．∠ADB＝∠CBD C．AB＝CD D．AD＝CB 思路导析 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案． 变式1 [2024·连州期中]下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是( ) A．斜边和一直角边分别对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等 D．两条直角边分别对应相等 变式2 [2024·齐齐哈尔期末]如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5 cm，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC，连接CF，使CF＝AB，若EF＝12 cm，求AE的长． 解：AE＝7 cm(过程略)． 变式3 [2024·义乌期中]数学课上，老师提出了一个问题：如图，已知∠C＝∠F＝90°，BC＝EF，请补充一个条件，使得△ABC≌△DEF.三位同学展示了自己补充的条件： 甲补充条件AC＝DF，全等的判定依据是 “SAS”； 乙补充条件∠B＝∠E，全等的判定依据 是 ； 丙补充条件 ，全等的判定依据是“HL”． (1)请补全乙、丙同学展示的答案； (2)请在甲、乙、丙三位同学中任选一种情况，写出完整的全等证明过程． 解：(1)“ASA”；AB＝DE； (2)甲：因为AC＝DF，∠C＝∠F＝90°，BC＝EF， 所以△ABC≌△DEF(SAS)； 乙：因为∠C＝∠F＝90°，BC＝EF，∠B＝∠E， 所以△ABC≌△DEF(ASA)； 丙：因为∠C＝∠F＝90°，BC＝EF，AB＝DE， 所以Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)． 如图所示， 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝A′B′，,AC＝A′C′，)) 所以Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)． $$第2课时　过直线外一点作这条 直线的平行线和垂线 知识点1 用尺规作平行线 如图，已知直线AB及直线AB外一点C.利用直尺和圆规过点C作直 线AB的平行线CD. 作法：如图， (1)过点C作一条直线，与直线AB相交于点E； (2)在点C处作∠CEB的同位角∠FCD，使∠FCD＝∠CEB； (3)反向延长CD，得直线CD，则直线CD∥AB. 【拓展】 也可以用内错角相等，两直线平行作图． 知识点2 过直线外一点作这条直线的垂线 已知：直线l和l外一点P. 求作：直线l的垂线，使它经过点P. 作法：如图， (1)以点P为圆心，在直线l的另一侧取一点K，以PK为半径作弧， 交直线l于点M，N； (2)分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧交于 点Q； (3)作直线PQ.直线PQ就是所求作的垂线． 考点1 用尺规作平行线 典例1 如图，用尺规作图作出OA∥BF，则作图痕迹弧MN是( ) A．以点B为圆心，OD长为半径作的弧 B．以点B为圆心，DC长为半径作的弧 C．以点E为圆心，OD长为半径作的弧 D．以点E为圆心，DC长为半径作的弧 思路导析 根据作一个角等于已知角的作图方法解答即可． 变式 [2025·榆林期末]如图，在∠ABC中，点D在边AB上，请用尺规作图法，过点D作直线DE∥BC.(保留作图痕迹，不写作法) 解：如图，直线DE即为所求． 考点2 过直线外一点作已知直线的垂线 典例2 已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，请利用直角三角形全等的HL判定定理，求作Rt△DEF，使Rt△DEF≌Rt△ABC. 思路导析 先画一条直线MN，在直线外任找一点P，过点P作PQ⊥MN，垂足为点F，以点F为圆心，BC长为半径画弧，交MN于点E，以点E为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点D，则△DEF即为所求作． 解：如图，Rt△DEF为所求作． 变式 [2025·河北二模]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB ＝4，AC＝3，AB＝5，以点C为圆心，大于点C到边AB的距离为 半径画弧交边AB于D点，E点，分别以点D，点E为圆心，大于 DE长为半径画弧交于点G，点F，作直线FG交AB于点H，则点C和 点H两点间的距离为( ) A．2　　　 B．2.4　　　 C．3　　　 D．5 eq \f(1,2) eq \f(1,2) $$2.2　三角形全等的判定 第1课时　“边角边” 知识点 三角形全等的判定方法1[边角边“ SAS”] 基本事实：_____及其_____分别相等的两个三角形全等．简写 成___________或________． 两边 夹角 “边角边” “SAS” 【注意】 ①“SAS”判定中，角必须是夹角； ②若两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形不一定全等． 考点 全等三角形的判定方法1“ SAS ” 典例 [2024·烟台期末]如图，在△ABC和△AEF中，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF.△ABC与△AEF全等吗？请说明理由． 思路导析 根据∠BAE＝∠CAF得到∠BAC＝∠EAF，利用“SAS”即可证明△ABC≌△AEF. 变式1 [手拉手模型][2024·咸阳期中]如图，在△ABC和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝50°，连接BD，CE，若 点B，D，E在同一直线上，则∠BEC的度数为___°. 50 变式2 [2024·济南期末]如图，点B，F，C，E在同一条直线上， DF＝AC，EC＝BF，∠ACB＝∠DFE.△ABC与△DEF全等吗？请说 明理由． 变式3 [手拉手模型][2024·烟台期中]手工课上李明、王帅做了两个不全等的等腰直角三角形纸板，课外活动时，他们拿出来拼图玩．当两个三角形纸板如图1所示放置时，可抽象出图2所示的几何图形，此时点B，C，E在同一条直线上，连接DC.爱动脑筋的李明说：结合此图，能得到全等三角形，而且还能得出DC⊥BE.请用你所学的知识，说明理由． 证明：因为∠BAC＝∠EAD＝90°， 所以∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE， 即∠BAE＝∠CAD. 又因为AB＝AC，AE＝AD， 所以△ABE≌△ACD(SAS)， 所以∠BEA＝∠CDA. 又因为∠ADE＋∠AED＝90°， 所以∠CED＋∠EDC＝∠BEA＋∠AED＋∠EDC＝∠CDA＋∠EDC＋∠AED＝∠EDA＋∠AED＝90°， 所以DC⊥BE. 解：△ABC≌△AEF.理由如下： 因为∠BAE＝∠CAF， 所以∠BAE＋∠EAC＝∠CAF＋∠EAC， 即∠BAC＝∠EAF. 在△ABC和△AEF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AE，,∠BAC＝∠EAF，,AC＝AF，)) 所以△ABC≌△AEF(SAS)． 解：△ABC≌△DEF.理由： 因为BF＝EC， 所以BF＋FC＝EC＋FC， 即BC＝EF， 所以在△ABC和△DEF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝DF，,∠ACB＝∠DFE，,BC＝EF，)) 所以△ABC≌△DEF(SAS)． $$2.3　尺规作图 第1课时　作一个三角形全等于已知三角形 知识点1 作一条线段等于已知线段 1．已知线段AB，求作线段CD，使CD＝AB. 2．作法： ①作射线CE； ②在射线CE上截取CD＝AB. 线段CD即为所求作的线段． 【注意】 尺规作图必须保留作图痕迹． 知识点2 作一个角等于已知角 1．已知∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB. 2．作法：①作射线O′A′； ②以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D； ③以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； ④以点C′为圆心，CD长为半径画弧，交上一步所作的弧于点D′； ⑤过点D′作射线O′B′. ∠A′O′B′即为所求作的角． 最基本、最常用的尺规作图，称为基本作图．“作一条线段等 于已知线段”和“作一个角等于已知角”都是基本作图． 【注意】 作一个角等于已知角，实际是利用尺规作图作一个三角形与已知三角形全等，利用的判定方法是“SSS”． 知识点3 用尺规作三角形 类型1.已知三边求作三角形 已知：　　　　　　　　　作图： 类型2.已知两边及其夹角求作三角形 已知：　　　　　　　　　作图： 【注意】 先作角，再截取两边． 类型3.已知两角及其夹边求作三角形 已知：　　　　　　　　　作图： 【注意】 先作边，再在同侧作两个角． 考点1 简单的尺规作图 典例1 [2024·枣庄期中]如图所示，已知∠α和∠β，利用尺规作∠BOD＝∠α＋2∠β. 思路导析 根据角的和差及作角等于已知角的作法作图． 解：作法：如图所示，①作∠BOC＝∠α； ②以射线OC为一边，在∠BOC的外部作∠COA，使∠COA＝∠β； ③以射线OA为一边，在∠COA外部作∠AOD，使∠AOD＝∠β， 则∠BOD就是所求作的角． 【规律总结】 在尺规作图时，直尺的作用是画直线，不能够用来度量，圆规是用来画弧或者画圆的． 变式 [2025·宝鸡期末]如图，已知∠α，作∠MON，使∠MON＝2∠α.(不写作法，保留作图痕迹) 解：如图，∠MON即为所求． 考点2 用尺规作三角形 典例2 [2024·淄博期末]如图，已知∠α和线段a，用尺规作 一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于2∠α， 且这两个内角的夹边等于a.(不写作法，保留作图痕迹) 思路导析 根据作角和线段的基本作法即可作出． 解：△ABC即为所求作． 变式 [2024·青岛期末]已知：线段a和∠α. 求作：△ABC，使得AB＝a，BC＝2a，∠ABC＝∠α.(不写作法，保留作图痕迹) 解：△ABC即为所求作． $$第2章 全等三角形 2.1　全等三角形 知识点1 全等形的概念 1．定义：能够_________的两个平面图形，叫作全等形． 2．特点：全等形的_____相同，_____相等． 完全重合 形状 大小 知识点2 全等三角形的定义及其表示方法 1．定义：能够_________的两个三角形叫作全等三角形．其中 互相重合的顶点叫作_________，互相重合的边叫作_______， 互相重合的角叫作_______． 2．表示方法：△ABC和△DEF全等，记作_____________，读作 “△ABC全等于△DEF”，其中“≌”是全等符号，读作“_____ ___”． 完全重合 对应顶点 对应边 对应角 △ABC≌△DEF 全等 于 【注意】 全等形对应顶点写在对应位置上． 知识点3 全等三角形的性质 全等三角形的_______相等，_______相等．全等三角形的周长、 面积_____． 对应边 对应角 相等 考点1 全等形的概念 典例1 如图所示，下列四组图形，其中是全等形的有( ) A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 思路导析 ①中的两个图形虽然形状相同，但大小不相等；③中 的两个图形形状不相同；只有②④中的两个图形形状相同，大 小相等，是全等形． 变式 [2024·桥西区期中]下列各组图形中，属于全等形的 是( ) 考点2 全等三角形及有关概念 典例2 如图所示，已知△ABC与△DCB全等，AB＝DC，指出它们的对应边和对应角． 思路导析 由△ABC≌△DCB，AB＝DC，即可找出两个三角形各对应边与对应角． 解：对应边：AB与DC，AC与DB，BC与CB；对应角：∠A与∠D，∠ABC与∠DCB，∠ACB与∠DBC. 变式 如图所示，已知△ABE≌△ACD，指出它们的对应边和对应角． 解：因为△ABE≌△ACD， 所以AB的对应边是AC，BE的对应边是CD，AE的对应边是AD， ∠B的对应角是∠C，∠BAE的对应角是∠CAD，∠E的对应角 是∠D. 考点3 全等三角形的性质 典例3 如图，点A，B，C，D在同一直线上， △ACE≌△DBF，若AB＝3，BC＝2，∠A＝60°， 求AD的长和∠D的度数． 思路导析 根据全等三角形的对应边相等即可求出BD的长，进而求出AD的长；根据全等三角形对应角相等即可求出∠D的大小． 解：由图形，得AC＝AB＋BC＝3＋2＝5. 因为△ACE≌△DBF， 所以BD＝AC＝5，∠D＝∠A＝60°， 所以AD＝AB＋BD＝3＋5＝8， 所以AD的长是8，∠D的度数是60°. 【规律总结】 (1)字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角．(2)图形位置确定法：①公共边一般是对应边；②公共角一般是对应角；③对顶角一般是对应角．(3)图形大小确定法：两个全等三角形的最大的边(角)是对应边(角)，最小的边(角)是对应边(角)． 变式1 如图，已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数 是( ) A．72° B．60° C．58° D．50° 变式2 [2024·东丽期中]如图，点D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，且△ABD≌△CAE，AD＝2 cm，BD＝4 cm.求： (1)DE的长； (2)∠BAC的度数． 解：(1)由题意，得AE＝BD＝4 cm， 所以DE＝AD＋AE＝6(cm)； (2)因为BD⊥DE，所以∠D＝90°， 所以∠DBA＋∠BAD＝90°. 因为△ABD≌△CAE， 所以∠ABD＝∠CAE， 所以∠BAD＋∠CAE＝90°. 又因为点D，A，E在同一条直线上， 所以∠BAD＋∠BAC＋∠CAE＝180°， 所以∠BAC＝90°. $$