第3章 分式 课件 2025-2026学年 青岛版（2024）八年级数学上册

第3章 分式 3.1　分式 第1课时　分式的概念 知识点1 分式的概念 如果把A÷B写成 的形式，其中A，B都是整式，且B中含有字母， 那么代数式 就叫作分式，其中A叫作分式的_____，B叫作分式 的_____． 分子 分母 【注意】 理解分式的概念应注意两点：①A，B都是整式；②B中含有字母． 知识点2 分式有、无意义的条件 分式 有意义的条件是_____，分式 无意义的条件是_____． B≠0 B＝0 知识点3 分式的值为零的条件 分式 的值为0的条件是_____且_____． A＝0 B≠0 思路导析 根据分式的定义逐项判断即可． 思路导析 根据分式有意义的条件可得x2－1≠0，再求解即可． 解：(1)x≠－3； (2)x≠0且x≠－2； (3)x≠±6； (4)x为任意实数． 思路导析 直接利用分式的值为零时分子为零、分母不为零得 出答案． eq \f(A,B) eq \f(A,B) eq \f(A,B) eq \f(A,B) eq \f(A,B) 考点1 分式的概念 典例1 [2024·菏泽期中]下列代数式中，不是分式的是( ) A. eq \f(m2,m) B．－eq \f(2,3)x5 C．eq \f(2,x＋2) D．eq \f(x,3＋y) 变式 代数式eq \f(2,5)x，eq \f(1,π)，eq \f(3,a2＋2)，b2－eq \f(2,3)，eq \f(1,x)，eq \f(m＋1,m＋3)中，属于分式的 有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考点2 分式有意义的条件 典例2 [2024·淄博期末]若分式eq \f(x＋1,x2－1)有意义，则x的取值范围 是( ) A．x≠1 B．x≠±1 C．x≠－1 D．无法确定 变式 求当x满足什么条件时，下列分式有意义： (1)eq \f(2x－1,x＋3)； (2)eq \f(x－2,x2＋2x)； (3)eq \f(x－4,|x|－6)； (4)eq \f(5,x2＋1). 考点3 分式的值为零的条件 典例3 若分式eq \f(x2－4,x)的值为0，则x的值是( ) A．2或－2 B．2 C．－2 D．0 变式 [2024·临沂期末]若分式eq \f(|x|－5,x＋5)的值为0，则实数x的值 为( ) A．0或5 B．5 C．－5或0 D．－5或5 $$第2课时　与分式方程增根有关的问题 知识点1 分式方程的增根 在分式方程变形的过程中得到的适合整式方程，但不适合原方 程的解，叫作分式方程的增根． 知识点2 根据分式方程的增根，求待定字母的值 根据最简公分母确定增根的值，将分式方程去分母转化为___ _______，把增根的值代入整式方程计算即可求出待定字母的值． 整 式方程 知识点3 分式方程无解 分式方程无解有两种情况：(1)分式方程去分母后，所得的整式 方程的根是原分式方程的_____；(2)分式方程化为整式方程后， 所得的整式方程_____．在没有特殊说明时，两种情况都要考虑． 增根 无解 思路导析 根据解分式方程的方法，将分式方程化为整式方程，解整式方程，求出x的值，最后检验即可． 解：去分母，得1＝－(1－x)－3(x－2)， 解得x＝2， 检验：当x＝2时，x－2＝0， 所以x＝2是增根， 所以原分式方程无解． 思路导析 先根据最简公分母确定增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 思路导析 根据分式方程无解分两种情况，一是方程有增根，得出x＝0或x＝1，求出a的值；二是去分母后的整式方程无解，即可求解． 考点1 分式方程的增根 典例1 解方程：1－eq \f(x,x＋3)＝eq \f(6x,x2－9). 解：1－eq \f(x,x＋3)＝eq \f(6x,x2－9)， 方程两边同时乘(x＋3)(x－3)， 得x2－9－x(x－3)＝6x， 解得x＝－3， 检验：当x＝－3时，(x＋3)(x－3)＝0，因此x＝－3是原分式方程的增根， 所以原分式方程无解． 变式 解方程：eq \f(1,x－2)＝eq \f(1－x,2－x)－3. 考点2 根据分式方程的增根，求待定字母的值 典例2 [2024·烟台期末]如果方程eq \f(x＋1,x－4)＋1＝eq \f(m,4－x)有增根，那么m的值等于( ) A．－5 B．4 C．5 D．－6 变式1 [2024·北京期末]若关于x的分式方程eq \f(x＋m,4－x2)＋eq \f(x,x－2)＝1有增根，则m的值是( ) A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝－6 变式2 若方程eq \f(3x,x－3)＋5＝eq \f(m,3－x)有增根，求m的值． 解：eq \f(3x,x－3)＋5＝eq \f(m,3－x)去分母，得3x＋5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－3))＝－m， 移项，得3x＋5x－15＝－m，解得x＝eq \f(15－m,8)， 因为分式方程有增根， 所以x－3＝0，即x＝3， 所以eq \f(15－m,8)＝3，解得m＝－9. 考点3 分式方程无解 典例3 [2024·孝感期末]如果关于x的分式方程eq \f(x－a,x－1)－eq \f(2,x)＝1无解，则a的值为( ) A．－1　 B．1　 C．0或1　 D．－1或1 解析：eq \f(x－a,x－1)－eq \f(2,x)＝1， 方程两边同时乘以x(x－1)，得x(x－a)－2(x－1)＝x(x－1)， 化简得(a＋1)x＝2， 因为关于x的分式方程eq \f(x－a,x－1)－eq \f(2,x)＝1无解， 所以a＋1＝0或x＝0或x－1＝0， 所以a＝－1或x＝0或x＝1，当x＝0时，此时a不存在； 当x＝1时，a＋1＝2，此时a＝1，所以a的值为－1或1. 变式 若关于x的方程eq \f(1,x－4)＋eq \f(m,x＋4)＝eq \f(m＋3,x2－16)无解，求m的值． 解：eq \f(1,x－4)＋eq \f(m,x＋4)＝eq \f(m＋3,x2－16)， 等式两边同乘(x2－16)，得 x＋4＋m(x－4)＝m＋3， 整理得(m＋1)x＝5m－1， 当m＋1＝0时，该一元一次方程无解， 此时m＝－1； 当m＋1≠0时，则x＝eq \f(5m－1,m＋1)， 因为x2－16≠0，即x≠±4， 当eq \f(5m－1,m＋1)＝±4时，则原分式方程无解， 解得m＝5或m＝－eq \f(1,3). 综上所述，m＝－1或m＝5或m＝－eq \f(1,3)时，关于x的方程无解． $$3.4　分式方程 第1课时　分式方程及其解法 知识点1 分式方程的定义 分母中含有_______的方程叫作分式方程． 未知数 知识点2 分式方程的解法 解分式方程的基本思想：通过去分母，将分式方程转化为_____ _____，借助整式方程可求得分式方程的解．一般步骤：“化 整→解整→验根”． 整式 方程 【温馨提示】 解分式方程可能产生不适合方程的根，必须要进行检验！ 思路导析 根据分式方程的定义进行判断． 思路导析 根据解分式方程的一般步骤解分式方程即可． 【规律总结】 (1)解分式方程的关键是去分母，在去分母时，分式方程两边的每一项都要乘最简公分母，注意不要漏乘不含分母的项．(2)因为解整式方程可能会产生不适合原方程的解，所以检验是解分式方程的必要步骤．(3)如果分式的分子是多项式，那么去分母时，一定要先将分子加上括号． 考点1 分式方程的认识 典例1 [2024·荆门期末]下列方程不是分式方程的为( ) A．eq \f(1,1＋x)－eq \f(1,2－x)＝1 B．x＋eq \f(1,x)＝2 C．eq \f(x,3)＋eq \f(x,6)＝1 D．eq \f(5,x)＝eq \f(7,x－2) 变式1 [2024·巴彦淖尔期末]下列方程中是分式方程的是( ) A．eq \f(x－1,3)＝1 B．2x－5＝3x C．x2－1＝0 D．x－eq \f(1,x)＝1 变式2 [2024·沈阳期中]在①x2－x＋eq \f(1,x) ②eq \f(1,a)－3＝a＋4　 ③eq \f(x,2)＋5x＝6　④eq \f(2x,x－3)＝1中，关于x的分式方程的个数为( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点2 解分式方程 典例2 解方程： (1)eq \f(x,x－2)－1＝eq \f(4,x2－4x＋4)； (2)eq \f(x,2x－6)－1＝eq \f(1－x,x－3). 解：(1)原方程的解为x＝4； (2)eq \f(x,2x－6)－1＝eq \f(1－x,x－3)， 整理，得eq \f(x,2（x－3）)－1＝eq \f(1－x,x－3)， 去分母，得x－2(x－3)＝2(1－x)， 去括号，得x－2x＋6＝2－2x， 解得x＝－4， 检验：当x＝－4时，2(x－3)≠0， 所以原方程的解是x＝－4. 变式 解方程： (1)eq \f(2,x)＝eq \f(3,x＋2)；　 (2)eq \f(4＋x,x－1)－5＝eq \f(2x,x－1). 解：(1)原方程的解是x＝4； (2)eq \f(4＋x,x－1)－5＝eq \f(2x,x－1)， 去分母，得4＋x－5(x－1)＝2x， 去括号，得4＋x－5x＋5＝2x，解得x＝eq \f(3,2). 检验：当x＝eq \f(3,2)时，x－1＝eq \f(1,2)≠0， 故x＝eq \f(3,2)是方程的解． $$3.3　分式的加法与减法 第1课时　同分母分式加减法 不变 相加减 思路导析 根据分式的加法运算法则求解即可． 知识点 同分母分式加减法法则 同分母的分式相加减，分母 ，分子 ．用式子表示 为eq \f(a,c)±eq \f(b,c)＝ ． eq \f(a±b,c) 考点 同分母分式加减法 典例 [2024·南阳期中]化简eq \f(a＋1,a)－eq \f(1,a)的结果是( ) A．1 B．0 C．－1 D．a 变式1 [2024·娄底期中]化简eq \f(x2,x－1)＋eq \f(1,1－x)的结果是( ) A．x＋1 B．x－1 C．x2＋1 D．x2－1 变式2 [2024·东营期中]计算： (1)eq \f(x2＋xy,xy)－eq \f(x2－xy,xy)； (2)eq \f(4x－3y,x2－y2)－eq \f(x,x2－y2)； (3)eq \f(3,x＋1)＋eq \f(3x,x＋1)； (4)eq \f(a－1,a－b)－eq \f(1＋b,b－a)； (5)eq \f(x2,x－y)＋eq \f(y2,x－y)－eq \f(2xy,x－y). 解：(1)2； (2)eq \f(3,x＋y)； (3)3； (4)eq \f(a＋b,a－b)； (5)x－y. $$3.5　分式与比 第1课时　比与比例 知识点1 比的概念 1．比的概念 两个整式A与B______相除，叫作A与B的比，记作_____或___．其 中，A叫作比的_____，B叫作比的_____． 2．分式与比 分式一定是比，比不一定是分式．但比可利用分式的基本性质 来进行化简． A∶B可以写成 的形式，可通过化简分式 来化简A∶B. (B≠0) A∶B 前项 后项 【注意】 (1)比例式a∶b＝c∶d与等式ad＝bc(bd≠0)可以互相转化； (2)由比例的性质可知任意交换两内项(或两外项)的位置，比例式仍然成立． 思路导析 根据时间＝路程÷速度列式．先把比的形式转化为分式的形式，利用分式的约分进行化简． 考点2 比的应用 典例2 [2025·绥化期中]两个互相咬合的齿轮，大轮和小轮的齿数比是4∶1，那么大轮转动100圈，小轮转动( ) A．25圈 B．50圈 C．100圈 D．400圈 思路导析 本题主要考查了比的应用，根据大轮和小轮的齿数比是4∶1，列出算式进行计算即可． 变式1 [2025·哈尔滨期中]相同质量的水和冰的体积之比 是9∶10.一块体积是90立方分米的冰，化成水后的体积是 ____________． 81 立方分米 7∶5 变式2 [2024·丽水期末]已知c是a和b的比例中项，a＝2，b＝18，则c为( ) A．±6 B．6 C．4 D．±3 考点4 比例的实际应用 典例4 [常州中考]在比例尺为1∶40 000的地图上，某条道路 的长度为7 cm，则该道路的实际长度是____km. 2.8 思路导析 根据比例尺＝图上距离∶实际距离，依题意列比例式直接求解即可． 变式 [2025·哈尔滨期中]在比例尺1∶4 000 000的地图上，量得A，B两地的公路长是6厘米．甲、乙两车同时从A，B两地相对开出，1.5小时相遇．已知甲、乙两车的速度比是41∶39，甲车每小时行驶多少千米？ eq \f(A,B) eq \f(A,B) eq \f(A,B) 知识点2 比例 表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例．如果a与b的比等于c与d的比，那么就说a，b，c，d四个数成比例．可以写成a∶b＝c∶d或eq \f(a,b)＝eq \f(c,d). 在比例中，a，b，c，d叫作组成比例的项，其中，a与d叫作比例的外项，b与c叫作比例的内项．当比例的两内项相等，即eq \f(a,b)＝eq \f(b,c)时，b叫作a和c的比例中项． 知识点3 比例的基本性质 在比例中，两外项的乘积等于两内项的乘积．如果eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，那么ad＝bc. 考点1 比的化简 典例1 上坡路程和下坡路程相等，一辆汽车上坡速度与下坡速度的比是m∶n，这辆汽车上坡与下坡用的时间比应是( ) A．eq \f(n,m＋n) B．eq \f(n,m) C．eq \f(m,n) D．eq \f(m,m＋n) 变式 化简：(a－b)∶(a2－b2)＝ ． eq \f(1,a＋b) 变式2 如图，两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积 的eq \f(1,7)，相当于小长方形面积的eq \f(1,5)，则大长方形面积与小长方形面 积的比是 ． 考点3 比例的基本性质 典例3 [2024·扬州期末]已知eq \f(a,b)＝eq \f(3,5)，则代数式eq \f(a＋b,b)的值为( ) A．eq \f(8,5) B．eq \f(5,3) C．eq \f(3,5) D．eq \f(8,3) 思路导析 因为eq \f(a,b)＝eq \f(3,5)，可设a＝3x，b＝5x，则可求代数式的值． 变式1 [2024·茂名期末]已知eq \f(x,x＋y)＝eq \f(3,7)，则eq \f(x,y)的值为( ) A．eq \f(2,5) B．eq \f(3,4) C．eq \f(4,5) D．eq \f(5,4) 解：两地的实际距离为 6÷eq \f(1,4 000 000)＝24 000 000(厘米)， 24 000 000厘米＝240千米， 因为甲、乙两车的速度比是41∶39， 所以甲的速度为240÷1.5×eq \f(41,41＋39)＝82， 答：甲车每小时行驶82千米． $$第4课时　分式的混合运算及化简求值 知识点1 分式的混合运算 分式混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，即先算___ ___，再算_____，最后算_____．如果有括号，就先算_______的． 注意最后结果一定要化成_________或_____． 乘 方 乘除 加减 括号里 最简分式 整式 知识点2 分式的化简求值 分式的化简求值，一般先按照分式的运算法则进行计算、化简， 然后代入相关数值进行计算求值． 思路导析 先算括号里的，然后再把除法转化为乘法进行计算． 解：－x. 解：m2＋7m＋12. 思路导析 根据分式的混合运算可以化简题目中的式子，然后将b＝2a代入化简后的式子即可解答． 【规律总结】 分式的化简求值分两步完成：第一步是化简，利用分式的运算法则进行化简；第二步是求值，有直接代入求值，还有整体代入求值．当从给出的范围中选取合适的值时，要注意所选的值不能使原式中的任意一个分母为零，也不能使除法转化为乘法后的分母为零. 考点1 分式的混合运算 典例1 [2024·西安期中]化简：eq \f(x2－x,x2－2x＋1)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1－\f(x2,x－1))). 变式 [2025·西安模拟]化简(m＋3－eq \f(7,m－3))÷eq \f(m－4,m2－9). 考点2 分式的化简求值 典例2 [2024·娄底期中]先化简，再求值：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2－b2,a2－2ab＋b2)＋\f(a,b－a)))÷eq \f(b2,a2－ab)，其中b＝2a. 解：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2－b2,a2－2ab＋b2)＋\f(a,b－a)))÷eq \f(b2,a2－ab) ＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（a＋b）（a－b）,（a－b）2)－\f(a,a－b)))÷eq \f(b2,a（a－b）) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,a－b)－\f(a,a－b)))·eq \f(a（a－b）,b2)＝eq \f(b,a－b)·eq \f(a（a－b）,b2)＝eq \f(a,b)， 因为b＝2a， 所以原式＝eq \f(a,2a)＝eq \f(1,2). 变式　[2024·烟台期中]先化简，再求值：eq \f(1,x－1)＋eq \f(x2－4x＋4,x2－1)÷eq \f(x2－2x,x＋1)，其中x＝－2. 解：eq \f(1,x－1)＋eq \f(x2－4x＋4,x2－1)÷eq \f(x2－2x,x＋1) ＝eq \f(1,x－1)＋eq \f(（x－2）2,（x＋1）（x－1）)·eq \f(x＋1,x（x－2）) ＝eq \f(1,x－1)＋eq \f(x－2,x（x－1）)＝eq \f(x＋x－2,x（x－1）) ＝eq \f(2x－2,x（x－1）)＝eq \f(2（x－1）,x（x－1）)＝eq \f(2,x)， 当x＝－2时，原式＝eq \f(2,－2)＝－1. $$第2课时　分式的乘法与除法 把分子的积作为积的分子，分母的积作为积 的分母 【注意】 (1)分式的乘法与分数的乘法类似，可类比分数的乘法来学习； (2)分式与分式相乘时，若分子、分母都是单项式，可先约分， 再相乘；若分子、分母都是多项式，可先对分子、分母因式分 解，约分后，再相乘； (3)运算的结果必须是最简分式或整式． 颠倒位置 【注意】 (1)分式的除法与分数的除法类似，可类比分数的除法来学习；(2)分式的除法转化为分式的乘法进行运算；(3)运算结果必须是最简分式或整式． 【注意】 分式乘方时，要注意幂的符号，若分式本身的符号是负的，应类比负数乘方法则进行计算，即负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数． 知识点4 分式的乘除法混合运算 先统一成_____运算，再进行约分、相乘，有括号的应先算括 号里面的． 乘法 思路导析 利用分式的乘法法则进行计算即可． 思路导析 利用分式的除法法则进行计算即可． 思路导析 先算乘方，再算乘法． 思路导析 按照分式混合运算法则进行运算即可． 知识点1 分式的乘法法则 两个分式相乘， ．用字母表示是eq \f(a,b)·eq \f(c,d)＝ (b≠0，d≠0)． eq \f(a·c,b·d) 知识点2 分式的除法法则 两个分式相除，把除式的分子与分母 后，再与被除式相 乘．用字母表示是eq \f(a,b)÷eq \f(c,d)＝eq \f(a,b)·eq \f(d,c)＝ (b≠0，c≠0，d≠0)． eq \f(a·d,b·c) 知识点3 分式的乘方 分式乘方就是把分式的分子、分母各自乘方，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b))) eq \s\up12(n)＝eq \f(an,bn)(n为 正整数，b≠0)． 考点1 分式的乘法 典例1 [2024·通州期中]计算eq \f(x,m＋1)·eq \f(m2－1,2x)的结果正确的是( ) A．eq \f(m－1,2) B．eq \f(m＋1,2) C．eq \f(m－1,2x) D．eq \f(m－1,2m＋2) 变式1 [2024·济南二模]代数式eq \f(x2－y2,x)·eq \f(3x,x＋y)化简的结果为( ) A．eq \f(3x＋3y,x2) B．3x－3y C．3x＋3y D．eq \f(3x－3y,x) 变式2 计算： (1)eq \f(－a2b,2c)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4cd,5ab2)))； (2)eq \f(x2－4x＋4,x2＋2x＋1)·eq \f(x＋1,x2－4). 解：(1)eq \f(2ad,5b)；(2)eq \f(x－2,（x＋1）（x＋2）). 考点2 分式的除法 典例2 [2024·西安期末]计算eq \f(x－3,x2－4)÷eq \f(x－3,x＋2)的结果是( ) A．x－2 B．eq \f(1,x－2) C．eq \f(x－2,x＋2) D．eq \f(1,x＋2) 变式1 [2024·贵港期中]若化简eq \f(x2,x2－2x＋1)÷eq \f(x,x－3＋m)的结果为eq \f(x,x－1)，则m的值是( ) A．－4 B．4 C．－2 D．2 变式2 计算： (1)eq \f(xy3,2z3)÷eq \f(3x2y2,－4z2)；(2)eq \f(x2－4x,x)÷(x2－16)． 解：(1)－eq \f(2y,3xz)；(2)eq \f(1,x＋4). 考点3 分式的乘方 典例3 [2024·济宁期中]计算x3(eq \f(y3,x))2的结果是( ) A．xy6 B．xy5 C．x2y5 D．x2y6 变式 [2024·昆明期中]计算(－eq \f(3,m))2·eq \f(m,9)的结果是( ) A．－eq \f(1,m) B．－m C． eq \f(1,m) D．m 考点4 分式的乘除、乘方混合运算 典例4 [2024·烟台期中]计算eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,b)))2÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a2,5b)))2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a2,5b)))的结果是( ) A．eq \f(5,4b) B．eq \f(5a,4b) C．－eq \f(5,4b) D．－eq \f(5a,4b) 变式 (1)化简：eq \f(x2－4y2,x2＋2xy＋y2)÷(eq \f(x＋2y,x＋y))2； (2)[2024·商丘期末]先化简，再求值： eq \f(x2－1,x2－2x＋1)÷eq \f(x＋1,x－1)·eq \f(1－x,1＋x)，其中x＝(eq \f(1,2))－1＋30. 解：(1)eq \f(x－2y,x＋2y)； (2)原式＝eq \f(（x－1）（x＋1）,（x－1）2)·eq \f(x－1,x＋1)·eq \f(1－x,1＋x)＝eq \f(1－x,1＋x)， 因为x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(－1)＋30＝3， 所以原式＝eq \f(1－3,1＋3)＝－eq \f(1,2). $$第2课时　分式的基本性质 知识点1 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘 (或除以)_____________________，分 式的值不变．用字母表示为 (其中M是不等于 零的整式)． 同一个不等于零的整式 【注意】 应用基本性质时，要符合两个“同”：一是要同时做“乘法”(或“除法”)运算；二是“乘”(或“除以”)的对象必须是同一个不等于零的整式． 知识点2 分式的符号变化规律 在分式本身及其分子、分母的三个符号中，如果同时改变其中 的___个，分式的值_____．用式子表示如下： 两 不变 【温馨提示】 在分式的变形过程中，当分子或分母的系数是负数时，一般把负号提到分式的前面． 思路导析 根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍， 看分式的分子和分母是否扩大相同的倍数，即可得出答案． 思路导析 根据分式的基本性质作答即可． 思路导析 只要将分子、分母同时扩大10倍，分式各项的系数就 可都化为整数． eq \f(A,B)＝eq \f(A·M,B·M)，eq \f(A,B)＝eq \f(A÷M,B÷M) (1)eq \f(A,B)＝eq \f(－A,－B)＝－eq \f(－A,B)＝－eq \f(A,－B)； (2)－eq \f(A,B)＝－eq \f(－A,－B)＝eq \f(－A,B)＝eq \f(A,－B). 考点1 分式的基本性质 典例1 [2024·日照期末]若x，y的值扩大为原来的3倍，下列分式的值保持不变的是( ) A.eq \f(x,y＋1) B．eq \f(x＋1,x＋y) C.eq \f(xy,x＋y) D．eq \f(x,x－y) 变式1 [2024·烟台期中]下列从左到右的变形，不成立的是( ) A. eq \f(4,2a)＝eq \f(2,a) B．eq \f(b,ax)＝eq \f(ab,a2x) C. eq \f(b,a)＝eq \f(b＋1,a＋1) D．eq \f(－b,a)＝eq \f(b,－a) 变式2 如果把分式eq \f(xy,x＋y)中的x和y都扩大至原来的3倍，那么分式的值( ) A．扩大至原来的3倍 B．不变 C．缩小至原来的eq \f(1,3) D．缩小至原来的eq \f(1,6) 考点2 分式的符号法则 典例2 分式eq \f(x,x－y)可变形为( ) A. eq \f(x,y－x) B．－eq \f(x,x＋y) C．eq \f(－x,x－y) D．－eq \f(x,y－x) 变式 不改变分式的值，使分式eq \f(1－2x,－x2＋3x－3)的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为( ) A.eq \f(2x－1,x2＋3x－3) B．eq \f(2x－1,x2－3x＋3) C.eq \f(2x＋1,x2＋3x－3) D．eq \f(2x＋1,x2＋3x＋3) 考点3 将含有分数的分式化简 典例3 不改变分式eq \f(0.5x－1,0.3x＋2)的值，把它的分子和分母中的各项系数都化为整数，则所得结果为( ) A.eq \f(5x－1,3x＋2) B．eq \f(5x－10,3x＋20) C.eq \f(2x－1,3x＋2) D．eq \f(x－2,3x＋20) 变式 不改变分式的值，把分式eq \f(\f(1,2)a－0.7b,0.3a＋b)的分子与分母的各项系数 化为整数为________. eq \f(5a－7b,3a＋10b) $$第3课时　异分母分式加减法 通分 加减 【注意】 (1)异分母分式相加减，通分是关键，通过通分将异分母分式化为同分母分式再相加减；(2)分式的加减法与分数的加减法类似，可类比学习． 思路导析 异分母分式加减运算的步骤： (1)通分：找到各分式的最简公分母，将异分母分式化为同分 母分式；(2)变形式：写成“分母不变，分子相加减”的形式． 知识点 异分母分式加减法法则 异分母的分式相加减，先把它们 ，变为同分母分式，再 ．用式子表示为eq \f(a,b)±eq \f(c,d)＝ ＝ ． eq \f(ad,bd)±eq \f(bc,bd) eq \f(ad±bc,bd) 考点 异分母分式加减法 典例 计算：(1)eq \f(x－2,x2)－eq \f(2x－4,x)； (2)eq \f(2x2,x＋y)－x＋y. 解：(1)－eq \f(2x2－5x＋2,x2)； (2)eq \f(x2＋y2,x＋y). 变式1 计算：(1)eq \f(a2,a＋1)－a＋1； (2)eq \f(a,a－3)－eq \f(a－1,a＋3)－eq \f(6a,a2－9)； (3)eq \f(3c,6a2b)＋eq \f(5a,8b2c)＋eq \f(7b,3ac2)； (4)eq \f(a＋2b,b－a)－eq \f(2b,a＋b)－eq \f(5ab,b2－a2)； (5)eq \f(m3＋2m2－3m,m2－9)－m－1. 解：(1)eq \f(1,a＋1)； (2)eq \f(1,a＋3)； (3)eq \f(12bc3＋15a3c＋56ab3,24a2b2c2)； (4)eq \f(a2,（b－a）（b＋a）)； (5)eq \f(m＋3,m－3). 变式2 [2024·无锡期中]先化简，再求值：eq \f(2,a＋3)＋eq \f(3,3－a)＋eq \f(2a＋12,a2－9)，其中a＝2. 解：eq \f(2,a＋3)＋eq \f(3,3－a)＋eq \f(2a＋12,a2－9)＝eq \f(2,a＋3)－eq \f(3,a－3)＋eq \f(2a＋12,（a－3）（a＋3）) ＝eq \f(2（a－3）,（a－3）（a＋3）)－eq \f(3（a＋3）,（a－3）（a＋3）)＋eq \f(2a＋12,（a－3）（a＋3）) ＝eq \f(2a－6－3a－9＋2a＋12,（a－3）（a＋3）) ＝eq \f(a－3,（a－3）（a＋3）)＝eq \f(1,a＋3)， 当a＝2时， 原式＝eq \f(1,2＋3)＝eq \f(1,5). $$第2课时　比例线段 知识点1 比例线段 在同一单位长度下，两条线段长度的比，叫作这两条线段的比． 如果四条线段a，b，c，d的_________，那么这四条线段a，b， c，d称为___________，简称比例线段． 长成比例 成比例线段 【注意】 两条线段的比与所选用的单位长度无关，但必须使用同一单位长度．线段a，b，c，d成比例，其表示方法是有顺序的． 知识点2 连比 当前一个比的___项与后一个比的___项相同时，可以将这两个 比连起来，得到a∶b∶c的形式，这种形式叫作连比． 后 前 【注意】 (1)写成连比的条件是第一个比例的后项与后一个比例的前项相同； (2)连比也可以分开来用，如a∶b∶c＝3∶4∶5，可得a∶c＝3∶5，b∶c＝4∶5，a∶b＝3∶4. 考点1 成比例线段 典例1 下列各组中的四条线段(单位： cm)成比例的是( ) A．3，6，5，4 B．3，4，6，9 C．1，5，2，3　 D．2，4，5，10 思路导析 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 思路导析 将前一个比的后项与后一个比的前项化成相同的数，可得结论． 解：a∶b∶c＝3∶4∶10. 变式 已知x∶y＝2∶3，y∶z＝4∶7，则连比x∶y∶z ＝__________． 8∶12∶21 解：2. 变式 已知a＝2 cm，b＝3 cm，则a，b，(a＋b)的第四比例项 是( ) A．5 cm B．eq \f(6,5) cm C．eq \f(5,6) cm D．eq \f(15,2) cm 考点2 连比 典例2 已知a∶b＝eq \f(1,2)∶eq \f(2,3)，b∶c＝2∶5，求a∶b∶c(化成最简整数比)． 考点3 设参数法求比例式的值 典例3 [2024·株洲期末]已知eq \f(a,2)＝eq \f(b,3)＝eq \f(c,4)≠0，则eq \f(a＋b,c)的值为( ) A．eq \f(4,5) B．eq \f(5,4) C．2 D．eq \f(1,2) 思路导析 设eq \f(a,2)＝eq \f(b,3)＝eq \f(c,4)＝k(k≠0)，用k表示a，b，c，代入式子求解即可． a 变式1 [2024·唐山期末]已知线段a，b，c，如果a∶b∶c＝1∶1∶2，那么eq \f(a＋b,2b＋c)的值是( ) A．eq \f(1,4) B．eq \f(2,3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,3) 变式2 [2024·常德期中]已知eq \f(x,3)＝eq \f(y,5)＝eq \f(z,2)，且5x－3z＝18， 求2z－3y＋4x的值． $$第3课时　分式方程的应用 知识点 列分式方程解应用题 1．列分式方程解应用题的步骤与列整式方程一样，关键是找 出题目中的_________． 等量关系 2．列分式方程解应用题的步骤可简单概括为：“审”→“设”→“列”→“解”→“检”→“答”． 考点 分式方程的应用 典例 [2024·威海期末]水果店购进甲、乙两种水果．已知甲种水果的进价比乙种水果的进价低20%，水果店用1 000元购进的甲种水果比用1 200元购进的乙种水果多10千克．求甲、乙两种水果每千克的进价． 思路导析 设乙种水果的进价为每千克x元，则甲种水果的进价为每千克(1－20%)x，根据用1 000元购进的甲种水果比用1 200元购进的乙种水果多10千克，列出分式方程，解方程即可． 变式1 [2024·泰安期中]某葡萄种植庄园计划要在规定时间种植6 000棵葡萄树．在实际施工时，参与种植人数比计划人数多，这样每天实际种植葡萄树比原计划每天多20%，结果比原计划提前2天完成种植任务．原计划每天种植多少棵葡萄树？ 变式2 [2024·泰安]随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人．甲组每天加工3 000件农产品，乙组每天加工2 700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 解：设乙种水果的进价是x元/千克， 根据题意，得eq \f(1 000,（1－20%）x)＝eq \f(1 200,x)＋10， 解得x＝5. 经检验，x＝5是分式方程的解，且符合题意． (1－20%)x＝4. 答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克． 解：设原计划每天种树x棵， 根据题意，得eq \f(6 000,x)－eq \f(6 000,（1＋20%）x)＝2， 解得x＝500， 经检验，x＝500是原分式方程的解，且符合题意， 答：原计划每天种植500棵葡萄树． 解：设甲组有x名工人，则乙组有(35－x)名工人． 根据题意，得eq \f(2 700,35－x)＝eq \f(3 000,x)×1.2， 解得x＝20， 经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意， 所以35－x＝35－20＝15. 答：甲组有20名工人，乙组有15名工人． $$3.2　分式的乘法与除法 第1课时　分式的约分 知识点1 分式的约分 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中除1以外的 _______约去，叫作分式的约分． 公因式 【注意】 约分的关键是确定分子与分母的公因式．分式的分子、分母的整体都要除以同一个公因式，当分子或分母是多项式时，应先把多项式进行因式分解，然后再约去它们的公因式． 知识点2 最简分式 一个分式的分子与分母，如果除1以外没有其他的公因式，这样 的分式叫作最简分式． 【注意】 把整式的除法转化成分式的形式，可以利用约分进行计算． 最简分式与学过的最简分数类似，分式约分的结果应当是最简分式或整式． 思路导析 分子、分母分别因式分解，约分即可得结果． 思路导析 根据最简分式的概念逐一判断即可． 考点1 分式的约分 典例1 化简eq \f(a2－b2,a2－ab)的结果为( ) A. eq \f(a－b,2a) B．eq \f(a－b,a) C．eq \f(a＋b,a) D．eq \f(a－b,a＋b) 变式1 下列约分正确的是( ) A.eq \f(x6,x3)＝x2 B．eq \f(（x－1）（x－5）,（1－x）（5－x）)＝1 C.eq \f(x2＋4y2,x＋2y)＝x＋2y D．eq \f(c2＋b2,a2＋b2)＝eq \f(c2,a2) 变式2 [2024·滨州期末]化简eq \f(－m＋2n,m2－4n2)的结果是( ) A.eq \f(1,m＋n) B．－eq \f(1,m＋n) C．－eq \f(1,m＋2n) D．－eq \f(1,m－2n) 变式3 [2024·聊城期中]约分： (1)eq \f(24a12x3y2,18a6x3)； (2)eq \f(－36xy2z3,6yz2)； (3)eq \f(8－2m,16－m2)； (4)eq \f(m2＋4＋4m,2m＋m2)； (5)eq \f(a2－4ab＋4b2,a2－4b2). 解：(1)eq \f(4,3)a6y2；　(2)－6xyz； (3)eq \f(2,4＋m)；　(4)eq \f(m＋2,m)；　(5)eq \f(a－2b,a＋2b). 考点2 最简分式 典例2 [2024·烟台期中]下列四个分式中，为最简分式的是( ) A．eq \f(a2＋b2,a＋b) B．eq \f(a2－4a＋4,a2－4) C．eq \f(n2－m2,m＋n) D．eq \f(4mx,5mx) 变式1 [2024·东坡区期末]分式eq \f(4y＋3x,4a)，eq \f(x2－1,x4－1)，eq \f(x2－xy＋y2,x＋y)，eq \f(a3＋2ab,ab－2b2)中是最简分式的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2 若eq \f(a2＋☆,a2－1)表示的是一个最简分式，则☆可以是( ) A．－a B．＋a C．－1 D．1 $$第2课时　分式的通分 知识点1 最简公分母 通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的 积作为最简公分母． 知识点2 分式的通分 不改变每个分式的值，把几个异分母的分式化成同分母分式的 变形叫作分式的通分． 知识点3 分式通分的步骤 先求出___________，然后每个分式的分母去除这个最简公分母， 用所得的商去乘它的分子． 最简公分母 思路导析 根据最简公分母的概念求解． x(x＋5)(x－5) 思路导析 按照通分的方法依次验证各选项，找出不正确的答案． 6a(a－b) 考点1 最简公分母 典例1 分式eq \f(x＋1,x2－x)，eq \f(2,x2－1)，－eq \f(x,x2＋2x＋1)的最简公分母是( ) A．(x2－x)(x＋1) B．(x2－1)(x＋1)2 C．x(x－1)(x＋1)2 D．x(x＋1)2 变式1 若将分式eq \f(3x2,x2－y2)与分式eq \f(x,2（x－y）)通分后，分式eq \f(x,2（x－y）)的分母变为2(x＋y)(x－y)，则分式eq \f(3x2,x2－y2)的分子应变为( ) A．6x(x－y)2 B．6x2 C．2(x－y) D．6x2(x＋y) 变式2 分式eq \f(1,x2＋5x)与eq \f(1,x2－25)的最简公分母是 ． 考点2 通分 典例2 把eq \f(1,x－2)，eq \f(1,（x－2）（x＋3）)，eq \f(2,（x＋3）2)通分的过程中，不正确的 是( ) A．最简公分母是(x－2)(x＋3)2 B.eq \f(1,x－2)＝eq \f(（x＋3）2,（x－2）（x＋3）2) C．eq \f(1,（x－2）（x＋3）)＝eq \f(x＋3,（x－2）（x＋3）2) D.eq \f(2,（x＋3）2)＝eq \f(2x－2,（x－2）（x＋3）2) 变式1 分式eq \f(3a,a2－b2)的分母经过通分后变成2(a－b)2(a＋b)，那么分子应变为 ． 变式2 通分： (1)eq \f(4a,5b2c)，eq \f(3c,10a2b)，eq \f(5b,－2ac2)； (2)eq \f(1,x2－4)，eq \f(3,4－2x)； (3)eq \f(1,2x)，eq \f(1,3y（x－y）2)，eq \f(1,x2（x－y）). 解：(1)eq \f(8a3c,10a2b2c2)，eq \f(3bc3,10a2b2c2)，－eq \f(25ab3,10a2b2c2)； (2)eq \f(2,2（x＋2）（x－2）)，－eq \f(3（x＋2）,2（x＋2）（x－2）)； (3)eq \f(3xy（x－y）2,6x2y（x－y）2)，eq \f(2x2,6x2y（x－y）2)，eq \f(6y（x－y）,6x2y（x－y）2). $$