精品解析：吉林省白城市第一中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

白城一中2025级高三开学考 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知一组数据的上四分位数是，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据上四分位数的定义将条件转化为中第二大的数是，再求解. 【详解】在五个数中，上四分位数为第二大的数，故中第二大的数是，所以. 故选：C. 2. 下列函数中，与函数是相等函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依次判断各个选项的解析式和定义域是否和相同，二者皆相同即为同一函数，由此得到结果. 【详解】的定义域为； 对于A，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，A错误； 对于B，，与定义域相同，解析式相同，是同一函数，B正确； 对于C，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，C错误； 对于D，，与解析式不同，不是同一函数，D错误. 故选：B. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简，即可计算得结果. 【详解】. 故选：B 【点睛】本题考查诱导公式的化简求值，属于基础题. 4. 已知函数是上的增函数，则对任意，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可判断“”和“”的逻辑关系，即可得答案. 【详解】当时，由函数是上的增函数，可得， 所以“”是“”的充分条件； 当时，由函数是R上的增函数，可得， 所以“”是“”的必要条件. 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 5. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有（ ） 参考数据及公式如下：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A. 12人 B. 11人 C. 10人 D. 18人 【答案】A 【解析】 【分析】设男生人数为，根据独立性检验的原理，列出不等式，求出x的范围，结合题意确定其值，即可求得答案. 【详解】设男生人数为，则女生人数为,依题意可得列联表如下： 性别 追星 合计 喜欢追星 不喜欢追星 男生 女生 合计 若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则， 由，解得， 因为，为整数，所以若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关， 则x至少为12，即男生至少有12人. 故选：A. 6. 若函数在上恰有10个零点，则（ ） A. 有最大值，且最大值为58 B. 有最小值，且最小值为52 C. 有最大值，且最大值为60 D. 有最小值，且最小值为58 【答案】C 【解析】 【分析】利用整体代入法结合正弦函数的图像求解即可. 【详解】当时，， 令，得， 要使在上恰有10个零点， 则需满足，解得. 故选：C. 7. 过外接圆上异于该三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线，该定理称为西姆松定理，过三垂足的直线称为关于点的西姆松线．若中，直线与轴垂直，轴上的点为劣弧的中点，关于点的西姆松线与直线交于点，则外接圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意设，则，且由题意可知，结合斜率关系可列式求得，进一步设出圆的标准方程，从而将，代入圆的标准方程即可得解. 【详解】 因为直线与轴垂直，所以设，则． 如上图，由题意知，直线（即直线）的斜率为， 所以直线的斜率为，解得． 所以的外接圆经过点，． 设外接圆的标准方程为， 则，解得， 所以外接圆的标准方程为． 故选：D． 二、多项选择题（本大题共3小题.每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 8. 若随机变量，且.已知为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，若点在抛物线上，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件先得到的值即得到了的值，再利用抛物线的定义由的值可得到点的坐标为，要求的最小值即要在准线上找一点到两个定点的距离之和最小，最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值. 【详解】随机变量，且， 1和关于对称， 即， 设为第一象限中的点，， 抛物线方程为：，， 解得即， 关于准线的对称点为， 根据对称性可得： 当且仅当三点共线时等号成立.如图 故选：D 【点睛】本题考查了利用抛物线的定义求解距离，定直线上的动点到两个定点的距离之和的最小值，关键是利用对称性把距离之和最小值转化为三点共线问题，属于较难题. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 为偶函数 C. 在区间内的最小值为1 D. 的图象关于直线对称 【答案】AC 【解析】 【分析】由图知，的最小正周期为，结论A正确； 求出，从而不是偶函数，结论B错误； 因为，，则在区间内的最小值为1，结论C正确； 因为为的零点，不是最值点，结论D错误. 【详解】解：由图知，的最小正周期为，结论A正确； 因为，，则．因为为在内的最小零点，则，得，所以，从而不是偶函数，结论B错误； 因为，，结合图像可得在区间内的最小值为1，结论C正确； 因为，则为的零点，不是最值点，结论D错误. 故选：AC． 10. 在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有1 000名学生，某学科的期中考试成绩(百分制且卷面成绩均为整数)Z服从正态分布，则(人数保留整数) （ ） 参考数据：若，． A. 年级平均成绩为82.5分 B. 成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等 C. 成绩不超过77分的人数少于150 D. 超过98分的人数为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布的概念可知A对，根据对称性可知B对，根据原则和曲线的对称性即可求解C,D. 【详解】由，可知，所以平均分为，故A对. 由于，可知关于对称，根据正态分布的对称性可知， 成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)的概率相等，进而人数相等，故B对. ,因为，所以C错误. ,因为， 所以超过98分的人数为1，故D正确. 故选:ABD 11. “我上春山，约你来见”，重庆市育才中学校2024读书节之“上春山读书赏读会”于2024年4月1日拉开帷幕，主办方为同学们提供了丰富多彩的活动，其中有一栏名为“用诗意串联灵感与创意”的活动，同学们需要从主持人给出的4个校园景观和2个植物名称的名词牌中随机选出2个，结合自己的语言完成连词成句．记事件“该同学选出的两个名词牌中至少有一个是校园景观”，事件“该同学选出的两个名词牌中至少有一个是植物名称”．则下列说法正确的是（ ） A. 事件发生的概率为 B. 事件与事件互斥 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据随机事件的概率、互斥事件、条件概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，所以A选项正确. B选项，事件“该同学选出的两个名词牌中有两个是植物名称”， 所以，所以B选项错误. C选项，事件“该同学选出的两个名词牌中有两个是校园景观”， 事件，所以，所以C选项正确. D选项，， ， 由于，所以，所以D选项错误. 故选：AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 3名男生和3名女生随机站成一排，每名女生至少与一名男生相邻，则不同的排法种数为__________. 【答案】360 【解析】 【分析】由捆绑法、插空法即可求解. 【详解】当恰好2名女生相邻时，有种排法， 当3名女生都不相邻时，有种排法， 则共有种排法. 故答案为：360. 13. 的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案) 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以令，解得，所以=15，解得. 考点：本小题主要考查二项式定理的通项公式，求特定项的系数，题目难度不大，属于中低档. 14. 已知一个高为6的圆锥被平行于底面的平面截去一个高为3的圆锥，所得圆台的外接球的体积为，且球心在该圆台内，则该圆台的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，则圆台的上底面半径为，高为3，再由圆台的外接球的体积为可得圆台半径为，可得圆台的母线长，代入公式计算可求出圆台的表面积. 【详解】设圆锥的底面半径为，依题意得该圆台的上底面半径为，且圆台的高为3． 设圆台外接球的球心为，半径为，点到圆台上底面的距离为， 因为球的体积为，所以，解得． 因为点在该圆台内，所以,解得， 所以圆台的母线长， 所以圆台的表面积. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某校为了了解学生每周参加课外兴趣班的情况，随机调查了该校1000名学生在2023年最后一周参加课外兴趣班的时长（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图．若直方图中成等差数列，时长落在区间内的人数为200． （1）求出直方图中的值； （2）估计样本时长的中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （3）从参加课外兴趣班的时长在和的学生按照分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6人中随机抽取2人进行参加兴趣班情况的深入调查，求被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在的人数的分布列及期望． 【答案】（1）， （2）中位数为71.7，平均数为73 （3）的分布列为 0 1 2 期望为【解析】 【分析】（1）由时长落在区间内的人数可求出，由成等差数列且各组频率之和为1可得的值； （2）由中位数的计算方法以及平均数计算公式直接计算即可求解； （3）首先得出参加课外兴趣班的时长在内的有4（人），参加课外兴趣班的时长在内的有2（人），然后根据超几何分布的概率公式求出相应的概率即可得分布列以及数学期望. 【小问1详解】 由已知可得， 则，即． 又成等差数列，，解得． 【小问2详解】 ， 设中位数为，且， ，解得，即中位数为71.7， 平均数为． 【小问3详解】 由（1）知，所以按照分层的方法抽样随机抽取的6人中， 参加课外兴趣班的时长在内的有（人），参加课外兴趣班的时长在内的有（人）． 参加课外兴趣班的时长在内的人数的可能取值为． ， 所以的分布列为 0 1 2 期望． 16. 已知函数在上的最大值与最小值之和为． （1）求实数的值； （2）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指对数函数的单调性得函数在上是单调函数，进而得，解方程得； （2）根据题意，将问题转化为对于任意的，恒成立，进而求函数的最值即可. 【详解】解：（1）因为函数在上的单调性相同， 所以函数在上是单调函数， 所以函数在上的最大值与最小值之和为， 所以，解得和（舍） 所以实数的值为. （2）由（1）得， 因为对于任意的，不等式恒成立， 所以对于任意的，恒成立， 当时，为单调递增函数， 所以，所以，即 所以实数的取值范围 【点睛】本题考查指对数函数的性质，不等式恒成立求参数范围，考查运算求解能力，回归转化思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意，将问题转化为任意的，恒成立求解. 17. 已知数列的前项和为，，当时，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据和的关系，分和两种情况讨论求解即可； （2）利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 由题意，当时，，且， 若，则，即， 当时，， 两式相减得，， 整理得，即， 所以. 综上所述，. 【小问2详解】 因为， 设数列的前项和为， 当时，， 当时， ， 此时时适合上式， 所以. 18. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）若，求的周长； （2）求的取值范围． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）将切化弦，利用三角恒等变换公式进行化简，借助正弦定理将角化成边，进而算出周长； （2）通过余弦定理与基本不等式，找到角的范围，从而计算出的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 所以，由正弦定理得：， 因为，所以，的周长等于9． 【小问2详解】 由余弦定理得：， 又由（1）问知:,可得， 所以， 而（当且仅当时取“”）， 所以， （当且仅当，即为正三角形时，取“”）， 又因为，余弦函数在上单调递减， 所以，易知在上单调递增, 所以． 故的取值范围为. 19. 已知抛物线的焦点为，，，为上不重合的三点. （1）若，求的值； （2）过，两点分别作的切线，，与相交于点，过，两点分别作，的垂线，，与相交于点. （i）若，求面积的最大值； （ii）若直线过点，求点的轨迹方程. 【答案】（1）3 （2）（i）8；（ii） 【解析】 【分析】（1）设，，，根据向量的坐标运算即可得，再根据抛物线的定义即可得结论； （2）（i）设直线的方程为，，，联立直线与抛物线得交点坐标关系，再求导，根据导数的几何意义求解切线斜率，即可得切线方程，从而可得切线的交点坐标，根据三角形面积公式列关系求解即可；（ii）利用直线相交、直线过定点即可得点的轨迹方程. 【小问1详解】 依题意，， 设，，， 由得，， 即， 由抛物线定义得，. 【小问2详解】 （i）显然，直线的斜率不为0， 可设直线的方程为，，， 由得：， ，，. ，则，， 切线的方程为， 同理，切线的方程为， 联立两直线方程，解得，即， 则点到直线的距离为， 由， 化简得：， ，当且仅当时取等号， 面积的最大值为8. （ii）若直线过点，由（i），可以设直线的方程为， ，. 直线的方程为， 同理，直线的方程为. 联立两直线方程，解得， 整理后可得消去得：， 点的轨迹方程为. 【点睛】关键点点睛：本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、三角形面积问题最值问题.解决问题的关键是确定直线与抛物线交点坐标关系，并将题中几何性质转化为交点坐标关系，另外在求抛物线的切线可以考虑利用导数来求解切线斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白城一中2025级高三开学考 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知一组数据的上四分位数是，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，与函数是相等函数的是（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是上的增函数，则对任意，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有（ ） 参考数据及公式如下：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A. 12人 B. 11人 C. 10人 D. 18人 6. 若函数在上恰有10个零点，则（ ） A. 有最大值，且最大值为58 B. 有最小值，且最小值为52 C. 有最大值，且最大值为60 D. 有最小值，且最小值为58 7. 过外接圆上异于该三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线，该定理称为西姆松定理，过三垂足的直线称为关于点的西姆松线．若中，直线与轴垂直，轴上的点为劣弧的中点，关于点的西姆松线与直线交于点，则外接圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题.每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 8. 若随机变量，且.已知为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，若点在抛物线上，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 为偶函数 C. 在区间内的最小值为1 D. 的图象关于直线对称 10. 在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有1 000名学生，某学科的期中考试成绩(百分制且卷面成绩均为整数)Z服从正态分布，则(人数保留整数) （ ） 参考数据：若，． A. 年级平均成绩为82.5分 B. 成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等 C. 成绩不超过77分的人数少于150 D. 超过98分的人数为1 11. “我上春山，约你来见”，重庆市育才中学校2024读书节之“上春山读书赏读会”于2024年4月1日拉开帷幕，主办方为同学们提供了丰富多彩的活动，其中有一栏名为“用诗意串联灵感与创意”的活动，同学们需要从主持人给出的4个校园景观和2个植物名称的名词牌中随机选出2个，结合自己的语言完成连词成句．记事件“该同学选出的两个名词牌中至少有一个是校园景观”，事件“该同学选出的两个名词牌中至少有一个是植物名称”．则下列说法正确的是（ ） A. 事件发生的概率为 B. 事件与事件互斥 C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 3名男生和3名女生随机站成一排，每名女生至少与一名男生相邻，则不同的排法种数为__________. 13. 的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案) 14. 已知一个高为6的圆锥被平行于底面的平面截去一个高为3的圆锥，所得圆台的外接球的体积为，且球心在该圆台内，则该圆台的表面积为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某校为了了解学生每周参加课外兴趣班的情况，随机调查了该校1000名学生在2023年最后一周参加课外兴趣班的时长（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图．若直方图中成等差数列，时长落在区间内的人数为200． （1）求出直方图中的值； （2）估计样本时长的中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （3）从参加课外兴趣班的时长在和的学生按照分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6人中随机抽取2人进行参加兴趣班情况的深入调查，求被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在的人数的分布列及期望． 16. 已知函数在上的最大值与最小值之和为． （1）求实数的值； （2）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知数列的前项和为，，当时，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列，求数列的前项和. 18. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）若，求的周长； （2）求的取值范围． 19. 已知抛物线的焦点为，，，为上不重合的三点. （1）若，求的值； （2）过，两点分别作的切线，，与相交于点，过，两点分别作，的垂线，，与相交于点. （i）若，求面积的最大值； （ii）若直线过点，求点的轨迹方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $