精品解析：福建省厦门市三校联考2024-2025学年上学期九年级数学第一次月考试卷

2024－2025学年度第一学期福建省厦门市三校联考九年级数学 第一次月考试卷 （考试时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的最小值是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 4. 如图，点A，B，C在上，，连接，．若的半径为3，则扇形（阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 6. 抛物线y＝﹣3x2﹣1是由抛物线y＝﹣3（x+1）2+1怎样平移得到的（　　） A. 左移1个单位上移2个单位 B. 右移1个单位上移2个单位 C. 左移1个单位下移2个单位 D. 右移1个单位下移2个单位 7. 某校艺术节歌唱比赛中，有位评委对选手的表现打分，某位选手所得个分数组成一组数据．根据评分规则，去掉这组数据中的一个最高分和一个最低分，剩余个分数作为一组新数据．下列统计量中，新数据与原数据相比一定不变的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 8. 如图，在中，，是的内心，连接、，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是( ) A. B. C. D. 10. 如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线,图象与轴交点的纵坐标是．则下列结论：①；②方程一定有两个不相等的实数根：③当时，；④；⑤抛物线上有两点，,若，则．其中正确结论的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案直接填写在横线上． 11. 剪纸是中国最古老的民间艺术之一．如图，这个剪纸图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角可以为______度．（写出一个即可） 12. 将二次函数的图像沿x轴对折后得到的图像解析式______． 13. 已知方程和方程的根完全相同，则______． 14. 一元二次方程的两根为，则________________ 15. 有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染的人数相同，为了使两轮传播后，流感病人总数不超过人，则每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过________人． 16. 如图，在矩形ABCD中，，，点E是矩形ABCD内部一动点，且，点P是边上一动点，连接，则的最小值为___________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程． （1） （2） 18. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE=1寸，锯道长AB=10寸，问这块圆形木材的直径是多少？” 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与直线交于点，直线与轴交于点． （1）求直线的函数解析式； （2）点在轴上，过点作平行于轴的直线，分别与直线，交于点，.若，求的值． 20. 如图，利用一面墙(墙EF最长可利用28米)，围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口(如图中MN所示，不用砌墙)用60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成430平方米的矩形花园? 21. 如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，点B与点E对应，点E恰好落在AD边上，BH⊥CE交于点H，求证：AB＝BH． 22. 已知，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， （1）求m的取值范围； （2）设方程的两根为，且满足，求m的值． 23. 如图，已知线段，以为直径作，在上取一点C，连接．延长至点D，连接，满足． （1）求证：为切线； （2）若，求的长（结果保留）． 24. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）请根据上述结论解决问题：方程①；方程②；方程③．这几个方程中，是倍根方程的是 （填序号即可）； （2）一般规律探究：我们知道，若一元二次方程的两根为，，则有，，请你根据以上关系探究：若一元二次方程是“倍根方程”，则，，满足什么数量关系？ （3）若是倍根方程，求的值． 25. 如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为B． （1）请求出该抛物线的函数解析式； （2）点D是第二象限抛物线上一点，设点D横坐标为m． ①如图2，连接，，，当面积为4时，求点D的坐标； ②如图3，连接，将线段绕O点顺时针旋转，得到线段，过点E作轴交直线于F，求线段的最大值及此时点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期福建省厦门市三校联考九年级数学 第一次月考试卷 （考试时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将方程的一次项移到左边，两边加上4变形后，即可得到结果． 【详解】解：方程移项得：x2−4x=1， 配方得：x2−4x+4=5， 即(x−2)2=5． 故选A． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟记完全平方公式. 3. 二次函数的最小值是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先求得抛物线的顶点坐标，然后得到顶点到x轴的距离． 【详解】解：∵＝（x-2）2+1， ∴其图象开口向上，顶点为（2，1）． ∴函数的最小值为1． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，解题的关键是会将函数的一般式化为顶点式得到顶点坐标． 4. 如图，点A，B，C在上，，连接，．若的半径为3，则扇形（阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用圆周角定理求出的度数，然后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又的半径为3， ∴扇形（阴影部分）的面积为． 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，扇形面积公式等，掌握“同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解题的关键． 5. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，求得的值即可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴， ， 故选C． 【点睛】本题考查了关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，代数式求值，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键． 6. 抛物线y＝﹣3x2﹣1是由抛物线y＝﹣3（x+1）2+1怎样平移得到的（　　） A. 左移1个单位上移2个单位 B. 右移1个单位上移2个单位 C. 左移1个单位下移2个单位 D. 右移1个单位下移2个单位 【答案】D 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可． 【详解】解：由抛物线y＝﹣3（x+1）2+1右移1个单位下移2个单位得到抛物线y＝﹣3x2﹣1． 故选：D． 【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 7. 某校艺术节歌唱比赛中，有位评委对选手的表现打分，某位选手所得个分数组成一组数据．根据评分规则，去掉这组数据中的一个最高分和一个最低分，剩余个分数作为一组新数据．下列统计量中，新数据与原数据相比一定不变的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数，众数，方差和中位数，去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数，解题的关键在于理解这些统计量的意义． 【详解】解：统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数， 故选：． 8. 如图，在中，，是的内心，连接、，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理， 求出，得，根据三角形内角和定理求出即可．熟练掌握三角形内角和定理的运用是关键． 【详解】解：为的内心， ，， ， ， ， 即， ． 故选：． 9. 如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点，再连接，运用两点之间线段最短得到为所求最小值，再运用勾股定理求线段的长度即可． 【详解】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点，连接，其与BC的交点即为点E，再作交AB于点F， ∵A与关于BC对称， ∴，，当且仅当，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时， ∵正方形，点O为对角线的交点， ∴， ∵对称， ∴， ∴， 在中，， 故选：D． 【点睛】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关键。 10. 如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线,图象与轴交点的纵坐标是．则下列结论：①；②方程一定有两个不相等的实数根：③当时，；④；⑤抛物线上有两点，,若，则．其中正确结论的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴可得，进而判断结论①，结合一元二次方程跟的判别式和抛物线的开口方向，可得，进而判断结论②，根据抛物线的增减性，函数值可判断结论③，根据抛物线的对称性得出抛物线与轴的另一个交点在和之间，结合函数值得出，进而判断结论④，根据抛物线的对称性得出点关于对称轴的对称点坐标为，结合抛物线的增减性即可得出时，，进而判断结论⑤，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为， 即， ∴， ∴，故①结论正确； ∵， ∴， 整理得， 则， ∵抛物线开口向下， ∴， 故，， ∴， 故方程一定有两个不相等的实数根，②结论正确； ∵，， 故抛物线的解析式为， 当时，， 当时，， ∵， ∴， ∵抛物线的对称轴是，故抛物线的最大值为； 当时，， 故当时，；即③结论错误； 根据图象可得：抛物线与轴的一个交点在和之间，抛物线的对称轴为， 故抛物线与轴的另一个交点在和之间， 当时，， ∵，， ∴， ∴，故④结论错误； ∵抛物线的对称轴为， 故点关于对称轴的对称点坐标为， ∵抛物线的开口向下， 故抛物线在对称轴的左侧，随的增大而增大，抛物线在对称轴的右侧，随的增大而减小， 若， 则或，故⑤结论错误； 综上，结论正确的有①②，有个． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点问题，抛物线与轴的交点问题，二次函数图象与系数的关系，一元二次方程跟的判别式等．解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案直接填写在横线上． 11. 剪纸是中国最古老的民间艺术之一．如图，这个剪纸图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角可以为______度．（写出一个即可） 【答案】60 【解析】 【分析】正六边形是中心对称图形也是轴对称图形，中心角是，故而只要旋转角度是的整数倍即可． 【详解】解：正六边形的中心角是， ∴． 故答案为：60° 【点睛】本题主要考查正多边形的性质，能够熟练计算正多边形的中心角是解题关键． 12. 将二次函数的图像沿x轴对折后得到的图像解析式______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点进行解答即可． 【详解】解：∵关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴函数的图象沿x轴对折，得到的图象的解析式为-，即； 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是抓住关于x轴对称的点的坐标特点，即关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数． 13. 已知方程和方程的根完全相同，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及解一元二次方程：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先解方程得到，，再把代入方程中求出，接着解方程方程可得到，然后计算的值． 【详解】解：， ，， 把代入方程得，解得， 解方程方程，解得，， ， ． 故答案为． 14. 一元二次方程的两根为，则________________ 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系表示出和即可； 【详解】∵， ∴，，， ∴，， ∴， =， =． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确利用知识点化简是解题的关键． 15. 有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染的人数相同，为了使两轮传播后，流感病人总数不超过人，则每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过________人． 【答案】 【解析】 【分析】设每轮传染中平均一人传染x人,那么经过第一轮传染后有x人被感染,那么经过两轮传染后有x（x+1）+x+1人感染，又知经过两轮传染共有288人被感染由此列出方程求解即可． 【详解】设每轮传染中平均一个人传染不超过x人， 由题意得，2+2x+（2+2x）x=288， 解得：x1=11，x2=-13， 答：每轮传染中平均一个人传染了11个人． 故答案为11． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解． 16. 如图，在矩形ABCD中，，，点E是矩形ABCD内部一动点，且，点P是边上一动点，连接，则的最小值为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将进行转化． 【详解】设点O为的中点，由题意可知，点E在以为直径的半圆O上运动， 作半圆O及线段关于的对称图形（半圆），点O的对称点为，点E的对称点为， 连接，，则， 易知当点D，P，，共线时，的值最小，为的长， 如图所示， 在中，，， ∴ 又∵ ∴，即的最小值为8 【点睛】本题考查线段和最短问题，轴对称的性质，以及圆周角定理等知识，解题的关键是将进行转化． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程． （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据因式分解法即可求解； （2）运用公式法求解即可． 【小问1详解】 解： ， ， ∴或， ∴，． 【小问2详解】 ，． 18. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE=1寸，锯道长AB=10寸，问这块圆形木材的直径是多少？” 【答案】CD=26寸． 【解析】 【分析】连接OA，由题意知CD过点O，且CD⊥AB，AE=BE=AB=5（寸），设圆形木材半径OA的长为x，可知OE=x-1，根据OA2=OE2+AE2列方程求解可得． 【详解】解：连接OA， ∵AB⊥CD，且AB=10， ∴AE=BE=AB =5（寸）， 设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x ∵DE=1， ∴OE=x-1， 在Rt△AOE 中，根据勾股定理得：OA2-OE2=AE2 ， 解得：x=13 所以CD=26（寸）． 故答案为CD=26寸． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧及勾股定理是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与直线交于点，直线与轴交于点． （1）求直线的函数解析式； （2）点在轴上，过点作平行于轴的直线，分别与直线，交于点，.若，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）设首先求出点坐标，然后将点坐标代入求得k的值，即可获得直线的函数解析式； （2）首先求点的坐标，然后用n表示出点和点的坐标，用n表示出的长，根据即可求解． 【详解】（1）∵在直线上， ∴， 解得， ∴， 设，将代入，得： ， ∴直线的函数解析式为； （2）∵直线与轴交于点， ∴当时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵过点作平行于轴的直线，分别与直线，交于点，， ∴当时，，， ∴， ∵， ∴， 解得或． 【点睛】本题考查了待定系数法发求函数解析式，一次函数综合，关键是分情况讨论，注意绝对值方程的解法． 20. 如图，利用一面墙(墙EF最长可利用28米)，围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口(如图中MN所示，不用砌墙)用60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成430平方米的矩形花园? 【答案】12米，能围成430平方米的矩形花园 【解析】 【分析】根据可以砌60m长的墙的材料，即总长度是60m，BC=xm，则AB=（60-x+2）m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可． 【详解】解：设矩形花园BC的长为x米，则其宽为 （60-x+2）米，依题意列方程得： （60-x+2）x=300， x2-62x+600=0， 解这个方程得：x1=12，x2=50， ∵28＜50， ∴x2=50（不合题意，舍去）， ∴x=12． （60-x+2）x=430， x2-62x+860=0， 解这个方程得：x1=31+ x2=31-， 当 x=31+＞28， 不符合题意，舍去； 当 x=31-＜28， 符合题意， ∴能围成430平方米的矩形花园。 答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米;能围成430平方米的矩形花园． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙EF最长可利用28m，舍掉不符合题意的数据． 21. 如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，点B与点E对应，点E恰好落在AD边上，BH⊥CE交于点H，求证：AB＝BH． 【答案】 证明：连接BE， ∵矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG， ∴CB=CE， ∴∠EBC=∠BEC， 又∵AD∥BC， ∴∠EBC=∠BEA， ∴∠BEA=∠BEC， 在△EAB和△EHB中，， ∴△EAB≌△EHB(AAS)， ∴AB=BH． 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到CB=CE，求得∠EBC=∠BEC，根据平行线的性质得到∠EBC=∠BEA，再利用AAS得到△EAB≌△EHB，即可得到AB=BH． 【详解】略 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 22. 已知，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， （1）求m的取值范围； （2）设方程的两根为，且满足，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则对应的判别式大于0； （2）根据根与系数关系可得，．再整体代入已知式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：△， ， ， ． 【小问2详解】 根据题意得：，． ∵， 解并检验得：，（不合题意，舍去）， 的值为． 【点睛】本题考查一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 23. 如图，已知线段，以为直径作，在上取一点C，连接．延长至点D，连接，满足． （1）求证：为切线； （2）若，求的长（结果保留）． 【答案】（1） 解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又为的半径， ∴为切线； （2） 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到，进而得到，得到，即可得证； （2）连接，圆周角定理，得到，利用弧长公式进行计算即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的长． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理以及求弧长．熟练掌握圆周角定理，以及弧长公式是解题的关键． 24. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）请根据上述结论解决问题：方程①；方程②；方程③．这几个方程中，是倍根方程的是 （填序号即可）； （2）一般规律探究：我们知道，若一元二次方程的两根为，，则有，，请你根据以上关系探究：若一元二次方程是“倍根方程”，则，，满足什么数量关系？ （3）若是倍根方程，求的值． 【答案】（1）①③；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据“倍根方程”的定义，求出方程①、②、③中的根的值，根据定义判断即可； （2）利用根与系数的关系建立等式进行整理即可； （3）将方程整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，借助（2）中的结论，整理后即可得出，即可求得或， 进而求得的值为4或1． 【详解】解：（1）在方程①中， 解得：， ， 方程为“倍根方程”， 在方程②中， 解得：， ， 方程不为“倍根方程”， 在方程③中， 解得：， ， 方程为“倍根方程”， 是倍根方程的是①③． 故答案为：①③． （2）∵方程是“倍根方程”， ∴可设方程的两根为和， 则，， ∴，， ∴， ∴； （3）整理得：， 是倍根方程， ， ，即， ， 或， 或， 的值为4或1， 故答案为：4或1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握“倍根方程”的定义． 25. 如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为B． （1）请求出该抛物线的函数解析式； （2）点D是第二象限抛物线上一点，设点D横坐标为m． ①如图2，连接，，，当面积为4时，求点D的坐标； ②如图3，连接，将线段绕O点顺时针旋转，得到线段，过点E作轴交直线于F，求线段的最大值及此时点D的坐标． 【答案】（1） （2）①点D的坐标为；②线段的最大值为3，此时点D的坐标为 【解析】 【分析】（1）先求出点A、C的坐标，再利用待定系数法求出该抛物线的函数解析式即可； （2）①先求出点B的坐标，然后可得直线的解析式，过点D作轴交于P，设点D横坐标为m，则，，可得，然后根据面积为4列式求出m的值，进而可得点D的坐标； ②过点D作于点H，交y轴于点G，证明，设点D横坐标为m，则，求出点E坐标和直线的解析式，可得F点坐标为，表示出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点C，当时，；当时，； ∴点A坐标为，点C坐标为， ∵抛物线过A、C两点， 将A、C两点坐标带入得：， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时， 解得：，， ∴B点坐标为， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点D作轴交于P， 设点D横坐标为m，则，， ∴， ∵面积为4， ∴， 解得：， ∴； ②如图，过点D作于点H，交y轴于点G， ∴， 由旋转得：，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设点D横坐标为m，则， ∴，， ∴，， 又∵点D在第二象限，绕点O顺时针旋转得， ∴点E在第一象限． ∴点E坐标为， ∵轴交直线于点F， ∴点F的纵坐标与点E纵坐标相等， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得, ∴直线的解析式为， 将F点纵坐标代入得， 解得， ∴F点坐标为， ∴， ∴当时，最大，最大值为3， 当时，， ∴点D的坐标为， ∴线段的最大值为3，此时点D的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，待定系数法的应用，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，二次函数的应用等知识，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $