第五章 二元一次方程组 课件 2025-2026学年 北师大版（2024）八年级数学上册

5　三元一次方程组 数学八年级上册（B） 1.三元一次方程(组)的概念 (1)含有　 　个未知数,并且所含未知数的项的次数都是　 　,这样的方程叫作三元一次方程。  (2)共含有　 　个未知数的三个　 　次方程所组成的一组方程,叫作三元一次方程组。三元一次方程组中各个方程的　 　,叫作这个三元一次方程组的解。  2.解三元一次方程组 解三元一次方程组的基本思路是“消元”——把“三元”化为“　 　”,再化为“一元”。  3.列三元一次方程组解应用题 三 1 三 一 公共解 二元 数学八年级上册（B） 2 例:小高家是一个三口之家,爸爸与妈妈的年龄之和为78岁,爸爸与小高的年龄之和为45岁,妈妈与小高的年龄之和为43岁。求爸爸、妈妈、小高的年龄。 解:若设爸爸x岁,妈妈y岁,小高z岁,则可以列方程组  　。  拓展:由题意,可得爸爸、妈妈、小高三人的年龄之和为　 　岁。  83 数学八年级上册（B） 3 解下列方程组: (1) 解:将①代入②③,消去z,得解得 把x=2,y=3代入①,得z=5。∴原方程组的解是 数学八年级上册（B） 4 (2) 解:设===k(k≠0),则x=7k,y=10k,z=5k。 将x=7k,y=10k代入2x+3y=44, 得14x+30k=44,解得k=1, ∴原方程组的解是 数学八年级上册（B） 5 1.解下列方程组: (1)　 解: (2) 解: 数学八年级上册（B） 6 一个三位数除以它的数位上各数字之和的9倍得到的商是3。若把它的个位数字和百位数字互换位置,则所得到的新的三位数比原数大99,又知百位数字与个位数字之和比十位数字多1,求这个三位数。 解:设这个三位数百位上的数字为x,十位上的数字为y,个位上的数字为z。根据题意,得 解得 ∴这个三位数是243。 数学八年级上册（B） 7 2.如图1和图2,天平两边托盘中相同形状的物体质量相同,且两架天平均保持平衡,若1个“□”与n个“○”的质量相等,则n的值为　 　。 3.有甲、乙、丙三种商品,如果购甲3件、乙2件、丙1件共需315元,购甲1件、乙2件、丙3件共需285元,那么购甲、乙、丙三种商品各1件共需　 　元。 2 150 数学八年级上册（B） 8 $$第3课时　二元一次方程组的应用(3) 数学八年级上册（B） 1.解图形信息题的技巧 图形问题的等量关系的确定一般借助图形的边长(周长)和面积,具体方法是根据单个图形的形状,按图形的拼接方式确定边长(周长)和面积之间的等量关系。 数学八年级上册（B） 2 例:如图,长方形由7个正方形组成,已知正方形A的边长为3 cm,正方形B的边长为5 cm,求此长方形的面积。 [分析]观察图形可发现,长方形的长可以由正方形B与　 　的边长和表示,也可以由　 与正方形A的边长和表示;长方形的宽可以由　 　与正方形D的边长和表示,也可以由正方形C与　 　的边长和表示,  此时设正方形D的边长为x cm,正方形C的边长为y cm, 根据长方形的长与宽的长度不变可列方程组 解这个方程组,得 则长方形的面积为　 　(cm2)。  正方形C 3个正方形D　 正方形B 正方形A (5+2)×(5+4)=63 数学八年级上册（B） 3 2.行程问题 (1)相遇问题:两人走的路程和等于两地间的距离。 (2)追及问题:①两人同地但不同时出发,同向而行,直到后者追上前者,两人所走的路程相等; ②两人异地同时出发,同向而行,直到后者追上前者,两人所走的路程差等于两地间的距离。 数学八年级上册（B） 4 例:在笔直的道路上,甲、乙两人相距4 km,以各自的速度同时出发。若同向而行,则甲2 h追上乙;若相向而行,则两人0.5 h后相遇。求甲、乙两人各自的速度。 解:设甲的速度是x km/h,乙的速度是y km/h。同时出发,同向而行时,根据数量关系:甲2 h行驶的路程-乙2 h行驶的路程=4 km可列方程为 　 　;同时出发,相向而行时,根据数量关系:甲0.5 h行驶的路程+乙0.5 h行驶的路程=4 km可列方程为　 。 因此,可列方程组为  　。  2x-2y=4 0.5x+0.5y=4　 数学八年级上册（B） 5 (3)环形问题:①两人同时同地同向而行,首次追及,两人所走的路程之差为环形周长; ②两人同时同地反向而行,首次相遇,两人所走的路程之和为环形周长。 (4)列车问题:考虑车自身的长度。 数学八年级上册（B） 6 例:一列火车匀速通过某铁路桥,火车从上桥到完全离开桥共用30 s,而整列火车都在桥上的时间为20 s。已知火车的速度为20 m/s,求铁路桥长和火车的长。 解:设铁路桥长为x m,火车的长为y m,根据数量关系火车从上桥到完全离开桥走过路程为桥长+火车长及整列火车都在桥上的路程为 桥长-火车长可列方程组为  　。  数学八年级上册（B） 7 如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面,其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高10 cm,2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖矮40 cm,求每块墙砖的面积。 解:设每块墙砖的长为x cm,宽为y cm, 根据题意,得解得 ∴每块墙砖的面积为35×15=525(cm2)。 数学八年级上册（B） 8 1.现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片,按如图所示两种方式摆放,则小长方形的长与宽的差是 (　 　) A.a-b B. C. D. C 数学八年级上册（B） 9 2.用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形,4个长方形纸片围成如图1所示的正方形,其阴影部分的面积为81,8个长方形纸片围成如图2所示的正方形,其阴影部分的面积为64,12个长方形纸片围成如图3所示的正方形,其阴影部分的面积为 (　 　) A.48 B.36 C.50 D.49 D 数学八年级上册（B） 10 甲、乙两地相距160 km,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,经过1 h 20 min相遇。相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1 h后调转车头原速返回,在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机。这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米? 解:设汽车每小时行驶x km,拖拉机每小时行驶y km。根据题意,得 解得 汽车行驶:90×=165(km),拖拉机行驶:30×=85(km)。 答:汽车行驶了165 km,拖拉机行驶了85 km。 数学八年级上册（B） 11 一列快车长168 m,一列慢车长184 m。如果两车相向而行,从相遇到离开需4 s;如果同向而行,从快车追及慢车到离开需16 s。求两车的速度。 解:设快车的速度为x m/s,慢车的速度为y m/s, 由题意,得 解得 答:快车的速度为55 m/s,慢车的速度为33 m/s。 数学八年级上册（B） 12 3.一艘船顺水航行45 km需要3 h,逆水航行65 km需要5 h。若设船在静水中的速度为x km/h,水流的速度是y km/h,则x,y的值分别是 (　 　) A.x=13,y=2 B.x=14,y=1 C.x=15,y=1 D.x=14,y=2 B 数学八年级上册（B） 13 4.甲、乙二人在一环形场地上从点A同时同向匀速跑步,甲的速度是乙的速度的2.5倍,4 min后两人首次相遇,此时乙还需要跑300 m才算跑完一圈,求甲、乙二人的速度及环形场地的周长(列方程组求解)。 解:设乙的速度为x m/min,环形场地的周长为y m, 则甲的速度为2.5 x m/min,根据题意,得 解得 则2.5x=375。 答:甲的速度为375 m/min,乙的速度为150 m/min,环形场地的周长为900 m。 数学八年级上册（B） 14 $$第2课时　二元一次方程组的应用(2) 数学八年级上册（B） 1.增长率问题中常用的等量关系 (1)增长率=×100%。 (2)计划量×(1+增长率)=增长后的量。 (3)计划量×(1-减少率)=减少后的量。 数学八年级上册（B） 2 例:某工厂去年的利润(总产值-总支出)为200万元,今年的总产值比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元。问:该工厂去年的总产值、总支出各是多少万元? 解:设该工厂去年的总产值是x万元,总支出是y万元,则今年的总产值是　 万元,总支出是　 万元,根据去年的总产值-去年的总支出=200万元,可列方程为　 ;根据今年的总产值-今年的总支出=780万元,可列方程为　 。因 此,可列方程组为  　。  (1+20%)x　 (1-10%)y　 x-y=200　 (1+20%)x-(1-10%)y=780　 数学八年级上册（B） 3 2.利润问题中常用的等量关系 (1)利润=售价-进价=进价×利润率。 (2)利润率=×100%=×100%。 例:有甲、乙两件商品,一件甲商品的利润率为5%,一件乙商品的利润率为4%,甲、乙两件商品共可获利46元。价格调整后,一件甲商品的利润率为4%,一件乙商品的利润率为5%,甲、乙两件商品共可获利44元。则甲、乙两件商品的进价分别是多少元? 解:设甲商品的进价为x元/件,乙商品的进价为y元/件,根据价格调整前,一件甲商品的利润+一件乙商品的利润=46元,可列方程为　 ;根据价格调整后,一件甲商品的利润+一件乙商品的利润=44元,可列方程 为　 。因此,可列方程组为  　。  5%x+4%y=46　 4%x+5%y=44　 数学八年级上册（B） 4 3.存款问题中常见的等量关系 (1)利息=本金×利率×期数。 (2)本息和=本金+利息。 (3)本息和=本金×(1+利率×期数)。 例:小高以两种形式分别储蓄了2 000元和1 000元,一年后全部取出,得利息和为64.8元,已知两种储蓄的年利率和为5.04%。问这两种储蓄的年利率各是多少? 解:设储蓄2 000元的年利率为x,储蓄1 000元的年利率为y,则根据题意 可列方程组为  　。  数学八年级上册（B） 5 小明家去年结余5 000元,估计今年可结余9 500 元,并且今年收入比去年高15%,支出比去年低10%,求去年的收入与支出各是多少。 解:设去年的收入为x元,支出为y元,根据题意,得 解得 答:去年收入20 000元,支出15 000元。 数学八年级上册（B） 6 1.小李以两种形式储蓄3 000元,一种储蓄的年利率为1.5%,另一种储蓄的年利率为2.0%,一年后本息和为3 052.5元,则两种储蓄的存款分别为多少元?设两种储蓄的存款分别为x元和y元,则可列方程组 为  　。  数学八年级上册（B） 7 2.为了拉动内需,全国各地汽车购置税补贴活动正式开始。某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台,政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1 228台,其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30%和25%。 (1)在政策出台前一个月,销售的手动型和自动型汽车分别为多少台? 解:(1)设在政策出台前一个月,销售的手动型和自动型汽车分别为x台、y台,根据题意,得 解得 答:在政策出台前一个月,销售的手动型和自动型汽车分别为560台和400台。 数学八年级上册（B） 8 (2)若手动型汽车每台价格为8万元,自动型汽车每台价格为9万元。根据汽车补贴政策,政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴,问政策出台后的第一个月,政府对这1 228台汽车用户共补贴了多少万元? (2)手动型汽车的补贴额为 560×(1+30%)×8×5%=291.2(万元); 自动型汽车的补贴额为 400×(1+25%)×9×5%=225(万元), ∴共补贴了291.2+225=516.2(万元)。 答:政策出台后的第一个月,政府对这1 228台汽车用户共补贴了516.2万元。 数学八年级上册（B） 9 随着中国传统节日“端午节”的临近,某商场决定开展“欢度端午,回馈顾客”的让利促销活动,对部分品牌的粽子进行打折销售,其中甲品牌粽子打八折,乙品牌粽子打七五折。已知打折前,买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元;打折后,买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需520元。 (1)打折前甲、乙两种品牌的粽子每盒分别多少元? 解:(1)设打折前甲品牌粽子每盒x元,乙品牌粽子每盒y元, 根据题意,得解得 答:打折前甲品牌粽子每盒70元,乙品牌粽子每盒80元。 数学八年级上册（B） 10 (2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒、乙品牌粽子100盒,那么打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱? (2)80×70×+100×80×=3 120(元)。 答:打折后购买这批粽子比不打折节省了3 120元。 数学八年级上册（B） 11 3. 某校组织“大手拉小手,义卖献爱心”活动,计划购买黑、白两种颜色的文化衫进行手绘设计后出售,并将所获利润全部捐给山区困难孩子。已知该学校从批发市场花4 800元购买了黑、白两种颜色的文化衫200件,每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表:   批发价/元 零售价/元 黑色文化衫 25 45 白色文化衫 20 35 (1)学校购进黑、白两种颜色的文化衫各多少件? 解:(1)设学校购进黑色文化衫x件,白色文化衫y件, 依题意,得解得 数学八年级上册（B） 12 (2)通过手绘设计后全部售出,求该校这次义卖活动所获利润。 (2)所获利润为 (45-25)×160+(35-20)×40=3 800(元)。 答:该校这次义卖活动所获利润为3 800元。 数学八年级上册（B） 13 某校英语组组织学生进行“英语美食节”活动,需购买甲、乙两种奖品。老师发现购买甲奖品4个和乙奖品3个,需用去128元;购买甲奖品5个和乙奖品4个,需用去164元。 (1)请用列二元一次方程组的方法,求甲、乙两种奖品的单价分别是多少元; 解:(1)设甲、乙两种奖品的单价分别是a元、b元, 根据题意,得解得 答:甲、乙两种奖品的单价分别是20元、16元。 数学八年级上册（B） 14 (2)由于临时有变,只购买甲奖品即可,刚好A,B两个商场对甲奖品搞促销活动,其中A商场按原价9折销售;B商场规定,购买不超过6个按原价销售,超出6个的部分按原价的6折销售。学校需要购买x个甲奖品(x>6),设在A商场购买x个甲奖品需要y1元,在B商场购买x个甲奖品需要y2元,请用x分别表示出y1和y2(A,B两商场甲奖品的原价相同); (2)由题意可得,y1=20x×0.9=18x, y2=20×6+20(x-6)×0.6=12x+48。 数学八年级上册（B） 15 (3)在(2)的条件下,去哪个商场购买甲奖品更省钱? (3)令18x=12x+48,解得x=8, 当18x>12x+48时,x>8; 当18x<12x+48时,x<8。 即当购买的甲奖品多于6个,少于8个时,去A商场购买甲奖品更省钱;当购买的甲奖品为8个时,去A,B商场购买甲奖品花费一样;当购买的甲奖品多于8个时,去B商场购买甲奖品更省钱。 数学八年级上册（B） 16 4.重庆市某足球特色学校在八年级各班男队开展足球单循环比赛,即每个班的男队都与其他各班的男队比赛一场,再按各队总积分(即该队所有比赛场得分之和)排列名次。记分办法是胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分。 (1)比赛中,若八(1)班男队胜场数的两倍比平场数多1场,总积分为14分,求八(1)班男队胜了多少场? 解:(1)设八(1)班男队胜了x场,平了y场。 根据题意,得解得 答:八(1)班男队胜了3场。 数学八年级上册（B） 17 (2)已知该校八年级共有16个班,比赛中,若八(1)班男队的平场数是负场数的整数倍,且总积分为15分,请推算八(1)班男队最少负了多少场? (2)∵该校八年级共有16个班,∴八(1)班男队共比赛15场。 设八(1)班男队负了z场,则平了kz场,k是整数。 根据题意,得3(15-kz-z)+kz=15,整理,得(2k+3)z=30。 ∵k为整数,∴2k+3只能是奇数, 即(2k+3)为30的正奇数约数, ∴2k+3只可能为1,3,5,15。 当2k+3=1时,z=30,不合题意,舍去; 当2k+3=3时,k=0,z=10; 当2k+3=5时,k=1,z=6; 当2k+3=15时,k=6,z=2。 ∵10>6>2,∴八(1)班男队最少负了2场。 数学八年级上册（B） 18 $$第2课时　用二元一次方程组确定一次函数表达式 数学八年级上册（B） 1.待定系数法 先设出函数表达式,再根据所给条件确定表达式中未知的系数,从而得到函数表达式的方法,叫作待定系数法。 2.用二元一次方程组确定一次函数表达式的步骤 (1)设出一次函数表达式的一般形式:y=kx+b; (2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于k,b的方程或方程组; (3)解方程(组)求出待定系数的值,从而写出表达式。 数学八年级上册（B） 2 若直线l与直线y=x+1相交于点A(1,m),与直线y=x-1相交于点B(m,1),求直线l的表达式。 解:把A(1,m)代入方程y=x+1,得m=2,则A(1,2),B(2,1)。 设直线l的表达式为y=kx+b, 则解得 ∴直线l的表达式为y=-x+3。 数学八年级上册（B） 3 1.对于一次函数y=kx+b,当x=-1时,y=0;当x=2时,y=-3。则这个一次函数的表达式是(　 　) A.y=-x-1 B.y=-x+1 C.y=x-1 D.y=x+1 2.如图,某一次函数的图象经过点A,且与正比例函数y=-x的图象交于点B,则该一次函数的表达式为　 　。  A y=x+2 数学八年级上册（B） 4 某市接到上级通知,派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480 km的灾区。乙组由于要携带一些救灾物资,比甲组迟出发1.25 h(从甲组出发时开始计时)。图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲(km)、y乙(km)与时间x(h)之间的函数关系对应的图象。请根据图象所提供的信息,解决下列问题: (1)由于汽车发生故障,甲组在途中停留了　 　h;  1.9 数学八年级上册（B） 5 (2)甲组的汽车排除故障后,立即提速赶往灾区。请问甲组的汽车在排除故障时,距出发点的路程是多少千米? 解:(2)设直线EF的解析式为y乙=kx+b。 则解得 ∴直线EF的解析式是y乙=80x-100, ∴点C的坐标是(6,380)。 设直线BD的解析式为y甲=mx+n。 则解得 ∴直线BD的解析式是y甲=100x-220, ∴B(4.9,270), ∴甲组的汽车在排除故障时,距出发点的路程是270 km。 数学八年级上册（B） 6 (3)为了保证及时联络,甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25 km,请通过计算说明,按图象所表示的走法是否符合约定。 (3)由图象可知:甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远, 在点B处有y乙-y甲=80×4.9-100-270 =22(km)<25 km, 在点D处有y甲-y乙=480-(80×7-100) =20(km)<25 km, ∴按图象所表示的走法符合约定。 数学八年级上册（B） 7 3.小明从家骑自行车出发,沿一条直路到相距1 600 m的邮局办事,同时,小明的爸爸以80 m/min的速度从邮局沿同一条道路步行回家,小明在邮局停留2 min后沿原路以原速返回。设他们出发后经过t(min)时,小明与爸爸离家的距离分别为s1(m),s2(m),s1,s2与t的函数关系如图所示。 (1)a=　 　m;  (2)①s2与t之间的函数关系式为　 ;  ②当t≥10时,求s1与t之间的函数关系式; 解:(2)②由题意,得B(10,1 600),C(18,0)。 当t≥10时,设s1=mt+n, 则解得 ∴s1=-200t+3 600(t≥10)。 960 s2=1 600-80t　 数学八年级上册（B） 8 (3)小明从邮局返回开始到追上爸爸需要多长时间?这时他与爸爸离家还有多远? (3)由s1=s2,得-200t+3 600=1 600-80t, 解得t=。 当t=时,s2=1 600-80×=(m), ∴t-10=-10=(min), 即小明从邮局返回开始到追上爸爸需要 min, 这时他与爸爸离家还有 m。 数学八年级上册（B） 9 $$第1课时　代入消元法 数学八年级上册（B） 1.代入消元法 将其中一个方程中的　 用含另一个未知数的代数式表示出来,并代入另一个方程中,从而消去　 ,化二元一次方程组为　 　。这种解方程组的方法称为代入消元法,简称代入法。  注意:代入消元法的基本思路是“消元”,把“二元”变为“一元”。 某个未知数　 一个未知数　 一元一次方程 数学八年级上册（B） 2 2.代入消元法解二元一次方程组的基本步骤 (1)选取:从方程组中选取一个未知数系数比较简单的方程。 (2)变形:用含一个未知数的代数式表示另一个未知数。 (3)代入:把代数式代入另一个方程,消去一个未知数,得到一元一次方程。 (4)求解:解一元一次方程,求出未知数的值。 (5)回代:把未知数的值代入(2)中的代数式,求另一个未知数的值。 (6)写解:写出方程组的解。 (7)检验:将解代入原方程组中,检验解是否有误(口算或在草稿纸上演算)。 数学八年级上册（B） 3 解下列方程组: (1) 解:(1)由①,得x=y。③ 把③代入②,得5×y-y=1,解得y=。 把y=代入③,得x=。所以原方程组的解是 数学八年级上册（B） 4 (2) 解:由①,得y=。③ 把③代入②,得7x+4(13-5x)=26, 解得x=2。 把x=2代入③,得y=。 所以原方程组的解是 数学八年级上册（B） 5 (3) 解:原方程组可化为 由④,得x=5y-3。⑤ 把⑤代入③,得 5(5y-3)-11y=-1,解得y=1。 把y=1代入⑤,得x=2。 所以原方程组的解是 数学八年级上册（B） 6 (4) 解:把②代入①,得3x-4=5,解得x=3。 把x=3代入②,得y=1。 所以原方程组的解是 数学八年级上册（B） 7 1.用代入消元法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是(　 　) A.由①,得x= B.由①,得y= C.由②,得x= D.由②,得y=2x-5 D 数学八年级上册（B） 8 2.解下列方程组: (1) 解: (2) 解: (3) 解: (4) 解: 数学八年级上册（B） 9 (1)若关于x,y的方程组的解x,y的值相等,则a的值为(　 　) A.2 B.4 C.-2 D.1 (2)已知关于x,y的方程组的解互为相反数,则aa的值是　 　。 [方法总结] 含有参数的二元一次方程组通常题目中会给方程组的解加以限制条件。如x,y的值相等、互为相反数等,此时,根据方程组及x,y的关系灵活选择方法去求解。 A 1 数学八年级上册（B） 10 3.若是关于x,y的方程(ax+by-12)2+=0的一组解,则ab=　 　。  4.小萌知道和都是二元一次方程ax+by+4=0的解,请你帮她求出a3b的立方根。 10 解:把和代入方程ax+by+4=0, 得解得 则a3b=(-3)3×1=-27,故a3b的立方根是-3。 数学八年级上册（B） 11 $$第1课时　二元一次方程组的应用(1) 数学八年级上册（B） 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤 (1)审:审题,弄清题意及题目中的数量关系; (2)设:设未知数,可直接设元,也可间接设元; (3)列:根据题目中能表示全部含义的相等关系,列出方程组; (4)解:解所列方程组,求出未知数的值; (5)检:检验解是否是方程组的解,是否符合题意; (6)答:写出答案和答语。 数学八年级上册（B） 2 例:我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:“今有鸡、兔同笼,上有16头,下有44足,问鸡、兔各几何?” 解:设鸡有x只,兔有y只。因为一只鸡有　 　个头,　 　只脚;一只兔有　 　个头,　 　只脚。根据上有16头,可列方程为　 ;根据下有44足,可列方程为　 。因此,可列方程组 为  　。  1 2 1 4 x+y=16　 2x+4y=44　 数学八年级上册（B） 3 《九章算术》中有一道阐述“盈不足”的问题,原文如下:今有共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六。问人数、鸡价各几何?译文为:现有若干人合伙出钱买鸡,如果每人出9文钱,就会多11文钱;如果每人出6文钱,又会缺16文钱。问买鸡的人数、鸡的价格各是多少?请解答上述问题。 解:设买鸡的人数为x人,鸡的价格为y文钱, 根据题意,得解得 答:买鸡的人数为9人,鸡的价格为70文钱。 数学八年级上册（B） 4 1.(2025·重庆一中)《四元玉鉴》中有一个“酒分醇醨”问题:务中听得语吟吟,言道醇醨酒二盆。醇酒一升醉三客,醨酒三升醉一人。共通饮了一斗七,一十九客醉醺醺。欲问高明能算士,几何醨酒几多醇?其大意为:有好酒和薄酒分别装在瓶中,好酒1升醉了3位客人,薄酒3升醉了1位客人,现在好酒和薄酒一共饮了17升,醉了19位客人,试问好酒、薄酒各有多少升?若设好酒有x升,薄酒有y升,根据题意列方程组为(　 　) A. B. C. D. A 数学八年级上册（B） 5 2.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题,原文是:“今有大器五小器一容三斛,大器一小器五容二斛,问大小器各容几何?”意思是:有大小两种盛酒的桶,已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛,是古代的一种容量单位),1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛。问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛?请解答。 解:设1个大桶可以盛酒x斛,1个小桶可以盛酒y斛, 根据题意,得解得 答:1个大桶可以盛酒斛,1个小桶可以盛酒斛。 数学八年级上册（B） 6 甲、乙两仓库共存粮95吨,现从甲仓库运出存粮的,从乙仓库运出存粮的40%,这时甲仓库剩下的粮和乙仓库剩下的粮同样多,甲、乙两仓库原来各存粮多少吨? 解:设甲、乙两仓库原来各存粮x吨,y吨,根据题意,得 解得 答:甲、乙两仓库原来各存粮57吨,38吨。 数学八年级上册（B） 7 [知识总结] 和差倍分这类问题主要应搞清各量之间的关系,注意关键词语。仔细读题,找出表示和、差、倍、分关系的关键字,例如:①多少关系通过关键词语“多、少、和、差、大、小、增加、减少……”来体现;②倍数关系通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几……”来体现。根据题意设出未知数,利用这些关键词表示出含有未知数的量,最后利用题目中的量与量之间的关系列出方程。 数学八年级上册（B） 8 3.用白铁皮做罐头盒,每张白铁皮可制盒身25个,或制盒底40个,一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。现有36张白铁皮,设用x张制盒身,y张制盒底,恰好配套制成罐头盒。则下列方程组中符合题意的是(　 　) A. B. C. D. B 数学八年级上册（B） 9 4.家具厂共有28名工人,2名工人一天可以加工3张桌子,3名工人一天可以加工10把椅子,按1张桌子配4把椅子,现在应如何安排工人,可使每天生产的桌椅刚好配套。 解:设安排x名工人加工桌子,y名工人加工椅子。 根据题意,得解得 答:安排10名工人加工桌子,18名工人加工椅子,才能使每天生产的桌椅刚好配套。 数学八年级上册（B） 10 $$第2课时　加减消元法 数学八年级上册（B） 1.加减消元法 两个二元一次方程中同一未知数的系数　 　或　 　时,将两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个　 　,得到一个一元一次方程,这种方法叫作加减消元法,简称加减法。  注意:加减消元法解二元一次方程组的基本思路是“消元”,化“二元”为“一元”。 相反 相等 未知数 数学八年级上册（B） 2 2.加减消元法解二元一次方程组的基本步骤 (1)把一个方程或两个方程的两边乘适当的数,使两个方程中的某一未知数的系数的绝对值相等; (2)把所得的两个方程的两边分别相加或相减,消去一个未知数,得到一个一元一次方程; (3)解这个一元一次方程,求得一个未知数的值; (4)把求得的未知数的值代入方程组中的某一个方程,求出另一个未知数的值; (5)把求得的未知数的值写成的形式。 数学八年级上册（B） 3 解下列方程组: (1) 解:①+②,得19x=19,解得x=1。 把x=1代入①,得y=0.7。 所以原方程组的解是 (2) 解:①×3,得15x+18y=39。③ ③-②,得8x=40,解得x=5。 把x=5代入①,得25+6y=13, 解得y=-2。 所以原方程组的解是 数学八年级上册（B） 4 (3) 解:①×3,得9x+12y=48。③ ②×2,得10x-12y=66。④ ③+④,得19x=114,解得x=6。 把x=6代入①,得18+4y=16,解得y=-。 所以原方程组的解是 数学八年级上册（B） 5 (4)==3。 解:原方程组可变形为 化简,得 ①+②,得3x=24,解得x=8。 把x=8代入②,得y=1。 所以原方程组的解是 数学八年级上册（B） 6 1.方程组的解是(　 　) A. B. C. D. A 数学八年级上册（B） 7 2.解下列方程组: (1) 解: (2) 解: (3) 解: (4) 解: 数学八年级上册（B） 8 用适当的方法解下列方程组: (1) 解: 由①,得y=0.3x-1。　③ 把③代入②,得0.2x-0.5=19, 化简,得0.05x=18.5,解得x=370。 把x=370代入③,得y=110。 所以原方程组的解为 数学八年级上册（B） 9 (2) 解:化简②,得4x+3y=6,③ ③×2+①,得10x=10,解得x=1。 把x=1代入①,得y=。 所以原方程组的解为 数学八年级上册（B） 10 (3) 解:方程整理后,得 ①×3-②,得4x=10,解得x=。 把x=代入①,得y=。所以原方程组的解为 数学八年级上册（B） 11 [思维点拨] 解方程组时,要求同学们能认真观察方程组中各项系数的特征:①若某方程的某未知数系数为±1,一般选用代入消元法;②若方程组中某未知数系数相同或互为相反数或成倍数,一般选用加减消元法;③较复杂的方程组需先化简再求解。 数学八年级上册（B） 12 3.解方程组用　 　法较简便;解方程组用　 　法较简便。  4.用适当的方法解下列方程组: (1) 解:由①,得3x+2y=-12。③ ③-②,得6y=-18,解得y=-3。 把y=-3代入③,得3x-6=-12。 解得x=-2。所以原方程组的解是 代入消元 加减消元 数学八年级上册（B） 13 (2) 解:方程整理后,得 由②,得x=9y+38,③ 把③代入①,得5(9y+38)+y=6, 解得y=-4。 把y=-4代入③,得x=2。 所以原方程组的解是 数学八年级上册（B） 14 (1)若关于x,y的方程组的解也是方程x+y=1的解,则a的值为　 　;  (2)已知关于x,y的方程组与关于x,y的方程组的解相同,则m+n的值为　 　。  -2 -5 数学八年级上册（B） 15 5.已知关于x,y的二元一次方程组的解满足方程x-2y=4,则k的值为　 　。  6.若关于x,y的方程组与有相同的解,则a+b的值为　 　。  7 5 数学八年级上册（B） 16 $$1　认识二元一次方程组 数学八年级上册（B） 1.二元一次方程(组)的概念 (1)含有　 　未知数,并且含有未知数的项的次数都是　 　的方程叫作二元一次方程。  (2)共含有　 未知数的两个　 　方程所组成的一组方程,叫作二元一次方程组。  注意:①二元一次方程是整式方程,例如:方程-y=1不是二元一次方程,因为它的左边不是整式; ②应先对方程进行整理化简,再做判断,不能只看形式,如x2-x-3=x2+y是二元一次方程。 两个 1 两个　 一次 数学八年级上册（B） 2 2.二元一次方程(组)的解的概念 (1)使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值,叫作这个二元一次方程的一个　 　。  (2)二元一次方程组中各个方程的　 　,叫作这个二元一次方程组的解。  注意:①一个二元一次方程确定不了两个未知数;②一般地,一个二元一次方程有无数个解,但当对其解加以限制时,也可能变为有限个,而一个二元一次方程组一般只有一个解,它是一对数值,通常用大括号联立。 解 公共解 数学八年级上册（B） 3 (1)下列式子:①3x-y=8;②x-2xy=3;③x+=4;④x-y=2y+7;⑤y2-4x=1;⑥x-y+2x=1;⑦2x+y+z=8;⑧x-y+2x=1+3x。其中是二元一次方程的有(　 　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 B 数学八年级上册（B） 4 (2)下列方程组中,是二元一次方程组的是(　 　) A. B. C. D. (3)若关于x,y的方程7+(m+1)y=6是二元一次方程,则m的值为　 　。 D 1 数学八年级上册（B） 5 1.若ax+4y=3x-7是关于x,y的二元一次方程,则a的取值范围是(　 　) A.a≠-2 B.a≠0 C.a≠3 D.a≠-1 2.若方程组是关于x,y的二元一次方程组,则a的值为　 　。  C -3 数学八年级上册（B） 6 3.已知关于x,y的方程(k2-4)x2+(k+2)x+(k-6)y=k+8,试问: (1)当k为何值时,此方程为一元一次方程? (2)当k为何值时,此方程为二元一次方程? 解:当k2-4=0时,k=2或k=-2。 当k=2时,方程整理,得4x-4y=10,为二元一次方程。 当k=-2时,方程整理,得-8y=6,为一元一次方程。 (1)当k=-2时,此方程为一元一次方程。 (2)当k=2时,此方程为二元一次方程。 数学八年级上册（B） 7 (1)已知是方程组的解,则(a+b)(a-b)的值是(　 　) A.5 B.-5 C.25 D.-25 A 数学八年级上册（B） 8 (2)小明用6元钱从邮局购买了面值为50分和80分的邮票共9枚,小明买了两种邮票各多少枚?设购买了面值为50分的邮票x枚,80分的邮票y枚,请列出二元一次方程组,并判断是否是所列方程组的解。 解:(2)由题意,得 把分别代入以上两个方程,左、右两边的值都相等, 故是所列方程组的解。 数学八年级上册（B） 9 4.(2025·重庆巴蜀)《九章算术》中记载了这样的问题:六鸡、七鸭共重24千克,鸡重鸭轻,互换其中一只,恰好一样重。问:每只鸡、鸭平均各重多少千克?设每只鸡平均重x千克,每只鸭平均重y千克,根据题意可列出方程组为(　 　) A. B. C. D. A 数学八年级上册（B） 10 5. 端午节前夕,某食品加工厂准备将生产的粽子装入A,B两种食品盒中,A种食品盒每盒装8个粽子,B种食品盒每盒装10个粽子。若将200个粽子分别装入A,B两种食品盒中(两种食品盒均要使用并且装满),则不同的分装方式有(　 　) A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 6.如果是方程2x-3y=2 020的一组解,那么代数式2 025-2m+3n =　 　。  C 5 数学八年级上册（B） 11 $$问题解决策略：逐步确定 数学八年级上册（B） 1.很多问题的解需要同时满足多个条件,这时,我们可以按照某种顺序逐步满足这些条件,最终确定问题的答案。 2.采用“逐步确定”策略解决问题的一般过程:根据题意找出问题的解需要满足的各个条件;按照某个顺序,逐步满足这些条件,最终确定问题的解。 数学八年级上册（B） 2 今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩四,问物几何?你知道物品最少有多少个吗? 解:因为这个数除以5余3, 所以这个数个位上的数字为3或8, 所以满足条件的数为:3,8,13,18,23,28,33,38,…, 上面数中除以3余2的数是:8,23,38,53,68,…, 上面数中除以7余4的数是:53,…, 所以,物品最少有53个。 数学八年级上册（B） 3 一个四位自然数M,记作M=,若a+c=b+d=11,则称M为“双11数”。例如:四位数4 279,∵4+7=2+9=11,∴4 279是“双11数”。若一个“双11数”为且能被5整除,则这个数是　 ;若M是一个“双11数”,设f(M)=,且是整数,则满足条件的M的最小值是　 。  [分析]根据“双11数”为且能被5整除,可得a=9,b=6,d=5,可求这个数;设M=1 000a+100b+10(11-a)+(11-b)=990a+99b+121,f(M)=90a+9b+11,a最小可取2,f(M)+3=90a+9b+14能被7整除,求出b的最小值即可。 9 625　 2 893　 数学八年级上册（B） 4 1.一个四位数是,它既是2的倍数,又有因数5,同时又能被3整除,则这个数最小是　 。  2.老师把三个非零自然数A,B,C的值分别告诉甲、乙、丙三名同学,每名同学都不知道另外两人的数是多少,只知道A+B+C=13。在三名同学间,展开了如下对话: 甲:“这三个数肯定互不相同!” 乙:“我猜不出来你们的数。” 丙:“我本来也猜不出来,但这么一说,我就知道你们的数是多少了。” 这三名同学都足够聪明且从不说谎,那么A×B×C=　 　。 7 140　 20 数学八年级上册（B） 5 3.如图,已知线段a,b,∠α,有一个三角形的两条边长分别是a和b,一个内角等于∠α。 (1)用尺规作一个满足条件的三角形; 解:(1)如答案图1,先任意作∠MAN=∠α,再以点A为圆心,线段a的长为半径画弧,交射线AM于点B,以点A为圆心,线段b的长为半径画弧,交射线AN于点C,连接BC,则△ABC即为所求作。 数学八年级上册（B） 6 (2)你是否还能作出既满足条件,又与(1)中所作的三角形不全等的三角形?若能,请用尺规作出这样的三角形;若不能,请说明理由。 (2)能。如答案图2,先任意作∠MA'N=∠α,再以点A'为圆心,线段a的长为半径画弧,交射线A'M于点B',以点B'为圆心,线段b的长为半径画弧,交射线A'N于点C',连接B'C',则△A'B'C'即为所求作。 数学八年级上册（B） 7 $$第1课时　二元一次方程与一次函数 数学八年级上册（B） 1.二元一次方程与一次函数的关系 一般地,以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象　 　,是同一条　 　。  2.二元一次方程组与一次函数的关系 一般地,从图形的角度看,确定两条直线交点的坐标,相当于求相应的二元一次方程组的　 　;解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的　 　。  相同 直线 解 坐标 数学八年级上册（B） 2 注意:方程组(k1,k2≠0)的解与函数y=k1x+b1和y=k2x+b2图象的关系如下: 方程组有唯一解⇔一个交点⇔k1≠k2; 方程组无解⇔平行⇔k1=k2且b1≠b2; 方程组有无数组解⇔重合⇔k1=k2且b1=b2。 3.利用一次函数图象解二元一次方程组 (1)将两个二元一次方程化为一次函数的形式; (2)在同一坐标系中画出两个图象,确定交点坐标; (3)交点的横、纵坐标就是二元一次方程组的解。 数学八年级上册（B） 3 利用图象确定方程组的解。 解:如答案图所示,画出一次函数y=-x-2与一次函数y=2x+4的图象。 观察图象,可得直线y=-x-2与直线y=2x+4的交点坐标为(-2,0), ∴方程组的解为 数学八年级上册（B） 4 1.用图象法解方程组时,下图中正确的是(　 　) C 数学八年级上册（B） 5 2.已知一次函数y=ax-3与y=-x+3的图象的交点是,则方程组 的解是  　,a=　 　。  3 数学八年级上册（B） 6 如图,已知直线y=2x+5和y=-x-1相交于点C,且两直线与y轴的交点分别是A,B。 (1)求两直线交点C的坐标; (2)求△ABC的面积; 解:(1)联立方程组解得 ∴点C的坐标为(-2,1)。 (2)对于y=2x+5,令x=0,得y=5,则A(0,5); 对于y=-x-1,令x=0,得y=-1,则B(0,-1),∴△ABC的面积=×(5+1)×2=6。 数学八年级上册（B） 7 (3)在直线BC上能否找到点P,使得S△ABP=9?若能,请求出点P的坐标;若不能,请说明理由。 (3)能找到点P使S△ABP=9。理由如下: 设P(t,-t-1),则S△ABP=×(5+1)×=9, 解得t=3或t=-3, ∴点P的坐标为(3,-4)或(-3,2)。 [方法总结] 求两条直线的交点坐标,就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解。 数学八年级上册（B） 8 3.如图,将直线y=3x+2向下平移8个单位长度后,与直线y=x+4及x轴围成的△ABC的面积是(　 　) A.25 B.28 C.30 D.35 C 数学八年级上册（B） 9 4.(2025·重庆南岸区)如图,在平面直角坐标系中,函数y=kx+b(k≠0)与函数y=-kx-1的图象交于点A(2,1)。 (1)求k,b的值; (2)若函数y=-kx-1的图象与y轴交于点B,函数y=kx+b的图象与y轴交于点C,求线段BC,AB的长; 解:(1)把A(2,1)代入y=-kx-1,得1=-2k-1,解得k=-1。 把A(2,1)代入y=-x+b,得1=-2+b,解得b=3。 (2)由(1)可知两个函数解析式分别为y=x-1和y=-x+3。 对于y=x-1,令x=0,则y=-1,∴B(0,-1); 对于y=-x+3,令x=0,则y=3,∴C(0,3),∴BC=3-(-1)=4。 ∵A(2,1),∴AB==2。 数学八年级上册（B） 10 (3)在x轴上存在点P,使△ABP是以AB为直角边的直角三角形,直接写出点P的坐标。 (3)令P(t,0),根据勾股定理, 得BP2=t2+1,AP2=1+(2-t)2,AB2=8。 当BP是Rt△ABP的斜边,则有BP2=AB2+AP2, 即t2+1=8+1+(2-t)2,解得t=3,即点P(3,0); 当AP是Rt△ABP的斜边,则有AP2=BP2+AB2, 即1+(2-t)2=t2+1+8,解得t=-1,即点P(-1,0)。 综上所述,点P的坐标为(3,0)或(-1,0)。 数学八年级上册（B） 11 $$